Otimalidade de Pareto Prof. João Manoel Pinho de Mello Depto. de Economia, PUC-Rio jmpm@econ.puc-rio.br Agosto, 2006

Referência: capítulo 29, Varian

O problema Dois agentes 1 e 2, dois bens A e B (ω1A, ω1B) = dotação inicial do agente 1 (ω2A, ω2B) = dotação inicial do agente 2 Dotação Agregada da Economia ωA = ω1A + ω2A, ωB = ω1B + ω2B u1(x1A, x1B) são as preferências do agente 1, u2(x2A, x2B) são as preferências do agente 1 Impomos que os agentes não se importam com o consumo do outro agente Não há altruísmo Não há externalidades (x1A, x1B, x2A, x2B ) é uma alocação

Alocação factível Uma alocação factível é aquela que respeita a restrição orçamentária da economia:

A pergunta Um planejador central que fosse Onipotente Onisciente alocaria os bens entre os dois agentes? Pergunta imediata: Alocaria segundo qual critério? Ele gosta mais de qual agente? Ele se incomoda com desigualdade

Eficiência de Pareto Uma alocação (x1A, x1B, x2A, x2B ) é dita eficiente do ponto de vista de Pareto se não existe nenhuma outra alocação (z1A, z1B, z2A, z2B ) tal que: com desigualdade estrita para ao menos um i

A caixa de Edgeworth

Uma representação gráfica (ω1A, ω1B), (ω2A, ω2B) : dotações iniciais ω2A x2A Agente 2 x1B ωA = ω1A + ω2A ω2B ωB = ω1B + ω2B Dotação inicial ω1B x2B Agente 1 x1A ω1A

O Conjunto de Pareto

Eficiência de Pareto, graficamente x2A Agente 2 x1B ω2B Dotação inicial ω1B x2B Agente 1 x1A ω1A

Exemplo: Cobb-Douglas x2A Agente 2 x1B x2B Agente 1 x1A

Exemplo: complementos perfeitos x2A Agente 2 x1B x2B Agente 1 x1A

Exemplo: complementos perfeitos x2A Agente 2 x1B x2B Agente 1 x1A

Conjunto de Pareto O conjunto de Pareto é formado pelas alocações tais que não existe outra alocação que a domina no sentido de Pareto, ou seja:

Caracterização algébrica Se as preferências (os us) forem “bem comportadas”, então podemos caracterizar o conjunto de Pareto algebricamente Caracterizar significa achar uma equação que descreve o conjunto Bem comportado significa u diferenciável, e estritamente côncava (o conjunto formado pela curva de indiferença é estritamente convexo) Pensemos no problema de um planejador central Ele quer maximizar a utilidade de um dos agentes Restrito a manter a utilidade do outro fique ao menos em um nível u* Respeitando as restrições orçamentárias da economia

Caracterização algébrica Sujeito a O outro mantém um nível mínimo de utilidade Restrição orçamentária da economia

Caracterização algébrica Substituir as restrições orçamentárias na outra restrição Tirar a condição de primeira ordem

Caracterização algébrica Tx marginal de substituição do agente 1 Tx marginal de substituição do agente 2

Intuição Se Então se tirarmos um pouquinho do bem B do agente 1, e dermos para o agente 2, e tirarmos um pouquinho do bem A do agente 2, e dermos para o agente 1, de modo que ambos fiquem indiferentes, sobrará algo de algum dos bens

Exemplo: prefêrencias Cobb-Douglas Suponha que ambos os agentes têm preferências Cobb-Douglas As dotações da economia são ωA e ωB

Exemplo: prefêrencias Cobb-Douglas Igualdade das txs marginais de substitução Restrição orçamentária da economia

Exemplo: prefêrencias Cobb-Douglas Isto define implicitamente x1B como função x1A, e isto define o conjunto de Pareto

Exemplo: prefêrencias Cobb-Douglas Considere  = β. A equação (*) se reduz a Agente 2 x2A x1B Conjunto de Pareto x2B Agente 1 x1A