Luiz Carlos dos Santos Filho – Licenciado IME XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional ENCONTRO COM O MUNDO NÃO EUCLIDIANO Sergio Alves – IME USP Luiz Carlos dos Santos Filho – Licenciado IME 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano Objetivos Apresentar um Modelo de Geometria Hiperbólica de forma acessível. Resgatar a Geometria Euclidiana 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano Agenda Geometria Hiperbólica Apresentando o Modelo do Disco de Poincaré Pré-requisitos Construção de Retas Construção da perpendicular Construção da Mediatriz Comparando construções na Geometria Hiperbólica e Euclidiana (Parabólica) Aplicações 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Geometria Hiperbólica Etimologia – Origem das Palavras Hipérbole: do gr. hyper, em posição superior. Parábola: do gr.par(a), ao lado de. Elipse: gr. élleipsis, omissão. Felix Klein (1849-1925, Alemanha) Dicionário Etimológico Nova Fronteira, Antônio Geraldo da Cunha 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano Geometria Euclidiana Dada uma reta r e um ponto P fora dela, por este ponto passa P . s uma e somente uma r reta paralela a reta r 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Geometria Hiperbólica Dada uma reta r e um ponto P fora dela, por este ponto passam P . no mínimo duas r ? retas paralelas a reta r 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano Modelo Matemático Modelos são laboratórios para experimentarmos o Sistema Formal 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Universo Hiperbólico 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Retas / Semi-Retas / Segmentos Hiperbólicos 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Quantidade de paralelas 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Ângulo Hiperbólico: ângulo entre as tangentes 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Sistema de Medidas Hiperbólico Construir métrica infinita num disco limitado. Sempre positivo. Simétrico 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Sistema de Medidas Hiperbólico 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Sistema de Medidas Hiperbólico 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano Pré-Requisito Potência de um Ponto (OP1).(OP2)=(OQ1).(OQ2) 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano Pré-Requisito Inverso de um Ponto (OP).(OP’) = (raio OL )2 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano Pré-Requisito Inverso de um Ponto (OP).(OP’) = (raio OL )2 P=P’ se e somente P pertence a circunferência C Se P esta no interior de C então P’ esta fora e vice-versa (P’)’ = P 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Circunferências Ortogonais Pré-Requisito Circunferências Ortogonais Ângulo  O1LO2 é reto 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Circunferências Ortogonais Pré-Requisito Circunferências Ortogonais Seja P um ponto no interior de C1, de modo que P é diferente do Centro . Seja C2 uma circunferência passando por P. As circunferências C1 e C2 são ortogonais se somente se C2 passa pelo inverso P’ de P em relação a C1. 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Construção de Retas 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Construção da Perpendicular 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Construção da Mediatriz Achar a reta hiperbólica que torne: - P inverso de Q K inverso de L Em relação a circunferência que contém esta mesma reta. 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Construção da Mediatriz 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Quantidade de paralelas 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Soma dos ângulos de um triângulo 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Soma dos ângulos de um quadrilátero 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Circuncentro: encontro das mediatrizes do triângulo 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Ortocentro: encontro das alturas 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Inversão e Reflexão 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Inversão de uma circunferência 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Circunferências Hiperbólicas 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Modelo do Disco de Poincaré Circunferências Hiperbólicas 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Geometrias não euclidianas Aplicações Geometrias não euclidianas 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

Geometrias não euclidianas Aplicações Geometrias não euclidianas Maurits Cornelis Escher Holanda – 1898 Circle Limit III 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano O que aprendemos? Respeito ao trabalho de nossos antecessores Dificuldades e conseqüências de se quebrar paradigmas Geometria Euclidiana Idéia inicial sobre modelos matemáticos e geometria hiperbólica 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano