MOEDELAGEM E SIMULAÇÃO HIDROLÓGICA ESCOAMENTO PROF. CARLOS RUBERTO FRAGOSO JR. PROF. MARLLUS GUSTAVO F. P. DAS NEVES

Tópicos Importância do Escoamento Tipos de Escoamento Equações do escoamento não permanente ou equações hidrodinâmicas Equação da continuidade Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica Simplificações das Equações de Saint Venant Onda cinemática Propagação de cheias em rios O método Muskingum O metodo de Pulz - reservatórios

Importância do Escoamento Precipitação que não infiltra pode se acumular sobre a superfície e pode se movimentar sobre a superfície  escoamento superficial Outras formas de escoamento = subsuperficial, subterrâneo Escoamento superficial é muito importante na hidrologia porque admite-se que é o responsável pelos picos dos hidrogramas (cheias) Escoamento está relacionado à disponibilidade da água para usos múltiplos Escoamento transporta sedimentos, matéria orgânica, nutrientes e organismos

Tipos de Escoamento na bacia Tipos e características do Escoamento Tipos de Escoamento na bacia Escoamento superficial Escoamento sub-superficial Escoamento subterrâneo

Fase terrestre no ciclo hidrológico Tipos e características do Escoamento Fase terrestre no ciclo hidrológico Esc. superficial Esc. sub-superficial Esc. subterrâneo

Fase terrestre no ciclo hidrológico Tipos e características do Escoamento Fase terrestre no ciclo hidrológico Para onde vai o escoamento superficial? Escoamento até a rede de drenagem  rios e canais  Reservatórios

Tipos de escoamento bacia Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Superficial Sub-superficial ? Subterrâneo

Tipos de escoamento bacia Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Chuva, infiltração, escoamento superficial

Tipos de escoamento bacia Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Chuva, infiltração, escoamento superficial, escoamento subterrâneo Camada saturada

Tipos de escoamento bacia Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Escoamento sub-superficial

Tipos de escoamento bacia Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Depois da chuva: Escoamento sub-superficial e escoamento subterrâneo Camada saturada

Tipos de escoamento bacia Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Estiagem: apenas escoamento subterrâneo Camada saturada

Tipos de escoamento bacia Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Estiagem: apenas escoamento subterrâneo Camada saturada

Tipos de escoamento bacia Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Estiagem: apenas escoamento subterrâneo Camada saturada

Tipos de escoamento bacia Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Estiagem muito longa = rio seco Rios intermitentes Camada saturada

Geração de escoamento superficial Tipos e características do Escoamento Geração de escoamento superficial Precipitação que atinge áreas impermeáveis, áreas com capacidade de infiltração limitadas, áreas de alta declividade,... Processo hortoniano  escoamento superficial hortoniano Intensidade de precipitação excede a capacidade de infiltração Escoamento superficial em áreas saturadas Saturação do horizonte superficial do solo Fluxo direto (preferencial) Infiltração e percolação rápidas em macroporos (fendas, buracos de raízes, ...)

Tipos e características do Escoamento Áreas Impermeáveis Telhados Ruas Passeios General audience Planners Detailed spatial planning should not disable implementation of broad spectrum of individual SUDS techniques Provide space for links with downstream SUDS elements Developers Providing links with preventive measures Choosing or selecting the most appropriate solution for individual household Assessing the links with downstream SUDS units Preventing the adverse effects on environmentally sensitive areas Geração de escoamento superficial é quase imediata Infiltração é quase nula

Áreas de capacidade de infiltração limitadas Tipos e características do Escoamento Áreas de capacidade de infiltração limitadas Gramados Solos Compactados Solos muito argilosos General audience Planners Detailed spatial planning should not disable implementation of broad spectrum of individual SUDS techniques Provide space for links with downstream SUDS elements Developers Providing links with preventive measures Choosing or selecting the most appropriate solution for individual household Assessing the links with downstream SUDS units Preventing the adverse effects on environmentally sensitive areas Capacidade de infiltração é baixa

Intensidade da chuva x capacidade de infiltração Tipos e características do Escoamento Intensidade da chuva x capacidade de infiltração Precipitação Escoamento Infiltração tempo Infiltração

Intensidade da chuva x capacidade de infiltração Tipos e características do Escoamento Intensidade da chuva x capacidade de infiltração Considere chuva com intensidade constante Infiltra completamente no início Gera escoamento no fim Precipitação Infiltração início do escoamento Intensidade da chuva Capacidade de infiltração tempo

Intensidade da chuva x capacidade de infiltração Tipos e características do Escoamento Intensidade da chuva x capacidade de infiltração Considere chuva com intensidade constante Infiltra completamente no início Gera escoamento no fim Precipitação Infiltração início do escoamento Intensidade da chuva Capacidade de infiltração tempo volume infiltrado

Intensidade da chuva x capacidade de infiltração Tipos e características do Escoamento Intensidade da chuva x capacidade de infiltração Considere chuva com intensidade constante Infiltra completamente no início Gera escoamento no fim Precipitação Infiltração início do escoamento volume escoado Intensidade da chuva Capacidade de infiltração tempo volume infiltrado

Escoamento em áreas de solo saturado Tipos e características do Escoamento Escoamento em áreas de solo saturado Precipitação Infiltração

Escoamento em áreas de solo saturado Tipos e características do Escoamento Escoamento em áreas de solo saturado Precipitação Solo saturado

Escoamento em áreas de solo saturado Tipos e características do Escoamento Escoamento em áreas de solo saturado Precipitação Solo saturado Escoamento E mesmo que as características do solo propiciem alta, a capacidade de infiltração  a taxa de I é baixa

Geração de escoamento superficial Tipos e características do Escoamento Geração de escoamento superficial Intensidade da precipitação é maior do que a capacidade de infiltração do solo Processo hortoniano (Horton, 1934) I (mm/h) Q (mm/h) F (mm/h) Q = I – F

Geração de escoamento superficial Tipos e características do Escoamento Geração de escoamento superficial Precipitação atinge áreas saturadas Processo duniano (Dunne) Q (mm/h)

E isto tudo pode ocorrer na mesma bacia e no mesmo instante! Fonte: Rampelloto et al. 2001

Hidrograma Hidrograma Representação gráfica da vazão ao longo do tempo Resultado da interação de todos os componentes do ciclo hidrológico

Hidrograma 1

Hidrograma 2

Hidrograma 3

Hidrograma 4

Hidrograma 5

Hidrograma 6

Hidrograma 7

Hidrograma 8

Hidrograma 9

Hidrograma 10

Hidrograma 11

Hidrograma 12

Hidrograma 13

Hidrograma 14

Hidrograma 15

Hidrograma 16

Formação do Hidrograma Tipos e características do Escoamento Formação do Hidrograma Superficial e Escoamento subterrâneo Sub-superficial 1 – Início do escoamento superficial 2 – Ascensão do hidrograma 3 – Pico do hidrograma 4 – Recessão do hidrograma 5 – Fim do escoamento superficial 6 – Recessão do escoamento subterrâneo 3 2 4 5 6 1

Tipos e características do Escoamento Difuso x concentrado Escoamento difuso ocorre na bacia, sobre superfícies ou em pequenos canais efêmeros  tem profundidade pequena e largura indefinida Escoamento concentrado ocorre em canais  num rio, por exemplo, tem profundidade maior e largura definida Até onde o escoamento é considerado difuso vai depender da escala em que o fenômeno vai ser representado

Tipos e características do Escoamento Outros Escoamento num conduto pode estar sob pressão, mas tem seção constante Escoamento num lago sofre atuação de forças como a do vento e de Coriolis (grandes lagos) Fundamentos dos escoamentos  Mecânica dos fluidos e hidráulica (equações da continuidade, Euler, Navier-Stokes) Retratam-se os processo nas 3 dimensões e no tempo (caso geral) Rios  direção predominante longitudinal  equações unidimensionais de Saint Venant

ESCOAMENTO: MODELOS DE RIOS E RESERVATÓRIOS

Tipos e características do Escoamento Comportamento em rios e reservatórios rios Hidrograma de entrada Hidrograma de saída Ocorre atenuação: Armazenamento Atrito (efeitos dinâmicos) Igual a este (sem Qlateral) Volume armazenado acumulado

Tipos e características do Escoamento Comportamento em rios e reservatórios

I Q S Tipos e características do Escoamento Comportamento em rios e reservatórios rios Z2 Pode haver o mesmo S para cotas Z diferentes Z1 I Q S

I Q S2 S1 Tipos e características do Escoamento Comportamento em rios e reservatórios reservatórios Relação biunívoca Z x S Velocidade pequena Linha d’água horizontal Z2 S2 I Q S1 Z1

Tipos e características do Escoamento Comportamento em rios e reservatórios reservatórios h h S Q Q S

Tipos e características do Escoamento Comportamento em rios e reservatórios reservatórios

Equações hidrodinâmicas Hipóteses (Escoamento não permanente em canais) Escoamento unidimensional Distribuição de pressão hidrostática  declividade menor que 10% (Baptista e Lara, 2010) Canal de baixa declividade  menor que 15% (Fread, 1993 – handbook of hydrology) Fluido incompressível e homogêneo com vazão dada por Q (x,t) = V(x,t).A(x,t) Perda de carga no regime variado computada por uma equação de resistência do regime permanente e uniforme Funções contínuas em relação ao tempo t e ao espaço x

Equações hidrodinâmicas Equação da continuidade Volume de controle elementar de comprimento dx  escoamento entre as seções 1 e 2  x medida ao longo do canal, A a área molhada, y altura, profundidade ou tirante de água, B a largura da superfície livre, V a velocidade média na seção 1

Equações hidrodinâmicas Equação da continuidade Equação integral Fluido incompressível Obs.: sem aporte lateral

Equações hidrodinâmicas Equação da continuidade A variação de volume é resultado de uma modificação na superfície livre B (x,y) dy A (x,y)

Equações hidrodinâmicas Equação da continuidade O fluxo na superfície de controle é resolvido expandindo-se Vx.A na série de Taylor

Equações hidrodinâmicas Equação da continuidade A equação resultante Canais com declividade fraca  Vx pode ser considerada igual à V = Q/A (vel. média na seção) q  vazão lateral (Q por unidade de comprimento)  negativa (influxo) e positiva (efluxo ou saída)

Equações hidrodinâmicas Equação dinâmica Forças Devido à pressão hidrostática nas seções 1 e 2 Força gravitacional no sentido do escoamento Força de atrito nas paredes e no fundo do canal

Equações hidrodinâmicas Equação dinâmica

Equações hidrodinâmicas Equação dinâmica Um processo semelhante ao da equação da continuidade leva a: Ver Hidráulica básica de Rodrigo de Melo Porto, capítulo 14

Equações hidrodinâmicas As equações foram estabelecidas pela primeira vez por Adémas Jean-Claude Barré, conde de Saint Venant, engenheiro francês (1797-1886) Constituem um sistema de equações com duas incógnitas, em derivadas parcias de x e de t

Equações hidrodinâmicas Também são escritas como abaixo (continuidade e quantidade de movimento)

Equações hidrodinâmicas Equação dinâmica  significado dos termos Termo de gravidade Termos de inércia Termo de pressão Termo de atrito

Simplificações das Equações de Saint Venant Importância dos termos da equação dinâmica em rios Determinada pela situação hidráulica do curso d’água (declividade, largura da seção, ...) Henderson (1966)  para rios com I0 > 0,02 m/m  termos de inércia, em geral, muito pequenos, podendo ser desprezados  força da gravidade preponderante Cunge (1980)  ordem de grandeza dos termos de inércia = 10-5, enquanto dos termos de atrito e gravidade = 10-3

Simplificações das Equações de Saint Venant Importância dos termos da equação dinâmica em rios Exemplo rio Kitakami (A=7.860 km2) Máximo 1,5% Normal <1%

Simplificações das Equações de Saint Venant Importância dos termos da equação dinâmica em rios Exemplo rio Kitakami (A=7.860 km2) Termo de pressão é pequeno Termo de advecção e termo de variação temporal da quantidade de movimento são muito pequenos frente aos outros termos

Simplificações das Equações de Saint Venant O que queremos representar com os modelos? Efeitos que ocorrem com a onda de cheia quando se propaga ao longo de um rio ou canal Que efeitos são esses? Ocorre atenuação e deslocamento devido ao: Armazenamento  tanto na calha normal como nas áreas de inundação Atrito com as superfícies do canal e difusão devido ao gradiente de pressão

Simplificações das Equações de Saint Venant Translação (deslocamento) A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B

Simplificações das Equações de Saint Venant Amortecimento A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B

Simplificações das Equações de Saint Venant Efeito de jusante A h em B (maré) B Q Hidrograma em A Hidrograma em B t

Onda cinemática e modelos de armazenamento

Tópicos Importância do Escoamento Tipos de Escoamento Equações do escoamento não permanente ou equações hidrodinâmicas Equação da continuidade Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica Simplificações das Equações de Saint Venant Onda cinemática Propagação de cheias em rios O método Muskingum O metodo de Pulz - reservatórios

Simplificações das Equações de Saint Venant Voltando aos termos da equação dinâmica Eles podem ser considerados como uma representação de um gradiente ou declividade Permanente e uniforme Não permanente e não uniforme Permanente e não uniforme

Simplificações das Equações de Saint Venant Voltando aos termos da equação dinâmica Eles podem ser considerados como uma representação de um gradiente ou declividade Permanente e uniforme Não permanente e não uniforme Permanente e não uniforme

Simplificações das Equações de Saint Venant Voltando aos termos da equação dinâmica Desprezando todos os termos de inércia Associando esta equação dinâmica à equação da continuidade  base do modelo de difusão ou não inercial Aplicado quando não há grande variação temporal e espacial de V

Simplificações das Equações de Saint Venant Voltando aos termos da equação dinâmica Desprezando também o termo de pressão Associando esta equação dinâmica à equação da continuidade  base do modelo de onda cinemática se não há variação da linha d’água  movimento uniforme (UM)

Simplificações das Equações de Saint Venant Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada Não utilizam a equação dinâmica

Simplificações das Equações de Saint Venant Critérios (Fread, 1993 – handbook of hydrology) Modelos de onda cinemática e difusão: relação y x Q biunívoca e o produto do tempo de ascensão do hidrograma pela declividade de fundo não seja pequeno Onda cinemática (Erro em relação aos modelos com equações completas)

Simplificações das Equações de Saint Venant Critérios (Fread, 1993 – handbook of hydrology) Modelos de onda cinemática e difusão: relação y x Q biunívoca e o produto do tempo de ascensão do hidrograma pela declividade de fundo não seja pequeno Difusão (Erro em relação aos modelos com equações completas)

Simplificações das Equações de Saint Venant Parâmetros importantes: grande variedades de valores possíveis Canais de declividades suaves e ondas de cheia que sobem rapidamente  TrS0 pequeno  modelos com equações completas de Saint Venant

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Partindo de uma expressão do escoamento uniforme como a de Chézy Desprezam-se  Onda cinemática 

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática As duas equações juntas da Onda cinemática Como é possível MU (geralmente associado ao escoamento permanente) e uma variações de Q com x e de A com t? OU

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática A onda passa ... Durante e após sua passagem  sem mudança na declividade da linha d’água (escoamento principal)  não há desequilíbrio por causa de forças de pressão  as forças de resistência se equilibram com a gravidade y2 Q2 Q1 y1

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Relação biunívoca entre Q e V e y Não biunívoca nas equações completas  largura do laço indica importância relativa dos termos de inércia e pressão

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Relação Q = f(y)  cota-descarga ou curva chave Esc. Não perman.  Q para 2 para duas prof. Y  onde de cheia em ascenção ou depleção  influência do termo de aceleração local (1/g)(∂V/ ∂t)

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Relação Q = f(y)  cota-descarga ou curva chave Nível máximo da água atingido não corresponde à máxima vazão, que ocorre antes dele Linha tracejada  escoamento uniforme  onda cinemática

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Q = f(y)  A = f(y)  A = f(Q) e Q = f(A) y A A Q

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Conceito de onda cinemática  introduzido por Lighthill e Whitham (1955) Na equação da continuidade Por outro lado

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Celeridade da onda cinemática Espaço percorrido em Dt Só admite valores positivos (sentido da corrente)

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Outras formas de escrever a equação

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Propriedades da onda cinemática Propaga-se somente pra jusante O aspecto não muda ao longo do percurso, não havendo atenuação da altura da onda Percurso em Dt

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Propriedades da onda cinemática Onda cinemática não tem dispersão nem difusão (sem amortecimento) A onda é transladada sem sofrer alterações na forma A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Propriedades da onda cinemática Demonstração que o termo ∂V/∂A é sempre positivo  a celeridade é superior à velocidade média do regime uniforme velocidade de propagação

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Quando usar o modelo de onda cinemática? ∂y/∂x desprezado  não usar onde há efeito de jusante (canais próximos a lagos, barragens, estuários, estrangulamentos, oceanos ou rios maiores)  força da gravidade preponderante  escoamento unidirecional (montante para jusante)

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Quando usar o modelo de onda cinemática? Usados em modelos chuva-vazão (escoamento superficial)  não são recomendados para canais, exceto quando o hidrograma ascende devagar, a declividade é moderada para íngreme e a atenuação do hidrograma é bastante pequena.

Simplificações das Equações de Saint Venant Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática verifiquem

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Qp Montar o hidrograma de entrada no trecho Propagá-lo 2.1. Calcular y para cada Q (Manning) 2.2. Calcular CK para cada y 2.3. Calcular o tempo de viagem  Dt = L/CK Q Q0 t

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática Montagem o hidrograma de entrada no trecho

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática 2) Propagação

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática 2) Propagação

Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática 2) Propagação

Simplificações das Equações de Saint Venant Propagação de cheias em rios Para escapar do trabalho com as equações completas (Saint Venant)  modelos menos complexos para se propagar cheias em rios chamados modelos hidrológicos ou de armazenamento  não levam em consideração e equação da QM Os modelos com equações completas  modelos hidráulicos ou hidrodinâmicos

Propagação de cheias em rios métodos hidrológicos (armazenamento) Equação da QM substituída por uma do tipo: S = f (I, Q, I’, Q’) S = kQ S = K [xI +(1- x) Q] S = a/Qb Reservatório linear simples Muskingum SSARR

Propagação de cheias em rios métodos hidrológicos (armazenamento) Não utilizam a equação dinâmica

Propagação de cheias em rios métodos hidrológicos (armazenamento) Baseiam-se nos conceitos de prisma de armazenamento e cunha de armazenamento Declividade da linha d’água I ≠ O

Propagação de cheias em rios métodos hidrológicos (armazenamento) Continuidade Relação Se Muskingum  e

O modelo Muskingum S = K[xI +(1- x)Q] Desenvolvido por McCarthy em 1938  trabalhos e controle de cheias na bacia do rio Muskingum, EUA Baseia-se na equação da continuidade e relações aproximadas entre o armazenamento na calha e as vazões de entrada I e saída Q É do tipo concentrado no espaço Continuidade Relação S = K[xI +(1- x)Q]

O modelo Muskingum Sprisma = KQ Scunha = Kx(I-Q) S = K[xI +(1- x)Q] Ascenção I > Q K = tempo de viagem da vazão de pico ao longo do trecho X = fator de ponderação das vazões de entrada e saída (0 ≤ X ≤ 0,5) Canais naturais  0 ≤ X ≤ 0,3 Depleção Q > I S = K[xI +(1- x)Q]

O modelo Muskingum Tanto I quanto Q variam com o tempo  para um intervalo de tempo Dt  aproximados pela média aritmética dos valores do início e do fim do intervalo Rearranjando os termos C1 + C2 + C3 = 1

O modelo Muskingum K  tempo médio de deslocamento da onda no trecho X  ponderador entre as vazões de entrada e saída  varia entre 0 e 0,5, com valor típico para muitas correntes naturais igual a 0,2 K, X, It, It+1 e Qt são conhecidos K e Dt devem estar na mesma unidade, horas ou dias

O modelo Muskingum Os coeficientes C1 e C3 podem se tornar negativos de acordo com os valores dos parâmetros C1 negativo  quando Dt/K é menor que 2X  distância entre as seções é muito grande (valor alto de K) ou intervalo de tempo é muito pequeno  evitar vazões negativas  subdivide-se o trecho  reduz o K de cada um ou se aumenta Dt

O modelo Muskingum Os coeficientes C1 e C3 podem se tornar negativos de acordo com os valores dos parâmetros C3 negativo  Dt/K é maior que 2(1-X)  intervalo de tempo é muito grande  evitar vazões negativas  diminui-se o intervalo de tempo Dt

O modelo Muskingum Para que os coeficientes da equação sejam positivos Condições de estabilidade numérica 0,5 X 2 K / t D 1 Região válida

O modelo Muskingum Faixa de validade dos parâmetros I(t) Romper este limite  K alto e a distância entre as seções alta  criar subtrechos Romper este limite  Dt alto  reduzir Q(t)

Determinação dos parâmetros K e X O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X K  Diferença entre os centros de gravidade dos hidrogramas I e Q I Q K t X  escolhido, geralmente, entre 0,1 e 0,3

Determinação dos parâmetros K e X O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Se houver dados  Tradicional Método da Laçada  o volume acumulado ∑S é grafado contra a vazão ponderada xI + (1-x)Q para vários valores de X O gráfico que mais se aproximar de uma função linear é o que prever melhor o valor de X o coeficiente angular da reta é então o valor de K

Determinação dos parâmetros K e X O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Se houver dados  Tradicional Método da Laçada S/Δt X=X1 X= Xn Quando a inclinação mostra várias tendências  K varia com a vazão  sistema é não-linear tg = K xI+(1-x)Q S = K [xI +(1-x) Q]

Determinação dos parâmetros K e X o gráfico armazenamento O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X o gráfico armazenamento versus vazão ponderada  visualização do que ocorre na cunha Início da enchente  aumento do armazenamento segundo um gradiente íngreme Após o pico  diminuição do armazenamento com gradiente menor e em sentido contrário

Determinação dos parâmetros K e X O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Se houver dados  Tradicional Método da Laçada

Determinação dos parâmetros K e X O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Se houver dados  Tradicional Método da Laçada

K O melhor O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Se houver dados  Tradicional Método da Laçada

Determinação dos parâmetros K e X O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Mínimos quadrados  minimização quadrática da função de armazenamento Tende a dar maior peso aos maiores valores (vizinhança do pico) Sc  Di       So

Determinação dos parâmetros K e X O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Otimização de parâmetros  Utilizar um dos métodos de otimização com restrições condições iniciais  Nash (do modelo Nash)  do primeiro momento de uma função linear  diferença entre os CGs  Do segundo momento

Determinação dos parâmetros K e X O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Relação de momentos das funções  Dooge (1982)  Método considera o modelo linear e estima os parâmetros por características físicas velocidade Número de Froude profundidade Declividade do fundo Distância entre montante e jusante

Tópicos Importância do Escoamento Tipos de Escoamento Equações do escoamento não permanente ou equações hidrodinâmicas … Simplificações das Equações de Saint Venant O método Muskingum O método Muskingum-Cunge O método Muskingum-Cunge-Todini

Voltando aos termos da equação dinâmica O modelo de difusão Voltando aos termos da equação dinâmica Eles podem ser considerados como uma representação de um gradiente ou declividade Permanente e uniforme Não permanente e não uniforme Permanente e não uniforme

O modelo de difusão despreza os termos de inércia do escoamento dinâmico  pode ser usado onde não há grandes gradientes de velocidade considera os efeitos de jusante no escoamento de montante, como o próximo ao mar e confluência dos rios relação entre nível, vazão e declividade da linha d’água para uma seção de rio Equação dinâmica Equação da continuidade

Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada O modelo de difusão Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada

O modelo de difusão A partir da equação dinâmica e usando Sf a partir da equação de Manning y Z datum Qo = vazão de escoamento sem efeito de jusante

O modelo de difusão Positivo quando dZ/dx < 0 Se dZ/dx = S0 (dy/dx = 0)  escoamento uniforme  S0 = Sf  condição de onda cinemática Permite corrigir uma curva de descarga sujeita a efeito de jusante, função da declividade da linha d’água Aplicabilidade (PONCE et al., 1978)

O modelo de difusão Exemplos Afluente a um rio maior A B B A Afluente ao mar ou lago

O modelo de difusão Exemplos Afluência da bacia 2 Afluência da bacia 1 Canal de ligação Reservatório 1 Reservatório 2

Funções da seção de um rio O modelo de difusão h2 Funções da seção de um rio h1 Armazenamento ou Onda Cinemática h1 Para valores de h2 h Sem remanso Q Q dQ Com remanso

O modelo de difusão

O modelo de difusão Sem efeito de jusante Com efeito de jusante A B ZA – ZB > 0,2 m Com efeito de jusante Q0

Equação de convecção-difusão O modelo de difusão Equação de convecção-difusão Obtida da forma seguinte: Derivando a eq. da continuidade em relação a x e a eq. Dinâmica (modelo de difusão) em relação a t Trabalhando em cima da derivada e K em relação a t Conhecida também como equação do calor

Equação de convecção-difusão O modelo de difusão Equação de convecção-difusão Os coeficientes dependem da vazão e da profundidade  modelo não-linear É necessário fornecer condições de contorno de montante e de jusante (regime subcrítico), além das condições iniciais Pode-se utilizar diferenças finitas

Equação de convecção-difusão O modelo de difusão Equação de convecção-difusão Há uma forma de resolvê-la como modelo linear  difusão linear Celeridade = c Difusividade = D Translação e difusão Não representa efeitos de jusante A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B

O modelo Muskingum-Cunge Cunge (1980)  o método Muskingum é equivalente à solução da onda cinemática com um esquema numérico de diferenças finitas Podemos aplicar um esquema de diferenças finitas no modelo de onda cinemática  atingiremos um modelo semelhante ao Muskingum

O modelo Muskingum-Cunge Assim fazendo, o que descobrimos? Difusão da onda de cheia resultante do uso do modelo Muskingum  resultado de um erro numérico dependente dos intervalos de discretização utilizados nas derivadas do tempo e do espaço

O modelo Muskingum-Cunge Cunge então propôs uma forma de estimar os valores de K e X para que a difusão causada pelo erro numérico se iguale à difusão real da onda de cheia O modelo de Muskingum passou a ser chamado modelo Muskingum-Cunge A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B

O modelo Muskingum-Cunge Para uma seção em um ponto específico xo Derivada total da vazão  Para uma vazão constante  Da equação da continuidade sem vazão lateral

O modelo Muskingum-Cunge Equação da continuidade, sem vazão lateral, transformada com base no conceito de que existe uma relação biunívoca entre vazão e área (modelo de onda cinemática e armazenamento)

O modelo Muskingum-Cunge Esquemas numéricos para a onda cinemática Esquema de primeira ordem Esquema de segunda ordem

O modelo Muskingum-Cunge Esquema de primeira ordem Número de Courant

O modelo Muskingum-Cunge Esquema de segunda ordem Número de Courant

O modelo Muskingum-Cunge Exemplo onda cinemática Arquivo Excel onda cinemática Ocorre difusão porque o esquema numérico não representa perfeitamente a equação Difusão numérica

O modelo Muskingum-Cunge Onda cinemática versus equação de difusão Diferença Cunge utilizou um esquema numérico de 4 pontos para discretizar esta equação  chegou numa equação semelhante à do modelo Muskingum

O modelo Muskingum-Cunge Onda cinemática versus equação de difusão Onda cinemática versus equação de difusão Diferença Modelo Muskingum  equivalente a uma solução numérica da equação hiperbólica da onda cinemática

O modelo Muskingum-Cunge t t+1 t x j j+1

O modelo Muskingum-Cunge Derivada no tempo Ponderação entre duas diferenças adiantadas no tempo

O modelo Muskingum-Cunge Média entre duas diferenças adiantadas no espaço Derivada no espaço

O modelo Muskingum-Cunge Onda cinemática versus equação de difusão Diferença Como já dito  solução por métodos numéricos gera um amortecimento artificial devido à discretização Cunge (1969) expandiu por série Taylor os termos numéricos

O modelo Muskingum-Cunge Onda cinemática versus equação de difusão Diferença Resultado

O modelo Muskingum-Cunge Dispersão numérica Para que D seja nulo (onda cinemática)  X = 0,5. Caso contrário é introduzida um amortecimento numérico Cunge (1980) sugeriu uma equação para o parâmetro X, onde a difusão numérica seria equivalente à difusão real:

O modelo Muskingum-Cunge Dispersão numérica Estas equações permitem a estimativa dos parâmetros do modelo Muskingum para que ele funcione como um modelo de difusão É necessária uma vazão de referência As estimativas são baseadas em dados físicos do trecho

O modelo Muskingum-Cunge Muskingum Cunge Linear (MCL)  essa vazão de referência Q0 é fixa para todo o período de cálculo  Tucci (2005) sugere que Q0 seja cerca 70% da vazão máxima do hidrograma de entrada no trecho Muskingum-Cunge Não Linear (MCNL)  Q0 é calculada em cada passo de tempo de simulação. Desta forma, os parâmetros K e X também variam em cada passo de tempo  várias formas  esquema de 3 pontos e esquema de 4 pontos (método iterativo)

O modelo Muskingum-Cunge MCL c0 pode ser obtida com base na equação de Manning por O uso dela está em contradição com o modelo de difusão: equação de Manning  onda cinemática Jones (1981)  analisou a precisão numérica do esquema numérico do modelo Muskingum para resolver a equação de difusão Apresentou relações entre K/Dt e X

O modelo Muskingum-Cunge MCL Intervalo  ajuste de uma curva que atenda as duas funções dentro de uma margem de erro de 2,5%

O modelo Muskingum-Cunge MCL

O modelo Muskingum-Cunge MCL Ajuste A seguir roteiros para uso do modelo para os casos sem dados e com dados

O modelo Muskingum-Cunge MCL  roteiros Sem dados: roteiro 1  Se Dx é determinado em função dos dados e das características dos trechos  Dt determinado visando à faixa de precisão das curvas e Dt ≤ tp/5, onde tp é o tempo de pico do Hidrograma de entrada Fixe Dt = tp/5 Determine Dx com a equação Chute inicial, adotando X = 0,3 (melhor precisão) Adote Qo = 2/3 Imax ou ajuste Calcule K e X, verifique a precisão (faixa de 5%)  se não estiver, reavalie Dx

O modelo Muskingum-Cunge MCL  roteiros Sem dados: roteiro 2  Se Dx é determinado em função dos dados e das características dos trechos  Dt determinado visando à faixa de precisão das curvas e Dt ≤ tp/5, onde tp é o tempo de pico do Hidrograma de entrada Fixe Dt = tp/5 e determine Dx com a equação Calcule K e X, verifique a precisão (faixa de 5%)  se não estiver, reavalie Dx

O modelo Muskingum-Cunge MCL  roteiros Com dados Dx pode ser fixado em função das características físicas ou ajustado com outros parâmetros Utilizando a equação  parâmetros de ajuste Q0 e n Outras etapas iguais aos casos anteriores

O modelo Muskingum-Cunge MCL  Dx ideal Muskingum Cunge Jones Fread

O modelo Muskingum-Cunge

O modelo Muskingum-Cunge

O modelo Muskingum-Cunge

O modelo Muskingum-Cunge MCNL A celeridade não é constante Os parâmetros do método de Muskingum Cunge deveriam variar Celeridade varia com o nível da água ou com a vazão Celeridade diminui Celeridade aumenta

O modelo Muskingum-Cunge MCNL  Evidências experimentais Murrumbidgee river - Wang e Laurenson, 1983 Water Resources Research

O modelo Muskingum-Cunge MCNL Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3) Só o que não muda é o Dx

O modelo Muskingum-Cunge MCNL  Qual vazão usar como referência? iterativos

O modelo Muskingum-Cunge-Todini MCT  fazer resumo do artigo PONTES, P. R. M. ; COLLISCHONN, W. . Conservação de volume em modelos simplificados de propagação de vazão. Revista Brasileira de Recursos Hídricos, v. 17, n.4. p. 83-96, 2012.

Contribuição lateral

Contribuição lateral O tratamento do escoamento em rios pelos modelos anteriores resolve somente o fluxo na calha Mas o hidrograma de jusante recebe um volume correspondente à vazão lateral (Qlat) Tem que ser avaliada a importância da contribuição lateral M Contribuição lateral Propagação J

Avaliação da influência (ajuste e verificação) Contribuição lateral Avaliação da influência (ajuste e verificação) tomar eventos na seções de montante e de jusante do trecho  calcular os volumes: hidrograma de montante (Vm) e de jusante (Vj) Vi = Vj – Vm nt  número de intervalos de tempo

Avaliação da influência (ajuste e verificação) Contribuição lateral Avaliação da influência (ajuste e verificação) Dados os hidrogramas (entrada e saída) observados  influência da Qlat no hidrograma de saída pode ser verificada por: Para valores de Pi < 15%  influência da Qlat tende a ser pequena  deslocamento da onda do rio é o processo principal Caso contrário (há Qlat significativa)  procedimento a seguir

Obtida na verificação anterior Contribuição lateral Avaliação da influência (ajuste e verificação) Qlat significativa  pode-se adotar uma distribuição uniforme para a contribuição lateral (vazão lateral constante ao longo do evento): Obtida na verificação anterior

Avaliação da influência (ajuste e verificação) Contribuição lateral Avaliação da influência (ajuste e verificação) Vazão de jusante sem contribuição  num tempo t qualquer

Contribuição lateral Prognóstico Quando não é conhecido o hidrograma de jusante  contribuição lateral: estimada com base nos valores de Pi (de eventos anteriores registrados) e do hidrograma de montante:

Contribuição lateral Prognóstico E quando não se tem eventos a jusante e sabemos que a contribuição lateral é importante? Pode-se utilizar proporção de área com dados de contribuintes, que tenham dados, julgados representativos M Contribuição lateral Propagação J

Contribuição lateral Exercício Planilha - Exemplo 12.3 Tucci Determine o valor do parâmetro K do método de Muskingun, considerando o seguinte evento observado Planilha - Exemplo 12.3 Tucci

Modelos de reservatórios

Tópicos Importância do Escoamento Tipos de Escoamento Equações do escoamento não permanente ou equações hidrodinâmicas Equação da continuidade Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica Simplificações das Equações de Saint Venant Onda cinemática Propagação de cheias em rios O método Muskingum O metodo de Pulz - reservatórios

Escoamento em reservatórios Linha d’água horizontal, grande profundidade e velocidade baixa velocidade baixa  termos dinâmicos são desprezíveis perto da grande variação de armazenamento Simula-se a propagação de vazão com a equação da continuidade concentrada

Escoamento em reservatórios Já vimos

Método de Pulz Simula a propagação na bacia de detenção com três equações: Equação da continuidade: dS/dt = I - Q Função de armazenamento: S = f(Q) Equação do controle hidráulico: Q = f(H) Necessário o emprego de métodos numéricos  O hidrograma de entrada I pode assumir diferentes formas  a equação dinâmica de propagação S = f(Q) é quase sempre não linear

1 equação e 2 Incógnitas  equação adicional: Q = f(S/Dt) Método de Pulz Equação da continuidade Incógnitas Variáveis conhecidas 1 equação e 2 Incógnitas  equação adicional: Q = f(S/Dt)

Método de Pulz Relação volume x vazão Função auxiliar Q = f(S/Dt) Função auxiliar Q = f1(Q + 2.S/Dt) Q S/Dt Construídas a partir da curva cota x S e cota x Q saída pelas estruturas hidráulicas

Método de Pulz Metodologia f1 G Estabeleça as condições iniciais So (volume inicial)  calcular Q0 = f(S0/Dt) no gráfico Q = f(S/Dt); 2. Calcule o valor G = lado direito da equação acima 3. Este valor é igual a f1t+1 = lado esquerdo da equação acima 4. No gráfico Q = f1(Q + 2S/Dt)  determinar Qt+1 e St+1 5. Repete-se os itens 2 a 4 até o último intervalo de tempo

Tempo It 1 I0 2 I1 3 I2 ... Método de Pulz Metodologia f1 G Da curva Q = f(S/Dt)

Método de Pulz Metodologia f1 f e f1 Q Q=f1(Q+2S/DT) Q=f(S/DT) Q Cálculo de G com o hidrograma de entrada S/Dt G = f1

Método de Pulz Curva Q = f(S) Curva cota x volume (armazenamento) Batimetria do reservatório ou projeto (reservatório de geometria regular)

Método de Pulz Sistema WGS 84 Diferença +/- 5 m

Método de Pulz Cota: 6,5 m Área inundada: 32 ha Volume: 0,1 Hm3 Vazão regularizada: ?

Método de Pulz Cota: 7 m Área inundada: 200 ha Volume: 0,7 Hm3 Vazão regularizada: ?

Método de Pulz Cota: 8 m Área inundada: 815 ha Volume: 5,7 Hm3 Vazão regularizada: 1,0 m3/s

Método de Pulz Cota: 9 m Área inundada: 1.569 ha Volume: 17,6 Hm3 Vazão regularizada: 1,5 m3/s

Método de Pulz Cota: 10 m Área inundada: 3.614 ha Volume: 43,6 Hm3 Vazão regularizada: 3,5 m3/s

Método de Pulz Cota: 11 m Área inundada: 7.841 Volume: 101 Hm3 Vazão regularizada: 5,0 m3/s

Método de Pulz Cota: 12 m Área inundada: 10.198 ha Volume: 191 Hm3 Vazão regularizada: 7,0 m3/s

Método de Pulz Cota: 13 m Área inundada: 12.569 ha Volume: 305 Hm3 Vazão regularizada: 8,0 m3/s

Método de Pulz Cota: 14 m Área inundada: 14.434 ha Volume: 440 Hm3 Vazão regularizada: 8,0 m3/s

Método de Pulz Cota: 15 m Área inundada: 16.353 ha Volume: 594 Hm3 Vazão regularizada: 8,5 m3/s

Método de Pulz Curva Q = f(S) Curva cota x vazão de saída  função do tipo de dispositivo hidráulico usado na saída (orifício, vertedor, etc.)

Método de Pulz Curva Q = f(S) z z z1 z1 S1 S Q1 Q S Q Q1 S1

Método de Pulz Estruturas de saída

Método de Pulz Estruturas de saída

Método de Pulz Estruturas de saída

Método de Pulz Estruturas de saída Qual a relação cota x vazão de saída da estrutura abaixo? Equação de vertedor Equação de orifício

Método de Pulz Estruturas de saída Para a cota 561’  h = 0,83’

Método de Pulz

Método de Pulz - exemplo Calcule o hidrograma de saída de um reservatório com um vertedor de 25 m de comprimento de soleira, esta na cota 120 m, considerando tabela cota-volume para o reservatório e o hidrograma de entrada apresentados abaixo, e considerando que nível da água no reservatório está inicialmente na cota 120 m.

Método de Pulz - exemplo Hidrograma de entrada no reservatório

Método de Pulz - exemplo O primeiro passo  criar uma tabela relacionando a vazão de saída com a cota. Considerando um vertedor livre, com coeficiente C = 1,5 e soleira na cota 120 m, a relação é dada por: ver tabela 

Método de Pulz - exemplo Esta tabela pode ser combinada à tabela cota – volume, acrescentando uma coluna com o valor do termo 2.S/t+Q, considerando o intervalo de tempo igual a 1 hora:

Método de Pulz - exemplo No primeiro intervalo de tempo o nível da água no reservatório é de 120 m, e a vazão é zero. O volume acumulado (S) no reservatório é 2000.104 m3. O valor 2.S/t+Q para o primeiro intervalo de tempo é 11111 m3.s-1. Para cada intervalo de tempo seguinte a vazão de saída pode ser calculada pelos passos do método. Ver planilha PulsExemploSlides.xls

Método de Pulz - exemplo Metodologia f1 f e f1 Q=f1(Q+2S/DT) Q=f(S/DT) Q Cálculo de G com o hidrograma de entrada S/Dt G = f1

Método de Pulz - exemplo Metodologia Tempo It 1 I0 2 I1 3 I2 ... f1 G Da curva Q = f(S/Dt)

Método de Pulz - exemplo O cálculo de propagação de vazões em reservatórios, como apresentado neste exemplo, pode ser utilizado para dimensionamento de reservatórios de controle de cheias, e para análise de operação de reservatórios em geral. Mediante algumas adaptações, pode ser aplicado para reservatórios com vertedores controlados por comportas e para outras estruturas de saída Limitações: métodos como este (level-pool routing) são menos exatos quando o comprimento do reservatório aumenta, a profundidade média do reservatório decresce e o tempo de ascenção do hidrograma decresce.

Método de Pulz – exemplo 2 Determine a capacidade de um reservatório amortecer uma cheia, considerando que o volume inicial do reservatório deve garantir uma demanda de irrigação de 0,1 m3/s e 60 dias a demanda de abastecimento (0,2 m3/s). Considere também as seguintes relações:

Método de Pulz – exemplo 3 Exercícios Puls Calcule o hidrograma de saída de um reservatório com um vertedor de 10 m de comprimento de soleira, com a soleira na cota 120 m, considerando a seguinte tabela cota–volume para o reservatório e o hidrograma de entrada apresentado na tabela abaixo, e considerando que nível da água no reservatório está inicialmente na cota 120 m

Hidrograma de entrada no reservatório. Método de Pulz – exemplo 3 Hidrograma de entrada no reservatório. Tempo (h) Vazão (m3.s-1) 1 350 2 720 3 940 4 1090 5 1060 6 930 7 750 8 580 9 470 10 380 11 310 12 270 13 220 14 200 15 180 16 150 17 120 18 100 19 80 20 70 Qual deveria ser o comprimento do vertedor para que a vazão de saída não superasse 600 m3/s?