ICET/CUA/UFMT Profº: Glauco Vieira de Oliveira Estatística Geral Ferramentas Matemáticas usadas em Probabilidade (Análise Combinatória) Bibliografia Cap. II – Nazareth, H.Curso Básico de Estatística. Cap. XXVI –Dante, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações . Cap. VI – Spiegel, M. R.Estatística. ICET/CUA/UFMT Profº: Glauco Vieira de Oliveira

Princípio da multiplicação Análise Combinatória Introdução Analise a seguinte situação-problema: Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas diferentes de automóvel podem ser feitas de modo que em cada uma existam três letras (não repetidas) seguidas de quatro algarismos (repetidos ou não)? Resposta Geral: Problemas como estes constituem o que chamamos de PROBLEMAS DE CONTAGEM Princípio da multiplicação (princípio fundamental da contagem) Analise a seguinte situação-problema: Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre? Resposta Geral: Dizemos que a viagem de Recife a Porto Alegre é um evento composto de DUAS ETAPAS SUCESSIVAS E INDEPENDENTES Problemas de contagem - pois interessa-nos aqui, calcular quantos e não necessariamente quais.

Análise Combinatória ESQUEMA: Viagem de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo 1 A B C D 3 A B C D 5 A B C D 2 A B C D 4 A B C D OU 1 2 3 4 5 A B C D Arvore de possibilidades ou diagrama em árvore São Paulo Porto Alegre Recife 4 possibilidades 5 possibilidades Resposta: 5 . 4 = 20 Possibilidades: 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 2A, 2B, 2C, ....5D

Principio fundamental da contagem Generalizando 1) Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o n° de possibilidades na 1ª etapa é m e para cada possibilidade da 1ª etapa o nº de possibilidades na 2ª etapa é n, então o nº de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m . n Exercícios 1- Ao lançarmos uma moeda e um dado, quais são os resultados possíveis? 2- Num restaurante há 2 tipos de salada, 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quais e quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com uma salada, um prato quente e uma sobremesa? 3. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6: a) Quantos nºs de 3 algarismos podemos formar? b) Quantos nºs de 3 algarismos distintos podemos formar? Problemas de contagem - pois interessa-nos aqui, calcular quantos e não necessariamente quais.

Permuta Simples Permutar = trocar, embaralhar. Exemplo 1: Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra ANEL? __ __ __ __ → 4 . 3 . 2 . 1 = 24 Possibilidades Exemplo 2: de quantas maneiras podem 3 pessoas ocupar 3 lugares? Considerando Pessoas (A, B e C) e Lugares ( L1, L2 e L3) L1 L2 L3 Iniciando em A temos 3 possibilidades: A na 1ª posição A na 2ª posição A na 3ª posição L1 L2 L3 L1 L2 L3 L1 L2 L3 A A A B C C B ou B C C B ou 2 possibilidades de escolha para cada posição de A B C ou C B

Permuta Simples Conclusão do exemplo 2: são 6 as possíveis maneiras de 3 pessoas ocuparem 3 lugares Observação: há seis possibilidades de escolha. Para cada um dos três lugares ocupados pela 1ª pessoa, há duas opções para a segunda pessoa e apenas uma opção para a 3ª. 3 . 2 . 1 = 6 → 3! Fatorial: n (n -1) (n – 2)...1 Esquematizando a solução do exemplo 1 (árvore de possibilidades) Maneiras de ocupar os lugares L1 L2 L3 ABC B C Neste exemplo a ordem das pessoas é importante Temos uma permuta de 3, 3 a 3 P3, 3= 3! A ACB C B A C BAC B BCA C A CAB A B C CBA B A 3 X 2 x 1 = 6

Permuta Simples Generalizando 2) Se temos n elementos distintos, então o nº de agrupamentos ordenados que podemos obter com todos esses n elementos é dado por: n(n – 1)(n – 2) ... 1 = n! esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de Pn = n! Exercícios 1- Quantos Anagramas tem a palavra PERDÃO? 2- Quantos Anagramas tem a palavra PERDÃO que iniciam com P e terminam com O? 3- Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas e nessa ordem (ÃO)? respostas Respostas 1) nº de anagramas = P6 = 6! = 720 2) P4= 4! = 24 3) 5 (posições de ão) x P4 (anafgrama das demais letras da palavra perdão) = 5 x4! = 120

Permutações com repetições Exercício resolvido: Quantos são os Anagramas da palavra BATATA? Resposta. Temos: 1B, 3 As e 2 Ts isto significa que as permutações entre os 3 As ( P3 = 3!) não produzirão um novo anagrama. O mesmo ocorre com os Ts (Permutas com os 2 Ts = P2 = 2!). Portanto, o nº de anagramas da palavra BATATA é: Generalizando 2.1) A Permutação de n elementos dos quais α é um tipo, β é outro e γ é outro ainda, com α + β + γ = n, é dada por: Problemas de contagem - pois interessa-nos aqui, calcular quantos e não necessariamente quais. Exercícios 1- Quantos são os anagramas da palavra ARARA? 2- Quantos são os anagramas da palavra CAMARADA?

Análise Combinatória: Arranjos Simples Exemplo: De quantas maneiras pode, 4 lugares ser ocupados por 2 pessoas? Esquematizando a solução do exemplo (árvore de possibilidades) Escolhas de A Escolhas de B L1 L2 L3 L4 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 L2 L3 L4 L1 L2 L1 L3 L4 L3 L1 L2 L4 4 possibilidades para a 1ª escolha e 3 possibilidades para a 2ª escolha. (Permuta é um tipo de arranjo?) L4 L1 L2 L3

Arranjos simples Generalizando Temos uma permutação de 4, 2 a 2. → Pn, p → P4, 2 = 4 . 3 = 12 Observação: não serão ocupados todos os lugares ao mesmo tempo. Neste caso teremos um arranjo. A4,2 = 4 . 3 Reescrevendo a igualdade A4,2 = 4 . 3 Usando conceito de fatorial. Temos: A4, 2 = 4 . 3 . 2 . 1 A4, 2 = 4 ! 2 . 1 (4-2)! Generalizando 3) Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p≤n) são agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados. Assim: An,p= n (n – 1) (n – 2) . ... (n – p +1) p fatores Ou: 1) A9, 2=9!/(9-2) = 72 2) A8, 4= 8 . 7 . 6 . 5 = 1680 Exercícios 1- Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 2- Quantas “palavras” de 4 letras distintas podemos formar com as letras da palavra CONTAGEM?

Análise Combinatória: Combinação simples Exemplo 3: De quantas maneiras posso escolher 2 pessoas entre 5, para que sejam candidatas a uma eleição? Escolhas possibilidades 1ª 2ª A B AB C AC D AD E AE BA BC BD BE CA CB CD CE DA DB DC DE EA EB EC ED Observação: AB e BA correspondem a escolha das mesmas pessoas (A e B), a ordem em que as pessoas são escolhidas não influi, portanto, no agrupamento. Observe que cada agrupamento aparece 2! Vezes (p vezes) A quantidade de escolhas é: 5 . 4 = 10 2! Nos problemas de contagem, o conceito de combinação esta intuitivamente associado à noção de subconjuntos. (Neste caso o que interessa são os elementos do subconjunto e não a ordem em que aparecem) Quando a Ordem dos elementos não influi no agrupamento, estamos diante de um caso de combinação

Análise Combinatória: Combinação Simples Exemplo: De quantas maneiras posso escolher 2 pessoas entre 5, para que sejam candidatas a uma eleição? Esquematizando a solução do exemplo (árvore de possibilidades) 1º Candidato 2º Candidato → Possibilidades: B → AB → AC → AD → AE → BC → BD → BE → CD → CE → DE Generalizando 4) Combinações simples de n elementos tomados p a p (p≤n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos. Indica-se por Cn, p ou Calcula-se por: A C D E B C D E 4 possibilidades para a 1ª escolha e 3 possibilidades para a 2ª escolha C D E D E

Análise Combinatória: Combinação simples Nos problemas de contagem, o conceito de combinação esta intuitivamente associado à noção de subconjuntos. Ex 1: Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação. Quais e quantas são as possibilidades Resposta: os subconjuntos de 2 elementos são: {A, E}, {A, R}, {A, F}, {A, G}, {E, R}, {E, F}, {E, G}, { R, F}, {R,G}, {F,G} Estes subconjuntos chamados de combinações simples de 5 elementos tomados com 2 elementos, ou tomados 2 a 2 e escrevemos C5,2=10 Ex 2: Recalcule o “Ex 1” considerando agora três representantes da equipe para a apresentação. Resposta: os subconjuntos de 3 elementos são: C5,3=10 {A,E,R}, {A,E,F}, {A,E,G}, {A,R,F}...{R,F,G} Obs1. como são subconjuntos de um conjunto, a ordem dos elementos não importa. Só consideramos subconjuntos distintos os que diferem pela natureza dos seus elementos. Obs2. Como foi observado acima, do mesmo modo que se obtém a fórmula da combinação por meio da divisão de um arranjo pela permutação, podemos obter a combinação sem usar a fórmula, calculando o arranjo e dividindo o resultado pela permutação dos elementos escolhidos (Livro dante) Propriedade importante: Cn, p = Cn, n-p

Problemas que envolvem os vários tipos de agrupamento Análise Combinatória Problemas que envolvem os vários tipos de agrupamento Analisando o problema da introdução do capítulo: Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas diferentes de automóvel podem ser feitas de modo que em cada uma existam três letras (não repetidas) seguidas de quatro algarismos (repetidos ou não)? Resolução: As 26 letras serão agrupadas de 3 em 3 sem repetição: 26 x 25 x 24 = 15.600 agrupamento de letras → A26,3 Os 10 algarismos serão agrupados de 4 em 4, com repetição: 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 agrupamentos de algarismos Para cada agrupamento de letras podemos usar todos os agrupamentos de algarismos. Então, o total de placas é: 15.600 x 10.000 = 156.000.000 placas Qual será o nº de placas se as letras também puderem ser repetidas?

Análise Combinatória Lista de exercícios Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7: Quantos números de 3 algarismos podemos formar? R: 512 Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? R: 336 Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras diferentes ele poderá pintar os estados da região Centro-Oeste do Brasil, cada um de uma cor? R: 60 ou 120 (se incluir o DF) De quantas maneiras 5 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 3 lugares? R: 60 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos maiores que 300 podemos formar? R: 80 De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de baskete tendo 12 atletas à sua disposição? (1 time = 5 jogadores) R: 792 Um conselho de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos. Candidataram–se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito? R: 40600 De quantos modos posso escolher 4 livros em uma coleção de 10? R: 210 Quantos anagramas podemos formar com a palavra LÓGICA? R: 720 Quantos anagramas podemos formar com a palavra DEZESSETE? R: 30240 Análise Combinatória Resposta no livro de matemática (contexto e aplicações)