Fonte, Sumidouro, Capacidade e Fluxo 2 3 1 6 4 5 20, 5 11, 8 5, 2 7, 4 4, 3 3, 3 13, 6 10, 4 Fonte ( s ) Sumidouro ( t ) exemplos: c52 = 4 f52 = 3 c36 = 13 f36 = 6

Condições nos arcos: nos vértices: fki cij, fij fij (entra) (sai) i j soma dos que saem soma dos que entram (conservação) 0 < cij (capacidade não negativa) 0  fij  cij (fluxo não supera capacidade)

Cortes não contém a fonte e nem o sumidouro corte (A, B) (A, B) A = {2, 3} B = {1, 4, 5, 6} 2 3 1 6 4 5 20, 5 11, 8 5, 2 7, 4 4, 3 3, 3 13, 6 10, 4 capacidade do corte (A, B) não contém a fonte e nem o sumidouro c(A, B) = 5 + 13 = 18 f(A, B) = - 5 - 3 + 2 + 6 = 0 (C, D) C = {4} D = {1, 2, 3, 5, 6} fluxo do corte (A, B) + + este sim x este não x - x c(C, D) = 7 f(C, D) = - 4 + 4 = 0 x x -

Cortes (continuação) 2 3 1 6 4 5 20, 5 11, 8 5, 2 7, 4 4, 3 3, 3 13, 6 10, 4 (E, F) E = {1, 4} F = {2, 3, 5, 6} (G, H) G = {5, 6} H = {1, 2, 3, 4} contém a fonte contém o sumidouro c(E, F) = 20 + 7 = 27 f(E, F) = 5 + 4 = 9 c(G, H) = 4 f(G, H) = 3 - 2 - 6 - 4 = -9

contém a fonte e o sumidouro Cortes (continuação) contém a fonte e o sumidouro 2 3 1 6 4 5 20, 5 11, 8 5, 2 7, 4 4, 3 3, 3 13, 6 10, 4 x x (I, J) I = {1, 6} J = {2, 3, 4, 5} x x este sim x este não c(I, J) = 20 + 10 = 30 f(I, J) = 5 + 4 - 6 - 3 = 0

Cortes do Tipo (S, T) contém o sumidouro S3 S4 2 3 1 6 4 5 20, 5 11, 8 5, 2 7, 4 4, 3 3, 3 13, 6 10, 4 contém a fonte S2 S1 c(S2, T2) = 11 + 10 = 21 f (S2, T2) = 8 – 3 + 4 = 9 c(S1, T1) = 20 + 10 = 30 f (S1, T1) = 5 + 4 = 9 c(S4, T4) = 11 + 7 = 18 f (S4, T4) = 8 - 3 + 4 = 9 c(S3, T3) = 13 + 3 = 16 f (S3, T3) = 6 + 3 = 9

Cortes (S, T) e não (S, T) 4 5 2 3 1 6 20, 5 11, 8 5, 2 7, 4 4, 3 3, 3 13, 6 10, 4 fonte sumidouro

Caminhos de Aumento de Fluxo 23 = 11 – 8 = 3 2 3 1 6 4 5 20, 5 11, 8 5, 2 7, 4 4, 3 3, 3 13, 6 10, 4 11, 11 12 = 20 – 5 = 15 fluxo máximo = 8 + 6 = 14? 36 = 13 – 6 = 7 20, 8 13, 11 13, 9 36 = 13 – 9 = 4 5, 0 35 = 2 10, 6 7, 6 No contra-fluxo considere apenas o fluxo 14 = 10 – 4 = 6 45 = 7 – 4 = 3

Alguns Resultados para o Algoritmo de Ford-Fulkerson #1: qualquer fluxo em uma rede é sempre um fluxo de um corte (S, T); #2: um fluxo em uma rede não excede a capacidade de qualquer corte (S, T); #3: um fluxo da fonte ao sumidouro em uma rede é máximo se, e somente se, não existe um caminho de aumento de fluxo; #4: o fluxo máximo em uma rede é igual à capacidade mínima dentre os cortes (S, T).

Algoritmo de Ford-Fulkerson Δ=12 A=1 S=+ Δ=15 A=1 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=10 A=1 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=0 A=2 S=+ Δ=3 A=2 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=0 A=2 S=+ Δ=2 A=5 S=– 11 11, 11 11, 8 capacidade atingiu o sumidouro atingiu o sumidouro atingiu o sumidouro 2 3 1 6 4 5 20 20, 10 20, 5 20, 8 13, 6 13, 11 13, 9 13 fluxo inicial Δ= A=0 S=+ fluxo máximo = 14 4 4, 1 4, 3 5 5, 0 5, 2 10, 4 10 Δ=– A=0 S=+ Δ=0 A=5 S=+ Δ=2 A=3 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=0 A=5 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=3 A=3 S=+ 3 3, 3 o fluxo não pode ser mais aumentado 7 7, 4 Δ=6 A=1 S=+ Δ=6 A=1 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=6 A=1 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=3 A=4 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=– A=0 S=+ Δ=3 A=2 S=– Δ=3 A=2 S=– Δ=– A=0 S=+ Δ=1 A=2 S=–

Exercícios fluxo máximo = 7 #1: Encontre o fluxo máximo para a rede seguinte. 1 2 4 3 5 7 6 fluxo máximo = 7

Exercícios fluxo máximo = compare com outras respostas da classe #2: Encontre o fluxo máximo para a rede seguinte. 1 2 4 3 5 10 9 6 7 fluxo máximo = compare com outras respostas da classe

Ford-Fulkerson 1 2 2 1 Expanda o vértice com maior ‘Δ’. início Atingiu o sumidouro? não início Estabeleça os fluxos iniciais (zeros, por exemplo). 2 não Retire as (menos da fonte), volte uti- lizando os ‘As’ e re- calcule os fluxos. O ‘Δ’ do sumidouro é nulo? sim Marque a fonte Δ= A=0 S=+, . 2 fim Um corte que contenha a fonte fornecerá o fluxo máximo. sim 1 Marque os outros vértices Δ=- A=0 S=+.