24 Novembro 2006Folha de Cálculo 11 Jorge Cruz DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação 1º Semestre 2006/2007

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 2 Folha de Cálculo A informação numa folha de cálculo está estruturada com base em matrizes, ou tabelas. Numa folha simples, existe uma única matriz, cuja dimensão é arbitrária. Nessa matriz podem ser definidas submatrizes, ou subvectores. Qualquer posição na matriz é uma variável, identificada pela sua coluna (A, B, Z, AA,... – uma ou mais letras) e sua linha (1, 2, 3,... - um inteiro). Por exemplo B2 = Pedro Vieira

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 3 Folha de Cálculo Tal como numa linguagem de programação, a uma variável podem ser atribuidos valores, constantes ou dependentes de outras variáveis através de fórmulas. B1 = 3 * A1 B2 = 3 * A2.... B5 = 3 * A5 Uma folha de cálculo tem uma natureza reactiva. Sempre que uma variável muda de valor, as que são dependentes mudam igualmente de valor. Por exemplo, se A1 passar para 2, B2 passará automáticamente para B1 = 2* A1 = 2* 2 = 4. A1 = 1 A2 = A5 = 5

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 4 Folha de Cálculo Por esta razão, não são permitidas fórmulas que introduzam dependências circulares –directas ( A1 = 2 * A1); –ou indirectas (A1 = 3 * B1 e B1 = 4 * A1). Qualquer destas fórmulas levaria a computações eventualmente infinitas. A1 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 *... A1 = 3 * 4 * 3 * 4 * 3 *... Nota: As folhas de cálculo permitem controlar o número de computações mas, em geral, as referências circulares devem ser evitadas.

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 5 Condicionais em Folhas de Cálculo Em folhas de cálculo há instruções condicionais de atribuição de valores (não condicionais de controle de execução) A sua sintaxe (em EXCEL) é if(condition, then_value, else_value) B1 = if (A1 <=3, 3* A1,0) B2 = if (A2 <=3, 3* A2,0).... B5 = if (A5 <=3, 3* A5,0) Estas instruções podem encadear-se. Por exemplo if(condition1, then_value1, if(condition2, then_value2, if(condition3, then_value3,value_4))) A1 = 1 A2 = A5 = 5

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 6 Iterações em Folhas de Cálculo O conceito de iteração numa linguagem imperativa implica a repetição temporal de instruções. Por exemplo, com a instrução pretende-se fazer executar as (de atribuição de valores a variáveis) n vezes, em sequência. Numa folha de cálculo, essa iterações podem ser obtidas através de uma repetição espacial das instruções. A título de exemplo, vamos calcular x n. para i de 1 até n fazer fimfazer;

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 7 Iterações em Folhas de Cálculo Numa linguagem imperativa, por exemplo em Octave, o cálculo pode ser feito através do programa Neste programa, a variável y vai tomando os diversos valores (1, x, x 2, x 3,..., x n ), ao longo do tempo, começando com o valor 1, e terminando no valor x n. Numa folha de cálculo, os diferentes valores que y toma, podem ser arrumados, ao longo do espaço, por exemplo num conjunto de células contíguas (por exemplo, uma coluna). y = 1 ; x = for i = 1:n y = y * x fimfazer;

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 8 Iterações em Folhas de Cálculo Numa linguagem imperativa, por exemplo em Octave, o cálculo pode ser feito através do programa De notar que, na realidade, o mesmo programa tem de ser escrito n vezes, uma vez em cada célula. Para evitar este inconveniente, a interface das folhas de cálculo permite copiar o conteúdo de uma célula para outras, fazendo automáticamante o ajuste das referências. y = 1 ; x = for i = 1:n y = y * x fimfazer; A1 = A2 = A1 * A1; A3 = A2 * A1; … A5 = A4 * A1; X = Y1 = 1 * X Y2 = Y1 * X; Y3 = Y2 * X; … Y5 = Y4 * X;

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 9 Iterações em Folhas de Cálculo Por exemplo, se tivermos a célula B1 definida como B1 = 2* A1 e a copiarmos para baixo, i.e. para B2, como a cópia é feita para uma célula com nº de linha superior em 1, (B1 para B2), o valor 1 é acrescentado a todas as linhas na fórmula, obtendo-se B2 = 2*A2 Igualmente ao copiar para o lado uma célula, a diferença de colunas entre a célula origem e a célula destino é acrescentada às referências a colunas. Se copiar a célula B1 para a posição D1 (2 colunas de diferença) obtem-se D1 = 2*C1 –Nota: A cópia pode ser feita com os habituais comandos e, ou por comandos de arrastamento.

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 10 Referências em Folhas de Cálculo As referências a linhas e colunas que são ajustadas nas cópias de células são chamadas referências relativas (à célula de onde são copiadas – a célula varia n colunas/linhas em relação às célula de cima ou do lado). No entanto, há situações em que não queremos que estas referências a linhas e colunas sejam relativas mas sim absolutas, e que não sejam alteradas na cópia. Por exemplo, ao copiar o conteúdo da célula A2 para A3, queremos alterar a 1ª referência a A1 para A2 (referência relativa), mas não a 2ª referência (referência absoluta). A1 = A2 = A1 * A1; A3 = A2 * A1; … A5 = A4 * A1;

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 11 Referências em Folhas de Cálculo Para explicitarmos que uma referência é absoluta, e não se altera quando copiada para uma linha/coluna diferentes, antecedemos a linha/coluna pelo símbolo $. As referências podem ser relativas a uma dimensão e absolutas na outra dimensão, como no exemplo presente (a linha é absoluta, mas a coluna não é). Assim, se copiarmos as células A2 a A5 para as células B2 a B5, iremos calcular B1^5. A cópia da célula A2 para as células abaixo altera a referência à linha relativa (1 acima), mas não à referência absoluta (a célula A1). A1 = A2 = A1 * A$1; A3 = A2 * A$1; … A5 = A4 * A$1;

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 12 Referências em Folhas de Cálculo As referências relativas/absolutas podem ser igualmente utilizadas em matrizes. A1 = 2 A2 = A1 * A$1; A3 = A2 * A$1; … A5 = A4 * A$1; B1 = 3 B2 = B1 * B$1; B3 = B2 * B$1; … B5 = B4 * B$1; A iteração (temporal) pode pois ser substituída pela iteração (espacial) mas depende do utilizador o número de células que copia, isto é, o número de iterações a efectuar. Os ciclos enquanto não são assim directamente representáveis numa folha de cálculo, se o utilizador não souber à partida o número de iterações que devem ser efectuadas.

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 13 Referências em Folhas de Cálculo Podem ainda ser utilizadas referências mistas, que são particularmente úteis no caso de se pretenderem preencher tabelas relativas a uma linha e uma coluna. Por exemplo, a tabela de multiplicação acima pode ser obtida por –Obter a célula B2 através da multiplicação A2 * B1 –Tornar absolutas as referências à linha 1 em B1 e à coluna A, em A2, ficando $A2 * B$1 –Copiar esta célula para todas as células na matriz B2:E5.

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 14 Soma de um Vector Os valores de um vector ou tabela numa folha de cálculo podem ser agregados (somas, médias, etc..) de uma forma semelhante ao que se faz numa linguagem de programação como o Octave, com a implementação de iteração. Consideremos a soma de o vector nas posições A1 a E1. Em Octave poderíamos escrever (para um vector de 5 posições). s = 0; for i = 1:5 s = s+a(i); endfor. A variável s cujo valor vai sendo iterado, pode ser substituída pelo vector B1 a B5 que vai tomando os valores de s nas diferentes iterações A2 = A1 + 0; B2 = B1 + A2; C2 = C1 + B2; D2 = D1 + C2; E2 = E1 + D2;

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 15 Soma Condicional de um Vector Em Octave podemos somar valores de um vector que satisfaçam ums condição através de uma instrução condicional dentro do ciclo. Consideremos a soma apenas dos valores positivos de um vector nas posições A1 a E1. Em Octave poderíamos escrever (para um vector de 5 posições). s = 0; for i = 1:5 if a(i) > 0 then d = a(i) else d = 0; s = s+d; endfor. Este estilo de programação pode ser adaptado a um folha de cálculo, utilizando-se uma linha adicional, onde se colocam ou os valores do vector original ou o valor 0.

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 16 Soma Condicional de um Vector s = 0; for i = 1:5 if a(i) > 0 then d = a(i) else d = 0; s = s+d; endfor. A3 = A2 + 0; B3 = B2 + A3; C3 = C2 + B3; D3 = D2 + C3; E3 = E2 + D3; A2 = if(A1 > 0, A1, 0); B2 = if(B1 > 0, B1, 0); C2 = if(C1 > 0, C1, 0); D2 = if(E1 > 0, D1, 0); E2 = if(E1 > 0, E1, 0);

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 17 Funções para Somas de Vectores Tal como em Octave, também as folhas de cálculo permitem a utilização de funções. O paralelo é ainda maior do que noutras linguagens de programação, porque em Octave vectores e matrizes são tipos básicos, permitindo referências a subvectores e submatrizes. Assim em Octave, a soma dos elementos de um vector V com n elementos é obtida através da função s = sum(V) Ainda em Octave, se se pretender somar apenas os valores do subvector constituído pelos elementos 3 a 7, podemos usar a referência a esse subvector na função através de s = sum(V(3:7))

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 18 Funções para Somas de Vectores Numa folha de cálculo, podemos usar igualmente a função sum, sendo o vector delimitado entre a sua célula inicial e final. –Quer no caso de um vector linha F1 = SUM(A1:E1) –Quer no caso de um vector coluna A6 = SUM(A1:A5) Estas funções podem ainda utilizar-se para somas condicionais: G1 = SUMIF(A1:E1,">0") A7 = SUMIF(A1:A5,">0")

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 19 Operações de Vectores Ponto a Ponto Tal como em Octave, operações sobre elementos de um vector/matriz, podem ser condicionadas através da utilização de vectores/matrizes booleanas, que filtram os elementos a utilizar. Por exemplo,em Octave, a soma de todos os elementos positivos de um vector A pode ser efectuada através da instrução B = sum(A.*(A>0)) que pode ser decompostas nas seguintes operações: –Criação de um vector booleano, A > 0, com 1s nas posições correspondentes a elementos positivos do vector A –Obtenção do vector A.*(A>0), igual a A nas posições em que A é positivo e com 0s nas outras posições. –Soma dos elementos deste vector, que corresponde à soma dos elementos positivos do vector A (os outros foram filtrados pela multiplicação por 0).

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 20 Operações de Vectores Ponto a Ponto As mesmas operações ponto a ponto podem ser efectuadas na folha de cálculo, como ilustrado acima. –Sendo o vector A constituído pelas células A1:E1, na linha 2 é criado o vector A>0, indicando para cada célula Bi a operação Bi = Ai > 0 –Na linha 3 são multiplicados os dois vectores, ponto a ponto. –A soma dos elementos positivos do vector A é assim obtida na célula E3 através da função sum(A3:E3). De notar, que o mesmo conjunto de operações podia ser efectuado através de uma única função entre vectores {= sum(A3:E3*(A3:E3>0))} Nota: As {} são inseridas através de CTRL-SHIFT-ENTER em vez do simples ENTER.

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 21 Soma de uma Matriz As mesmas técnicas podem ser utilizadas no caso de matrizes, sendo mais prático o uso de funções. E1 = SUM(A1:D1) E2 = SUM(A2:D2) E3 = SUM(A3:D3) F1 = SUMIF(A1:D1,>0) F2 = SUMIF(A1:D1,>0) F3 = SUMIF(A1:D1,>0) A4 = SUM(A1:A3)..... D4 = SUM(D1:D3) A4 = SUMIF(A1:A3,>0)... D4 = SUMIF(D1:D3,>0) E4 = SUM(A1:D4) F4 = SUM(F1:F3) E5 = SUM(E1:E4) F5 = SUMIF(A1:D4,>0)

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 22 Ciclos de Simulação – Trajectória de um Projéctil A técnica usada no exemplo da simulação da trajectória de um projéctil pode ser adaptada para uma folha de cálculo. Em geral, é necessário –Utilizar uma coluna (ou linha) para as variáveis que estão a ser simuladas –Inicializar as linhas de cima com as constantes do modelo e com os valores iniciais das variáveis –Na linha seguinte obter os valores das variáveis a partir dos valores anteriores (i.e. da linha anterior) e das constantes. –Tendo em atenção as referências relativas e/ou absolutas (constantes), copiar a 2ª linha para as linhas seguintes. –Copiar tantas linhas quantas as necessárias

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 23 Apresentação do Problema Um projéctil é lançado de uma altura de y 0 metros, com um ângulo inicial de lançamento de radianos e com uma velocidade inicial de v 0 metros por segundo. A trajectória do projéctil em coordenadas (x,y) pode ser modelada através da seguinte equação: v0v0 (0,0) x y y0y0 a f(a)f(a) Problema: determinar a distância máxima (d max ) e a altura máxima (h max ) atingidas pelo projéctil. d max h max

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 24 Resolução Informal Problema: determinar a distância máxima (d max ) e a altura máxima (h max ) atingidas pelo projéctil. Pode-se simular a trajectória do projéctil usando a função f para calcular o valor de y correspondente a cada valor de x. –Considera-se o ponto inicial da trajectória x 0 =0: (x 0,y 0 ) –Considera-se uma sequência de valores de x (x 1,x 2,…) para os quais se calcula o respectivo valor de y usando a função f: (x 1,f(x 1 )), (x 2,f(x 2 )), … –Termina-se o cálculo quando aparecer o primeiro ponto da trajectória com o valor de y negativo. Os valores da distância máxima e da altura máxima podem ser aproximados respectivamente pelos valores maximos de x e y obtidos nos pontos calculados da trajectória.

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 25 Resolução Informal Graficamente a simulação da trajectória do projéctil corresponde a: O último ponto considerado é o x 11 uma vez que é o primeiro a aparecer com y negativo: f(x 11 )<0 A distância máxima (d max ) é aproximada pelo maior valor de x: d max x 11 A altura máxima (h max ) é aproximada pelo maior valor de y: h max f(x 6 ) (x0,y0)(x0,y0) x y (x 1,f(x 1 )) (x 2,f(x 2 )) (x 11,f(x 11 )) (x 6,f(x 6 )) h max ^ d max ^ A precisão das aproximações depende dos pontos da trajectória calculados: se a distância (em x) entre cada dois pontos consecutivos for dx então, em geral, a precisão aumenta quando dx diminui.

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 26 Programa Octave % Inicialização de Variáveis g = 9.8; % aceleração da gravidade y0 = input(" Qual a altura inicial (m)? "); v0 = input(" Qual a velocidade inicial (m/s)? "); tet = input(" Qual o angulo inicial (rad)? "); dx = input(" Qual a precisao (m)? "); dmax = 0;% distância máxima da trajectória hmax = 0;% altura máxima da trajectória % Ciclo de Simulação x = 0; y = y0; while y > 0 x = x + dx; y = x*tan(tet)-(g*x^2)/(2*v0^2*cos(tet)^2)+y0; hmax = max(hmax,y); endwhile % Apresentação de Resultados dmax = x; disp("Distância maxima da trajectoria (m):"); disp(dmax); disp("Altura maxima da trajectoria (m):"); disp(hmax);

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 27 Folha de Cálculo

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 28 Gráficos da Simulação Uma vez obtidas as tabelas de simulação, podem obter-se gráficos, seleccionando as colunas apropriadas e inserindo um gráfico (insert graph) com base nessa tabela.

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 29 Ajuste de Parâmetros Em geral, se forem dados os parâmetros de um modelo físico pode ser simulado o seu comportamento. Mas se se pretender determinar os parâmetros que conduzem a um certo comportamento a situação não é em geral simples. Em muitos casos, a melhor solução é tentar as várias alternativas (em um ou mais ciclos encadeados) e verificar qual a adequada. Por exemplo o maior alcance pode ser tentado variando o ângulo, a velocidade inicial e a altura inicial. Nestas situações uma folha de cálculo não é muito adequada para resolver o problema pois exige que o utilizador tente (manualmente) os vários parâmetros. No caso do alcance podem existir 30 ângulos para testar (entre 31º e 60º com passo 1), 20 velocidades iniciais (de 11 a 20 com passo 0.5) e 10 alturas iniciais (de 0 a 10 com passo 1) o que dá um total de 30*20*10 = 6000 possibilidades!!!

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 30 Tratamento de Dados O tratamento de dados numéricos, nomeadamente por regressão linear entre duas variáveis X e Y, pode ser feito através da folha de cálculo. Para esse efeito deverão ser utilizadas duas colunas (uma para a variável) onde se guardam os valores X e Y observados Para se obter os parâmetros da recta que melhor aproxima os pontos observados podem calcular-se esses valores utilizando as funções slope e intercept. Pode depois construir-se uma nova coluna, com os valores dos Y esperados, baseados nos valores dos X e dos parâmetros da recta. Finalmente pode obter-se o gráfico dos valores dos Xs e Ys observados e dos Ys esperados.

24 Novembro 2006 Folha de Cálculo 1 31 Tratamento de Dados Nota: O Excel permite obter uma ideia qualitativa da recta através da utilização da tendência no desenho do gráfico (opção add trendline).