Disciplina Análise de Algoritmos BCC-UFU Profa. Sandra de Amo Algoritmos Aproximados: uma maneira de se lidar com problemas NP-completos Disciplina Análise de Algoritmos BCC-UFU Profa. Sandra de Amo

Hierarquia de Aproximação para Problemas NP-completos Não aproximáveis Caixeiro Viajante geral Clique, Conj. Independente Parcialmente aproximáveis Vertex Cover, Clustering, Caixeiro Viajante “euclidiano” Totalmente aproximáveis Mochila, Two-machine scheduling,...

Veremos nesta aula Vertex Cover é parcialmente aproximável. Algoritmo polinomial aproximado para o Problema do Vertex Cover Caixeiro Viajante “euclidiano” é parcialmente aproximável. Algoritmo polinomial aproximado para o Problema do Caixeiro Viajante (“euclidiano”) Mochila é totalmente aproximável Algoritmo polinomial aproximado para o Problema da Mochila.

Problema do Vertex Cover Input: Grafo G = (V,E) não-dirigido Output: Menor V’  V cobrindo todas as arestas de E (qualquer aresta {u,v} tem uma de suas extremidades em V’) Vertex Cover é NP-hard Vertex Cover é parcialmente aproximável.

Ideia geral do algoritmo aproximado Constrói um matching maximal Matching = conjunto de arestas que não possuem vértices em comum Matching maximal = se acrescentar mais uma aresta deixa de ser matching Construção do matching maximal: feito em tempo polinomial Considera S = vértices do matching maximal

Exemplo Grafo G

Exemplo Grafo G Construindo o matching maximal....

Exemplo Grafo G Construindo o matching maximal....

Exemplo Grafo G Construindo o matching maximal....

Exemplo Grafo G Construindo o matching maximal....

Exemplo Grafo G MATCHING MAXIMAL !!

Exemplo Grafo G VERTEX COVER PRODUZIDO PELO ALGORITMO APROXIMADO !!

Exemplo 12 vértices ! Grafo G VERTEX COVER PRODUZIDO PELO ALGORITMO APROXIMADO !! VERTEX COVER OTIMAL : 8 Vértices

Algoritmo realmente aproxima a solução otimal do VC Como provar isto SEM conhecer a solução otimal do VC ???? Argumentação: 1. Resultado S do algoritmo é um vertex cover 2. Qualquer outro vertex cover X satisfaz: |S| ≤ 2. |X| 3. Logo |S| ≤ 2. |opt| 4. Além disto: |S| ≥ |opt| 5. Portanto |opt| ≤ |S| ≤ 2.opt Isto é: 1 ≤ ɑA ≤ 2

Argumentação passo a passo: Resultado S do algoritmo é um VC Suponha que não fosse: Seja e = {u,v} que não é coberta por S, isto é u, v  S Acrescenta {e} ao matching maximal M (de onde foi obtido o S) = M  {e} é um matching ! Logo, M não é matching maximal !! Absurdo. 2. Qualquer outro vertex cover X satisfaz: |S| ≤ 2. |X| Seja X um vertex cover. |X| ≥ |M| pois X deve cobrir todas as arestas de G Logo, X deve cobrir as arestas do matching M. Para isto, |X| precisa incluir pelo menos 1 vértice por aresta de M Logo, X deve ter pelo menos |M| vértices Logo, |X| ≥ |S|/2  |S| ≤ 2.|X|

Problema do Caixeiro Viajante Euclidiano Input: Conjunto de n cidades C = {c1, c2, ..., cn}, matriz de distâncias simétrica, satisfazendo a desigualdade triangular : dik ≤ dij + djk Output: Tour mais curto saindo de c1 e chegando em c1, visitando todas as cidades uma única vez. Caixeiro euclidiano é NP-hard Caixeiro euclidiano é parcialmente aproximável.

Ideia geral do algoritmo aproximado Considera o grafo associado G = (V,E), onde V = conj. de cidades ; E ´= V x V; custo({i,j}) = dij Constrói uma MST de G Considera caminho C obtido percorrendo a MST saindo de C1 e voltando para C1, mesmo que tenha de passar por um trecho mais de uma vez. “Conserta” este caminho C de modo a eliminar revisitas a cidades já visitadas, inserindo desvios mais curtos a cada vez que o caminho C vai revisitar uma cidade.

Exemplo Input do Caixeiro Viajante: conjunto de cidades a visitar. Wichita Tulsa Amarillo Albuquerque Little Rock Dallas El Paso Houston San Antonio Input do Caixeiro Viajante: conjunto de cidades a visitar. Qual o tour de custo minimo saindo de e voltando para San Antonio ?

Exemplo Grafo completo correspondente ao conjunto de cidades, todas Wichita Tulsa Amarillo Albuquerque Little Rock Dallas El Paso Houston San Antonio Grafo completo correspondente ao conjunto de cidades, todas interligadas.

Exemplo UMA MST PARA O GRAFO G

Exemplo Já foi visitado ! Todos foram visitados ! Pega o atalho direto para San Antonio Percorre a MST, saindo de San Antonio e voltando para San Antonio, passando por todas as cidades

Exemplo Já foi visitado ! Tour produzido pelo algoritmo aproximado

Algoritmo realmente aproxima a solução otimal do Caixeiro Viajante Considere um tour otimal OPT passando por todas as cidades uma única vez Removendo uma aresta de OPT, temos um caminho C que passa por todos os vértices, sem ciclos = spanning tree Logo: Custo de OPT ≥ Custo de C ≥ custo MST C’ = tour do tipo “ida-e-volta” produzido saindo da raiz e voltando para a raiz (San Antonio), seguindo a MST Custo C’ = 2.custo MST ≤ 2.custo OPT A = caminho produzido pelo algoritmo aproximado Custo A ≤ Custo C’ (pois A usa atalhos) e Custo C’ ≤ 2.custo OPT Logo: 1 ≤ Custo A / Custo OPT ≤ 2

Problema da Mochila (sem repetição) Input: W > 0 (capacidade máxima da mochila) itens 1,2,...,n, pesos p1, p2,..., pn, valores v1, v2,..., vn Output: Conjunto de itens (sem repetição) com soma total máxima que se pode carregar na mochila Mochila é NP-hard – Problema de MAXIMIZAÇÃO Mochila é Totalmente Aproximável. Vamos mostrar que para qualquer ε > 0 existe um algoritmo polinomial A tal que OPT ≤ A (1 + ε / (1 – ε) ) Muito pequeno Razão de aproximação ɑ = OPT / A ≤ (1 + ε / (1 – ε) )

Ideia do Algoritmo Ideia central: considerar o algorimo de Programação Dinâmica O(nV) que resolve o problema da mochila sem repetição (ver exercicio 3 – lista Aula 26-27), onde V = total dos valores dos itens disponíveis. Aplicar este algoritmo sobre os valores escalados de modo que a complexidade em V não seja muito grande ! Ex. se os valores são v1 = 202.479, v2 = 40.000, v3 = 87.500 considera-se os valores v’1 = 202, v’2 = 40, v’3 = 87 e aplica-se o algoritmo O(nV) para estes valores. Os artigos retornados por este algoritmo caberão na mochila, já que os pesos não foram alterados. Tais artigos podem não corresponder à solução optimal, mas o valor total (original) dos itens propostos pelo algoritmo aproximado ficará bem próximo do valor optimal.

Algoritmo Seja ε > 0 dado. Consideramos o Algoritmo A (abaixo) que vai aproximar a solução otimal K* da Mochila de um fator ɑ ≤ 1 + ε(1- ε) Escala vi ≤ vi. n/ ε.vmax Logo: vi ≥ vi ε.vmax/n

Complexidade de A Complexidade de A = O(nV’), onde V’ = soma total dos valores dos itens escalonados. Para todo i : v’i ≤ vi . n/ε.vmax ≤ vmax. n/ε.vmax = n/ε Logo V’ = Σ v’i ≤ Σ n/ε = n2/ε Logo O(nV’) ≤ O(n3/ε) : polinomial em n

Algoritmo A realmente aproxima a solução optimal de um fator ≤ 1 + ε / (1 – ε) Suponha que a solução otimal OPT com os valores originais consiste em selecionar um conjunto S de itens com valor total K* Consideramos os valores escalonados dos itens considerados na solução OPT Vamos analisar qual a relação entre o total destes valores escalonados e o valor otimal K*

Algoritmo A realmente aproxima a solução optimal de um fator ≤ 1 + ε / (1 – ε) Suponha que a solução otimal fornecida pelo algoritmo A sobre os itens com valores escalonados consiste em selecionar um conjunto S de itens, com soma total maximal Consideramos os valores originais dos itens considerados na solução de A e a soma de seus valores Vamos analisar qual a relação entre o total destes valores originais (resultado de A) e o valor optimal K* ≥ K* - ε K* ≥ Pois S^ é o optimal para A

Algoritmo A realmente aproxima a solução optimal de um fator ≤ 1 + ε / (1 – ε) Logo: OPT A Fator de aproximação = ɑ = OPT/A ≤ 1/(1 – ε) = 1 + (1/(1 – ε) – 1) = 1 + ε / (1 – ε)