Ludwig Krippahl, 2007 Programação para as Ciências Experimentais 2006/7 Teórica 6

Ludwig Krippahl, Na aula de hoje... Anúncios Métodos estocásticos (Monte Carlo) Calculo de áreas Integração de funções Unidades formadoras de colónias Formação de nanoestruturas Trabalho 1 (dúvidas, etc...)

Ludwig Krippahl, Anúncios Entrega do trabalho 1: dia 27, 9:00h As aulas dessa semana não são para tirar dúvidas sobre o trabalho 1. Alunos do P5: combinar aula para compensar o feriado (no final desta)

Ludwig Krippahl, Monte Carlo Nome cunhado pelo matemático Nicholas Constantine Metropolis( ) Conjunto de métodos baseados em números aleatórios.

Ludwig Krippahl, Calcular uma área x>1 y<x-1 y 2 +x 2 <4

Ludwig Krippahl, Calcular uma área x>1 y<x-1 y 2 +x 2 <4 Área?

Ludwig Krippahl, Algoritmo Pontos ao acaso no quadrado -2, 2. Área?

Ludwig Krippahl, Algoritmo Contamos os pontos dentro e fora. Área?

Ludwig Krippahl, Algoritmo Contamos os pontos dentro e fora. A fracção de pontos dentro da área será a proporção entre a área a medir e a área do quadrado. Quanto mais pontos melhor.

Ludwig Krippahl, Implementação Separar as tarefas: Dentro ou fora? Uma função que recebe x, y e devolve true ou false conforme x, y está dentro da área que queremos. Contar os pontos Outra função que recebe o nome da função que testa, o rectângulo que inclui a área a medir, e o número de pontos, e devolve a área pretendida.

Ludwig Krippahl, Implementação Função triangcirc testa se está dentro do triângulo e circulo function dentro=triangcirc(x,y) dentro= ( x^2+y^2 1 && y<x-1); endfunction

Ludwig Krippahl, Implementação Função areamc: devolve área recebe nome da função teste (string, para o feval) mínimos de x e y máximos de x e y (definem o rectângulo) número de pontos

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Ludwig Krippahl, Implementação Função areamc: function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos) valor a devolver com a área

Ludwig Krippahl, Implementação Função areamc: function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos) string com o nome da função que testa cada ponto

Ludwig Krippahl, Implementação Função areamc: function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos) rectângulo que contêm a área a determinar

Ludwig Krippahl, Implementação Função areamc: function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos) número de pontos a testar

Ludwig Krippahl, Implementação Função areamc: área (variável a) começa a zero calcular a largura e altura do rectângulo ciclo para testar o número especificado de pontos. no final, a área é o número de pontos dentro a dividir pelo total de pontos e multiplicar pela área do rectângulo

Ludwig Krippahl, Implementação Função areamc: ciclo para testar o número especificado de pontos. criar coordenadas x,y aleatórias, de minx a maxx, e miny a maxy respectivamente. se feval(testefn, x, y) for verdadeiro então incrementar a variável a (para contar o número de pontos dentro da área)

Ludwig Krippahl, Implementação Para fazer os gráficos: Além da área devolver também duas matrizes com as coordenadas x,y dos pontos dentro e fora. function [a,dentros,foras]=areamc(testfn,minx,miny,m axx,maxy,pontos)

Ludwig Krippahl, Exemplo de utilização octave:13> areamc("triangcirc",-2,-2,2,2,1000) ans = Nota: chamando assim ignora os outros valores devolvidos, dentros e foras.

Ludwig Krippahl, Exemplo de utilização pontos=1000; [a,ds,fs]=areamc("triangcirc",-2,-2,2,2,pontos); hold off axis("equal") eixos iguais title([num2str(pontos)," pontos"]); plot(ds(:,1),ds(:,2),"og;;"); hold on; plot(fs(:,1),fs(:,2),"or;;"); or;; – circulo, red, ;; indica que não tem legenda

Ludwig Krippahl, Dicas Mais pontos, mais rigor:

Ludwig Krippahl, Dicas Mais pontos, mais rigor. O rectângulo convêm estar o mais próximo possível da área que queremos. Em vez de (-2,-2) a (2,2), usar (1, -2) a (2,1)

Ludwig Krippahl, Dicas Em vez de (-2,-2) a (2,2) usar (1, -2) a (2,1) Área=1.7

Ludwig Krippahl, Integrar função

Ludwig Krippahl, Integrar função O integral de f(x)=-exp(x 3 ) não tem solução analítica. Mas o integral é a área:

Ludwig Krippahl, Integrar função Podemos usar a areamc, só precisamos de uma função nova: function dentro=expxcubo(x,y) dentro=y<=exp(-x^3); endfunction

Ludwig Krippahl, Integrar função Basta usar: areamc("expxcubo",0,0,2,1.2,5000); ans= Nota: neste caso só é devolvido o primeiro valor (a).

Ludwig Krippahl, Integrar função Para fazer o gráfico: pontos=5000; [a,ds,fs]=areamc("expxcubo",0,0,2,1.2,pontos); clearplot axis("equal") title([num2str(pontos)," pontos"]); plot(ds(:,1),ds(:,2),"og;;"); hold on; plot(fs(:,1),fs(:,2),"or;;");

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Ludwig Krippahl, Contar microorganismos no ar Bomba aspira ar. Orifícios sobre placa. Contar colónias. Estimar UFCs.

Ludwig Krippahl, Contar microorganismos no ar Problema: Podem entrar vários esporos ou bactérias pelo mesmo orifício, resultando numa só colónia. Ar

Ludwig Krippahl, Simulação Temos N orifícios e X UFCs. Cada UFC pode entrar por qualquer dos N orifícios. O número de colónias será o número de orifícios diferentes por onde entraram UFCs

Ludwig Krippahl, Algoritmo Para cada UFC seleccionar um orifício aleatoriamente e marcar esse orifício. Contar o número de orifícios marcados. Repetir um número grande de vezes (50, 100,...) e tirar o valor médio.

Ludwig Krippahl, Implementação Função function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas) Devolve o número de colónias

Ludwig Krippahl, Implementação Função function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas) Número de orifícios

Ludwig Krippahl, Implementação Função function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas) Número de UFCs no ar

Ludwig Krippahl, Implementação Função function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas) Número de vezes que repete a simulação para calcular a média

Ludwig Krippahl, Implementação Dois ciclos for: número de tentativas e, para cada tentativa número de ufcs. A cada tentativa somar a um contador o número de orifícios marcados.

Ludwig Krippahl, Implementação Os orifícios podem ser representados como um vector de zeros, e marcados com 1. O total de orifícios marcados é o somatório do vector.

Ludwig Krippahl, Implementação Como seleccionar o orifício aleatoriamente. É preciso arredondar: round(x) inteiro mais próximo de x floor(x)maior inteiro menor que x ix=floor(rand*buracos)+1; (de 1 a buracos) Nota: o rand nunca devolve 1. Ver help.

Ludwig Krippahl, Problema real A função colonias dá-nos o número de colónias formadas na placa sabendo as UFCs no ar. O problema real é o inverso: as colónias na placa é o que se observa, e o que queremos saber é as UFCs do ar.

Ludwig Krippahl, Algoritmo O número de colónias será sempre igual ou inferior ao número de UFCs no ar. Começar por UFCs= colónias, e ir incrementando os UFCs até obter da função colonias o número certo de colónias.

Ludwig Krippahl, Implementação Função contaufcs function u=contaufcs(buracos,cs,tentativas) Recebe o número de orifícios, colónias observadas, e o número de tentativas para estimar as colónias para cada valor de u.

Ludwig Krippahl, Implementação Função contaufcs u = cs Enquanto o número estimado de colónias for inferior a cs, incrementar u e recalcular a estimativa Para estimar o número de colónias em função de u usar a função colonias, com o número de tentativas no argumento do contaufcs

Ludwig Krippahl, Formação de nanoestruturas Controlled Synthesis of 2-D and 3-D Dendritic Platinum Nanostructures, Yujiang Song et al, JACS 23/12/2003

Ludwig Krippahl, Formação de nanoestruturas

Ludwig Krippahl, Simular difusão em 2D Movimento aleatório da partícula

Ludwig Krippahl, Simular difusão em 2D Superfície maior: cyclic boundary

Ludwig Krippahl, Simular difusão em 2D Regras de movimento: partícula está em x, y. escolher aleatoriamente -1, +0, +1 para cada

Ludwig Krippahl, Simular difusão em 2D Regras de movimento: partícula está em x, y. escolher aleatoriamente -1, +0, +1 para cada sai por um lado, entra pelo outro: se >tamanho, coordenada = 1 se <1, coordenada = tamanho Atenção round(rand*2) ou floor(rand*3)? O round dá 50% de probabilidade de ser 1...

Ludwig Krippahl, Simular difusão em 2D Função movexy function [x,y]=movexy(x,y,tamanho) Recebe coordenadas x, y e tamanho. Devolve coordenadas x, y depois de modificadas. Precisa de saber o tamanho para dar a volta se a coordenada sai da grelha.

Ludwig Krippahl, Inicio da trajectória A partícula vai começar no limite da grelha:

Ludwig Krippahl, Inicio da trajectória A partícula vai começar no limite da grelha: Escolher x e y ao acaso, entre 1 e tamanho. x e y têm que ser inteiros. Escolher um r ao acaso entre 0 e 1. Conforme o r é <0.25, <0.5, <0.75 ou else x=1, x=tamanho, y=1, y=tamanho

Ludwig Krippahl, Inicio da trajectória Conforme o r é <0.25, <0.5, <0.75 ou else x=1, x=tamanho, y=1, y=tamanho 25% probabilidade para cada lado

Ludwig Krippahl, Inicio da trajectória Função inicio function [x,y]=inicio(tamanho) Recebe o tamanho da grelha e devolve as coordenadas iniciais da partícula geradas aleatoriamente, na fronteira da grelha.

Ludwig Krippahl, Formação de nanoestruturas A estrutura vai-se formando conforme partículas difundem pela membrana e se agregam. Algoritmo: quando o movimento de uma partícula a levaria a uma posição da grelha já ocupada, a partícula fica imobilizada como parte da estrutura

Ludwig Krippahl, Implementação Função crescimento function parts=crescimento(tamanho,particulas) Recebe o tamanho da grelha e o número de partículas na nanoestrutura. Devolve uma matriz de 2 colunas com as coordenadas x e y das partículas na estrutura.

Ludwig Krippahl, Implementação Exemplo tamanho=20; parts=crescimento(tamanho,40); title([num2str(length(parts))," particulas"]); axis([1,tamanho,1,tamanho],"equal"); plot(parts(:,1),parts(:,2),"or;;");

Ludwig Krippahl, Implementação Exemplo

Ludwig Krippahl, Implementação Representação da estrutura: Matriz de duas colunas x, y. Problema: Para detectar se uma célula da grelha está ocupada temos que ver todas as partículas já na estrutura. Isto cada vez que se move uma partícula. Pouco eficiente

Ludwig Krippahl, Implementação Representação da estrutura: Matriz de duas colunas x, y. Solução: Representar também a grelha com uma matriz de zeros, de tamanho x tamanho, em que colocamos 1 em cada célula ocupada. Para detectar ocupação da célula x, y é só consultar matriz(x,y)

Ludwig Krippahl, Implementação Função crescimento Criar grelha e vector partículas Colocar a primeira partícula no centro da grelha Para cada partícula da segunda em diante: Usar inicio para escolher o ponto inicial. Repetir: movexy e verificar se novo x, y está ocupado. Se está guardar o x, y corrente na partícula e marcar a grelha.

Ludwig Krippahl, Formação de nanoestruturas

Ludwig Krippahl, Como fazer estes gráficos? Próxima aula....

Ludwig Krippahl, Trabalho 1 Parte 1 Quase o mesmo que o zero do polinómio, mas em vez do polinómio usa a função que calcula o desvio ao equilíbrio. Parte 3 Quase o mesmo que extrair os elementos da fórmula química Partes 2 e 4: usar o resto.

Ludwig Krippahl, Dúvidas