Geometria Computacional Triangulação e conceitos afins

Exemplo: Caminho mais curto Pode ser reduzido ao problema de encontrar o caminho mais curto em um grafo (grafo de visibilidade) Resolve-se com algoritmos não geométricos Ex.: Algoritmo de Dijkstra Algoritmos geométricos podem dar uma solução mais eficiente

Eficiência dos Algoritmos Complexidade assintótica de pior caso Problema do Caminho mais curto Algoritmo simples O (n2 log n) Algoritmo complexo O (n log n) Casos médios Difíceis de se caracterizar Requerem que se estipule uma distribuição “típica” Muitas estruturas de dados e algoritmos que se conjectura serem eficientes para casos típicos Quadtrees em geral BSP trees

Limitações da Geometria Computacional Dados discretos Aproximações de fenômenos contínuos Funções quantizadas ao invés de funções contínuas (e.g. imagens) Objetos geométricos “planos” Aproximações de geometrias “curvas” Dimensionalidade Normalmente, 2D e um pouco de 3D Problemas n-dimensionais são pouco abordados

Técnicas usadas em GC Técnicas convencionais de desenho de algoritmos Dividir para conquistar Programação dinâmica Técnicas próprias para algoritmos geométricos Varredura (plane sweep) Construções randomizadas incrementais Transformações duais Fractional Cascading

Tendências Muitas soluções “ótimas” foram obtidas mas as implementações ... Muito complicadas Muito sensíveis a casos degenerados Problemas de precisão Complexidade inaceitável para problemas pequenos Foco em obter soluções práticas Algoritmos simples Freqüentemente randomizados Tratamento de casos degenerados Engenharia de software

Problemas – Fecho Convexo Menor polígono (poliedro) convexo que contém uma coleção de objetos (pontos)

Problemas - Interseções Determinar interseções entre coleções de objetos

Problemas – Triangulações Dividir domínios complexos em coleções de objetos simples (simplexes)

Problemas – Prog. Linear em 2d e 3d Problemas de otimização Ex.: menor disco que contém um conjunto de pontos

Problemas – Arranjos de Retas Dada uma coleção de retas, é o grafo formado pelos pontos de interseção e segmentos de reta entre eles Problemas sobre pontos podem ser transformados em problemas sobre retas (dualidade)

Problemas – Diagramas de Voronoi e Triangulações de Delaunay Dada uma coleção de pontos S Diagrama de Voronoi delimita as regiões de pontos mais próximos Triangulação de Delaunay é o dual do D. V.

Problemas – Busca Geométrica Algoritmos e estruturas de dados para responder consultas geométricas. Ex.: Todos os objetos que interceptam uma região Polígono Disco Par de pontos mais próximos Vizinho mais próximo Caminho mais curto

Geometria Afim Composta dos elementos básicos Operações escalares pontos - denotam posição vetores - denotam deslocamento (direção e magnitude) Operações escalar · vetor = vetor vetor + vetor ou vetor – vetor = vetor ponto – ponto = vetor ponto + vetor ou ponto – vetor = ponto

Combinações Afim Maneira especial de combinar pontos Para 2 pontos P e Q poderíamos ter uma combinação afim R = (1– )P +Q = P +(P – Q) P P  < 0 R= P+(P – Q) Q 0 <  < 1 Q  > 1

Combinações Convexas Combinações afim onde se garante que todos os coeficientes i são positivos (ou zero) Usa-se esse nome porque qualquer ponto que é uma combinação convexa de n outros pontos pertence à envoltória convexa desses pontos P2 P3 P1 Q P4 P5

Geometria Euclidiana Extensão da geometria afim pela adição de um operador chamado produto interno Produto interno é um operador que mapeia um par de vetores em um escalar. Tem as seguintes propriedades: Positividade : (u,u)  0 e (u,u) = 0 sse u=0 Simetria: (u,v) = (v,u) Bilinearidade: (u,v+w)= (u,v)+ (u,w) e (u,v)= (u,v)

Geometria Euclidiana Normalmente usamos o produto escalar como operador de produto interno: Comprimento de um vetor é definido como: Vetor unitário (normalizado):

Geometria Euclidiana Distância entre dois pontos P e Q =|P – Q | O ângulo entre dois vetores pode ser determinado por Projeção ortogonal: dados dois vetores u e v, deseja-se decompor u na soma de dois vetores u1 e u2 tais que u1 é paralelo a v e u2 é perpendicular a v u u2 v u1

Produto Vetorial (3D) Permite achar um vetor perpendicular a outros dois dados Útil na construção de sistemas de coordenadas v u×v u . Propriedades (assume-se u, v linearmente independentes): Antisimetria: u × v = – v × u Bilinearidade: u × (v) =  (u × v) e u × (v + w) = (u × v) + (u × w) u × v é perpendicular tanto a u quanto a v O comprimento de u × v é igual a área do paralelogramo definido por u e v, isto é, | u × v | = | u | | v | sin 

Sistemas de coordenadas Um sistema de coordenadas para Rn é definido por um ponto (origem) e n vetores Ex. Seja um sistema de coordenadas para R2 definido pelo ponto O e os vetores X e Y. Então, Um ponto P é dado por coordenadas xP e yP tais que Um vetor V é dado por coordenadas xV e yV tais que

Coordenadas Homogêneas Coordenadas homogêneas permitem unificar o tratamento de pontos e vetores Problema é levado para uma dimensão superior: Coordenada extra w= 0 para vetores e =1 p/ pontos O significado da coordenada extra é levar ou não em consideração a origem do sistema Coordenadas homogêneas têm diversas propriedades algébricas interessantes Ex. Subtração de dois pontos naturalmente resulta em um vetor

Orientação Orientação de 2 pontos em 1D Orientação de 3 pontos em 2D P1 < P2 , P1 = P2 ou P1 > P2 Orientação de 3 pontos em 2D O percurso P1 , P2 , P3 é feito no sentido dos ponteiros do relógio, no sentido contrário ou são colineares Or (P1, P2, P3) = 0 Or (P1, P2, P3) = +1 Or (P1, P2, P3) = -1 P1 P3 P3 P2 P1 P3 P2 P1 P2

Orientação Orientação de 4 pontos em 3D O percurso P1 , P2 , P3 , P4 define um parafuso segundo a regra da mão direita, mão esquerda ou são coplanares P1 P4 P2 Or (P1, P2, P3, P4) = +1 P3 O conceito pode ser estendido a qualquer número de dimensões ...

Computando Orientação A orientação de n+1 pontos em um espaço n-dimensional é dado pelo sinal do determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas homogêneas dos pontos com o 1 vindo primeiro

Geometria Computacional Triangulações

Problema Dado um conjunto P de pontos do Rn, decompor o seu fecho convexo conv(P ) num complexo simplicial cuja união seja conv(P ) e cujo conjunto de vértices contenha P. Não existe uma solução única para esse problema. No plano, toda triangulação de conv(P) possui exatamente (2n – v – 2) triângulos e (3n – v – 3) arestas, onde v é o número de pontos de P na fronteira de conv(P), n a cardinalidade de P e a o número de arestas. Use a fórmula de Euler para esfera: V – A + F = 2.

Problemas – Triangulações Dividir domínios complexos em coleções de objetos simples (simplexes)

Exemplo: Lago Superior

Dedução O número de faces F é igual ao número de triângulos T + 1, pois tem-se de considerar a face externa ilimitada no plano. n – a + (T + 1) = 2 Cada triângulo possui 3 arestas. Como cada aresta aparece em 2 triângulos, arestas são contadas duas vezes. O Tamanho da solução para o problema de triangulação é linear com o número de pontos

Algoritmo Força Bruta Obtenha conv(P ) e triangule-o por diagonais. Cada ponto que não esteja na fronteira de conv(P ) é inserido em conv(P ) e o triângulo que o contém é subdividido. Algoritmo O(n log n) para achar conv(P ). Inclusão de cada ponto é O(n). Algoritmo completo é O(n2).

Problema Resolvido? Embora todas as triangulações de conv(P ) tenham o mesmo número de triângulos, a forma dos triângulos é muito importante em aplicações numéricas. Triangulação de Delaunay tem a importante propriedade de, entre todas as triangulações de conv(P ), maximizar o menor de todos os ângulos internos dos triângulos. Isso só é verdade no R2.

Como Triangular? Uma triangulação fornece uma estrutura combinatória a um conjunto de pontos. Na realidade, um algoritmo de triangulação fornece regras para conectar pontos “próximos”. A triangulação de Delaunay conecta os pontos baseado em um único critério: círculos vazios. Conceitualmente simples e fácil de implementar. O critério de proximidade vem do Diagrama de Voronoi.

Triangulação de Delaunay

Triangulação de Delaunay FLIP

Diagrama de Voronoi É uma partição do Rn em polígonos convexos associados a um conjunto de sítios (tesselação de Dirichlet). O conceito foi discutido em 1850 por Dirichlet e em 1908 num artigo do matemático russo Georges Voronoi. É a segunda estrutura mais importante em Geometria Computacional perdendo apenas para o fecho convexo. Possui todas as informações necessárias sobre a proximidade de um conjunto de pontos. É a estrutura dual da triangulação de Delaunay.

Diagrama de Voronoi

Definições Seja P = {p1,p2,...,pn} um conjunto de pontos do plano euclidiano, chamados de sítios. Particione o plano atribuindo a cada ponto do plano o sítio mais próximo. Todos os pontos associados a pi formam um polígono de Voronoi V(pi): O conjunto de todos os pontos associados a mais de um sítio forma o diagrama de Voronoi Vor(P ).

Dois Sítios Sejam p1 e p2 dois sítios e B(p1, p2) = B12 a mediatriz do segmento p1p2. Cada ponto x  B12 é eqüidistante de p1 e p2 (congruência lado-ângulo-lado). B12 p1 p2 x

Três Sítios A menos do triângulo (p1, p1, p3), o diagrama contém as mediatrizes B12, B23, B31. As mediatrizes dos lados de um triângulo se encontram no circuncentro do círculo único que passa pelos três vértices (Euclides). p1 p2 p3 B12 B31 B23

Semi-planos A generalização para mais de três pontos corresponde ao local geométrico da interseção dos semi-planos fechados H(pi, pj), dos pontos mais próximos de pi do que de pj.

Voronoi de 7 pontos 7 pontos definem o mesmo número de polígonos de Voronoi. Um dos polígonos é limitado porque o sítio correspondente está completamente cercado por outros sítios. Cada ponto do R2 possui pelo menos um vizinho mais próximo. Logo, ele pertence a pelo menos um polígono de Voronoi. Assim, o diagrama de Voronoi cobre completamente o plano.

Teoremas Os polígonos de Voronoi correspondentes a um par de pontos xi e xj possuem uma aresta comum, se e somente se existem pontos (aqueles da aresta comum) que são eqüidistantes dos pontos xi e xj que estão mais próximos deles do que de qualquer outro ponto de P. Um polígono de Voronoi é ilimitado se somente se o ponto correspondente xi pertencer à fronteira de conv(P ).

Círculos Vazios Todo vértice v de Vor(P ) é comum a pelo menos três polígonos de Voronoi e é centro de um círculo C (v) definido pelos pontos de P correspondentes aos polígonos que se encontram em v. Além disso, C (v) não contém nenhum outro ponto de P. Os pontos de P estão em posição geral se nenhum sub-conjunto de P contém 4 pontos co-circulares. p1 p2 p3 B12 B31 B23

Algoritmo para Voronoi Pode-se determinar os conjuntos T1,T2,...,Tt de P que determinam círculos vazios para construir Vor(P ). Cada Tk é formado por três ou mais pontos co-circulares de P. Se os pontos de P estão em posição geral, todo Tk contém exatamente 3 sítios de P. As arestas de Vor(P ) são os segmentos mediatrizes correspondentes a pontos consecutivos dos Tk. Uma vez conhecidos todos os Tk, Vor(P ) pode ser determinado em tempo linear.

Ligação entre Voronoi e Delaunay No diagrama de Voronoi cada sítio está associado a um polígono (face) de Vor(P ). O grafo dual tem por vértices os sítios de Vor(P ), e por arestas os pares de sítios cujos polígonos são vizinhos. O grafo dual é Chamado de triangulação de Delaunay Del(P ). Dois sítios xi e xj determinam uma aresta de Del(P ) se e somente se existe um círculo C contendo xi e xj tal que todos os outros sítios sejam exteriores a C.

Triangulação de Delaunay Em 1934, o matemático russo Boris Delaunay provou que quando o grafo dual é desenhado com linhas retas ele produz uma triangulação dos sítios do diagrama de Voronoi (supostos estarem em posição geral). Não é óbvio que as arestas de Del(P ) não se cruzam, já que uma aresta entre dois sítios não cruza, necessariamente, a aresta de Voronoi correspondente.

Propriedades de Delaunay D1. Del(P ) é o dual com arestas retilíneas de Vor(P ). D2. Del(P ) é uma triangulação se nenhum grupo de 4 pontos forem co-circulares. Cada face é um triângulo (teorema de Delaunay). D3. Cada triângulo de Del(P ) corresponde a um vértice de Vor(P ). D4. Cada aresta de Del(P ) corresponde a uma aresta de Vor(P ). D5. Cada vértice de Del(P ) corresponde a um polígono (face) de Vor(P ). D6. A fronteira de Del(P ) é o fecho convexo dos sítios. D7. O interior de cada triângulo (face) de Del(P ) não contém sítios.

Propriedades de Voronoi V1. Todo polígono V(pi) de Voronoi é convexo. V2. V(pi) é ilimitado se e só se pi está no fecho convexo. V3. Se v for um vértice de Voronoi na junção de V(p1), V(p2), V(p3) então v é o centro do círculo C(v) que passa por p1, p2, p3. V4. C(v) é o círculo circunscrito ao triângulo correspondente a v. V5. C(v) é vazio (não contém outros sítios). V6. Se pi for o vizinho mais próximo de pj, então pipj é uma aresta de Del(P ). V7. Se existir um círculo vazio passando por pi e pj, então pipj é uma aresta de Del(P ).

Cotas O diagrama de Voronoi de um conjunto P com n sítios tem no máximo 2n-5 vértices e 3n-6 arestas. O maior número de arestas ocorre quando todas as faces de Del(P ) são triangulares e conv(P ) também é um triângulo (substitua v por 3). Diagrama de Voronoi e triangulação de Delaunay são redutíveis um ao outro em tempo linear. Embora o diagrama de Delaunay não produza sempre uma triangulação, caso os pontos não estejam em posição geral, cada região convexa Rk com m vértices pode ser triangulada por m-3 diagonais.

Cota Inferior O diagrama de Voronoi fornece uma triangulação de conv(P ) em tempo linear. O problema de ordenação pode ser reduzido ao problema de triangulação. Dados { x1,x2,...,xn } crie P = { (0,0), p1, p2, ..., pn } onde pi = (xi,1). Logo, Voronoi e Delaunay  (n log n).

Qualidade dos Triângulos Seja T uma triangulação de um conjunto de pontos S, e seja a seqüência angular (1, 2, ..., 3t) a lista dos ângulos dos triângulos ordenada em ordem crescente (t é o número de triângulos). t é constante para cada S. T > T’ se a seqüência angular de T for maior lexicograficamente do que a de T’. A triangulação de Delaunay T = Del(P ) é maximal em relação à forma angular: T  T’ para qualquer outra triangulação T’ de P (Edelsbrunner – 1987). Maximiza o menor ângulo.

Algoritmos para Triangulação de Delaunay Pode-se construir uma triangulação de Delaunay em O(n2). Um algoritmo complexo para encontrar o diagrama de Voronoi em O(n log n) foi detalhado por Shamos e Hoey (1975). Usa dividir para conquistar. Este artigo introduziu o diagrama de Voronoi à comunidade de computação. O algoritmo é muito difícil de implementar, mas pode ser feito utilizando-se uma estrutura de dados adequada, como a Quadedge de Guibas e Stolfi (1985). Algoritmo incremental costuma ser muito usado por ser mais fácil de implementar, mas também é O(n2). Se for randomizado o tempo médio é O(n log n).

Triangulação de Delaunay Restrita Muitas vezes é necessário triangular um grafo planar retilíneo (GPR). Basicamente, arestas só se intersectam em vértices, que fazem parte do grafo. A triangulação de Delaunay é cega para as arestas de um GPR, que podem aparecer na triangulação final ou não. Triangulação de Delaunay restrita (TDR) é similar a triangulação de Delaunay, mas todos os segmentos do GPR devem aparecer na triangulação final.

Exemplo TDR Triangulação de Delaunay GPR

Ponto dentro de um círculo Quando um ponto D está dentro de circuncírculo de um triângulo (ABC)? Avaliando-se o determinante: Assumindo que A,B,C estão no sentido anti-horário. O determinante é positivo sse D está dentro do circuncírculo. Se o triângulo é não-Delaunay, FLIP! [O(n2)]

Atividade Pesquisar as seguintes estruturas de dados: Half-Edge Quad-Edge Winged-Edge Elaborar um texto (2 a 3 páginas, 11pt, espaçamento 1,5) Entregar por email: formato pdf.

Atividade A Winged-Edge é adequada para se implementar Voronoi ou Delaunay? Pesquise e relate as vantagens de se utilizar Quad-Edge (em termos computacionais). Implementar Delaunay para a atividade do terreno.