Fatorial de um número natural Prof. Jorge

Fatorial Se n é um número natural (n ≥ 2), o produto de todos os naturais de n até 1, é chamado de fatorial de n (símbolo: n!). 3! = 3.2.1 = 6 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 Em geral n! = n(n – 1)(n – 2). ... .3.2. 1 Prof. Jorge

Fatorial - Observação Num produto, devemos ter pelo menos dois fatores. Por isso, a definição só é válida para n ≥ 2. Os fatorias de 1 e de 0 são definidos assim: 1! = 1 e 0! = 1 Prof. Jorge

Propriedade do fatorial O fatorial de um número natural é igual ao produto deste pelo fatorial do seu antecessor. 6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 10.9.8! 15! = 15.14! = 15.14.13! = 15.14.13.12! = ... Em geral n! = n(n – 1)! = n(n – 1)(n – 2)! = ... Prof. Jorge

Exemplos A propriedade anterior é útil na simplificação do cálculo de expressões que envolvem o fatorial. 15! 15.14.13! = = 15.14 = 210 13! 13! 10! + 8! 10.9.8! + 8! 8!(10.9 + 1) = = = 81 8! 8! 8! Prof. Jorge

Exemplos n! Resolver a equação = 30 (n – 2)! O fatorial só é definido para n – 2 ≥ 0 ⇒ n ≥ 2 n! n(n – 1)(n – 2)! = 30 ⇒ = 30 (n – 2)! (n – 2)! ⇒ n(n – 1) = 30 ⇒ n = 6 Prof. Jorge

O fatorial e o cálculo combinatório Prof. Jorge

O fatorial e o cálculo combinatório No cálculo do total de permutações simples, arranjos simples e combinações simples, podemos usar o fatorial. P5 = 5.4.3.2.1 = 5! P8 = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 8! Em geral Pn = n! Prof. Jorge

O fatorial e o cálculo combinatório 6.5.4! 6! 6! A6, 2 = 6.5 = = = 4! 4! (6 – 2)! 9.8.7.6! 9! 9! A9, 3 = 9.8.7 = = = 6! 6! (9 – 3)! Em geral n! An, p = (n – p)! Prof. Jorge

O fatorial e o cálculo combinatório An, p n! 1 Cn, p = = . Pp (n – p)! p! n! Cn, p = p!(n – p)! Prof. Jorge

Exemplos Resolver a equação A6, p = A5, p+1 6! 5! = (6 – p)! (4 – p)! ⇒ 5!.(6 – p)(5 – p)(4 – p)! = 6.5!.(4 – p)! ⇒ (6 – p)(5 – p) = 6 ⇒ 6 – p = 3 e 5 – p = 2 ⇒ p = 3 Prof. Jorge

Permutações com elementos repetidos Prof. Jorge

Permutações com repetição Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra AMO? P3 = 3! = 6 AMO AOM MAO MOA OAM OMA Prof. Jorge

Permutações com repetição Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra AMA? 3! 6 P32 = = = 3 2! 2 AMA AAM MAA Prof. Jorge

Permutações com repetição Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra AMADA? 5! 120 P53 = = = 20 3! 6 AAADM AAAMD AADAM AAAMD AADMA AAMDA ADAAM AMAAD ADAMA AMADA ADMAA AMDAA DAAAM MAAAD DAAMA MAADA DAMAA MADAA DMAAA MDAAA Prof. Jorge

Permutações com repetição Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra ARARA? 5! 120 P52,3 = = = 10 2!3! 2.6 AAARR AARAR AARRA ARAAR ARARA ARRAA RAAAR RAARA RARAA RRAAA Prof. Jorge

Permutações com repetição De maneira geral, o total de permutações de n elementos, se um deles aparece a vezes, outro b vezes, outro c vezes, ... é n! Pna, b, c,... = a!b!c!... Prof. Jorge

Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. Qual é o total de anagramas? Quantos começam por vogal? Prof. Jorge

Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. Qual é o total de anagramas? 8! 8.7.6.5.4.3! P83, 2, 1, 1, 1 = = = 3 360 3!.2! 2.3! Prof. Jorge

Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. b) Quantos começam por vogal? Começando por E E 7! 7.6.5.4.3! P73, 2, 1, 1 = = = 420 3!.2! 2.3! Prof. Jorge

Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. b) Quantos começam por vogal? Começando por A A 7! 7.6.5.4.3.2 P72, 2, 1, 1 = = = 1 260 2!.2! 4 Prof. Jorge

Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. b) Quantos começam por vogal? Começando por E = 420 Começando por A = 1 260 Total = 1 680 Prof. Jorge

Exemplos A figura mostra uma superfície azulejada. Uma formiga sai do ponto A e quer chegar ao ponto B, onde há um grão de açúcar. Ela só anda sobre os sulcos entre os azulejos, mas pretende percorrer o menor caminho possível. Quantos trajetos diferente a formiga pode utilizar? B DCDCDCDCDCDD 12! P127, 5 = 7!.5! P127, 5 = 792 A Prof. Jorge

Números combinatórios Coeficientes binomiais Números Binomiais Números combinatórios Coeficientes binomiais Prof. Jorge

Números binomiais O número de combinação simples de n elementos tomados p a p (Cn,p) também pode ser representado pelo símbolo: n Cn,p = (número combinatório de n sobre p) p Chamamos n de numerador e p de denominador. É claro que n e p devem ser naturais, com n ≥ p. Prof. Jorge

Exemplos 6 A6,2 6.5 . = C6,2 = = = 15 2 2! 2.1 8 A8,3 8.7.6 . = C8,3 = = = 56 3 3! 3.2.1 Prof. Jorge

Exemplos 9 9! 9! 9! . = C9,0 = = = = 1 0!(9 – 0)! 0!.9! 9! 5 A5, 1 5 . = = = 5 1 1! 1 7 A7,7 7! . = = = 1 7 7! 7! Prof. Jorge

Observação Em geral, de acordo com os 3 exemplos anteriores constatamos que: n n n = 1 = n = 1 1 n n e p são números naturais. Prof. Jorge

Triângulo de Pascal Blaise Pascal, conhecido simplismente como Pascal, foi um grande gênio do século XVII. Em sua vida curta, fez descobertas notáveis, principalmente na área de Matemática e Física. Em 1653, ele publicou um de seus escritos mais famosos. Nele, Pascal fazia considerações sobre um triângulo numérico muito especial, cheio de relações matemáticas importantes. Os números que formam o triângulo de Pascal são os números combinatórios. Prof. Jorge

Triângulo de Pascal p 1 2 3 4 5 ... n 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 3 3 1 3 1 3 3 2 3 3 1 4 4 1 4 4 1 4 2 6 4 3 4 4 1 5 ... 5 1 5 1 5 10 5 2 10 5 3 5 4 5 5 1 Prof. Jorge

Propriedades dos números binomiais Prof. Jorge

Propriedades Dois números combinatórios de mesmo numerador são iguais, se e somente se: p = q → idênticos n n = ⇔ ou p q p + q = n → complementares Prof. Jorge

Propriedades Somando-se dois números consecutivos de uma linha do triângulo de Pascal encontra-se o resultado na linha seguinte abaixo do segundo número somado. n n n + 1 + = p p + 1 p + 1 Relação de Stifel. Prof. Jorge

Exemplos Um grupo tem 8 pessoas. Entre elas, o indivíduo A. Deseja-se formar, a partir desse grupo, uma comissão de 5 pessoas. Quantas são as formas de a comissão ser formada? Em quantas delas aparece o indivíduo A? Em quantas delas não aparece o indivíduo A? Que relação existe entre os resultados dos três itens anteriores? C8,5 = 56 C7,4 = 35 C7,5 = 21 7 7 8 C7,4 + C7,5 = C8,5 ⇒ + = 4 5 5 Prof. Jorge

Exemplos A partir da relação de stifel, resolva as equações. 8 8 9 a) + = ⇒ P = 5 ou p =4. 4 5 p 15 15 16 b) + = 6 8 p – 2 ⇒ p – 2 = 7 ou p – 2 = 9 ⇒ p = 9 ou p = 11. Prof. Jorge

Exemplos A partir da relação de stifel, resolva as equações. 7 7 8 9 c) + + = 3 4 5 p ⇒ p = 5 ou p =4. Prof. Jorge

Exemplos Calcule a soma dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal. O que você observa? Qual será a soma dos elementos da linha n = 8? E da linha n = 10? Genarilize quanto vale Resolva a equação É uma potência de base 2 e expoente n. 28 = 256 e 210 = 1024. n n n + = 2n + ... + 1 n n n n n + + + ... + = 512 1 2 n 2n = 512 ⇒ n = 9 Prof. Jorge