Entropia Capítulo 6 – Fundamentos de Termodinâmica para a Engenharia (Moran e Shapiro) Luciano F S Rossi LACIT/DAMEC/UTFPR

Introdução Até este ponto nosso estudo da Segunda Lei tem se restringido aos sistemas que percorrem um ciclo. Neste capítulo serão introduzidos meios para analisar processos não necessariamente cíclicos. Energia e entropia são conceitos abstratos. O conceito de energia é mais familiar e de uso diário, enquanto o conceito de entropia raramente aparece em publicações diárias e menos ainda nos aspectos quantitativos.

A Desigualdade de Clausius A desigualdade de Clausius é aplicada a qualquer ciclo, independente do corpo ou dos corpos com os quais o ciclo recebe ou rejeita calor. A desigualdade de Clausius fornece as bases para a introdução de duas idéias instrumentais (para a avaliação quantitativa de sistemas fechados ou volumes de controle), de uma perspectiva da 2a Lei da Termodinâmica: a propriedade Entropia e o conceito de Geração de Entropia.

A Desigualdade de Clausius A desigualdade de Clausius estabelece que, para qualquer ciclo termodinâmico: Onde (δQ) representa o calor transferido através de uma parte da fronteira (boundary) do sistema, durante uma porção do ciclo e T é a temperatura absoluta daquela parte da fronteira. O subscrito “b” serve para lembrar que o integrando é avaliado na fronteira (boundary) do sistema que executa o ciclo.

A Desigualdade de Clausius O símbolo significa que a integral precisa ser avaliada em todas as partes da fronteira do sistema e no ciclo completo. A igualdade se aplica quando não existem irreversibilidades internas e a desigualdade é aplicada quando da existência desse tipo de irreversibilidades.

Ilustração usada para mostrar a desigualdade de Clausius

A Desigualdade de Clausius Esta desigualdade pode ser escrita na forma de uma igualdade como onde σciclo representa a intensidade da desigualdade, sendo que: σciclo = 0 não há irreversibilidades dentro do sistema σciclo > 0 irreversibilidades presentes dentro do sistema σciclo < 0 impossível. σ é uma medida dos efeitos das irreversibilidades presentes no sistema que executa um ciclo.

Definição de Variação de Entropia Uma quantidade é uma propriedade se sua variação entre dois estados for independente do processo. Dois ciclos internamente reversíveis executados por um sistema fechado estão representados na figura ao lado. Os ciclos AC e BC. Para o ciclo AC Para o ciclo BC

Definição de Variação de Entropia σciclo = 0 para ambos os ciclos, pois são reversíveis. Assim, Como os valores de são os mesmos para os dois ciclos, serão iguais para quaisquer outros ciclos reversíveis operando entre os mesmos estados 1 e 2. Conclui-se que os valores de dependem apenas dos estados 1 e 2 e representam uma propriedade (pela própria definição de propriedade). Esta propriedade é chamada Entropia e é usualmente representada pela letra (S).

Definição de Variação de Entropia Dessa forma, a variação de Entropia entre os estados 1 e 2, para um ciclo internamente reversível pode ser obtida por: Se tivermos um sistema executando um ciclo irreversível entre os estados 1 e 2, a variação da Entropia entre 1 e 2 será a mesma pois a entropia é uma propriedade e portanto apenas função dos estados extremos. Na forma diferencial, a equação para a definição da variação de entropia se torna:

Avaliando a Entropia A Entropia é uma propriedade extensiva. Unidade SI → J/K, ou kJ/K Unidade Inglesa → BTU/oR. Entropia específica → kJ/kg.K (SI) e BTU/lboR (Inglês) Entropia específica molar → kJ/kmol.K (SI) e BTU/lbmoloR (Inglês) A equação abaixo serve como base para a construção de tabelas e diagramas para a avaliação da Entropia. Sx é a Entropia de um estado de referência, arbitrariamente escolhido. A utilização dos valores de Entropia relativos a um estado de referência arbitrário para o cálculo de variações de entropia é satisfatória porque o valor de referência acaba se anulando.

Obtendo valores de Entropia Tabelas Termodinâmicas → Tabelas A-2 a A-18 relativas aos estados e valores de referência listados a seguir: Água → Entropia do líquido saturado a 0,01oC (estado de ref.) é definida como nula (valor de ref.). Refrigerantes → Entropia do líquido saturado a -40oC (estado de ref.) é definida como nula (valor de ref.).

Tabelas de Entropia A Entropia específica é tabelada de modo similar às demais propriedades (h, u, v) e os valores de Entropia são listados nas mesmas tabelas. Na região de saturação os valores de entropia são determinados através do título (x), e dos valores de sg entropia de vapor saturado e sf entropia de líquido saturado. Calcula-se a entropia de uma mistura liquido-vapor, segundo:

Tabelas de Entropia Para líquidos comprimidos o procedimento é também análogo ao já visto para a energia interna e para a entalpia. Se existirem dados tabelados de propriedades do líquido comprimido, os valores da entropia são obtidos diretamente da tabela. Quando essas tabelas não estiverem disponíveis usam-se os valores do líquido saturado à temperatura de saturação.

Tabelas de Entropia Tabela de água saturada

Tabelas de Entropia Tabela de vapor d água superaquecido

Gráficos de Entropia

Diagramas (T-s) para a água Diagramas (h-s) para a água Gráficos de Entropia Diagramas (T-s) para a água Diagramas (h-s) para a água

Equações TdS A variação de Entropia para uma substancia, entre 2 estados termodinâmicos pode ser obtida através da equação: ou através das relações TdS. A importância das relações TdS é entretanto maior que a simples determinação dos valores de entropia. Elas são o ponto de partida para a derivação de importantes propriedades para substâncias puras, compressíveis e simples, incluindo meios para a obtenção das tabelas que fornecem u, h e s.

Equações TdS As equações Tds são desenvolvidas para processos reversíveis. Entretanto, podem ser aplicadas para quaisquer processos, pois envolvem apenas propriedades de estado: Em termos de propriedades específicas: Em termos de propriedades molares:

Variação de Entropia para um gás Ideal Partindo das equações Tds, teremos: Para gás ideal:

Variação de Entropia para um gás Ideal Substituindo em ds, teremos: Entre dois estados 1 e 2:

Variação de Entropia para um gás Ideal Da mesma forma utilizada para a Energia Interna e para a Entalpia, a avaliação da variação de Entropia para os gases ideais pode ser efetuada através de tabulação dos valores (nas Tabelas Termodinâmicas). Escolhe-se um estado de referência e um valor de referência para a Entropia nesse estado. Estado de referência Assim, para determinar-se a entropia a uma dada temperatura T, e na pressão de 1 atm, tem-se:

Variação de Entropia para um gás Ideal Como a pressão está fixada em 1 atm, so depende somente da temperatura. Expressando a equação acima em termos de so Assim, pode-se escrever: Ou (molar)

Tabelas de ar como gás ideal Tabelas de So(T) Tabelas de ar como gás ideal

Balanço de Entropia para Sistemas Fechados Como decorrência da desigualdade de Clausius, vimos que: Onde ciclo representa a “magnitude” da desigualdade (o afastamento da condição reversível). Lembrando, ainda, que: ciclo = 0  Processo reversível ciclo < 0  Processo impossível ciclo > 0  Processo onde existem irreversibilidades presentes

Desenvolvimento do Balanço de Entropia O balanço de entropia é uma expressão da 2ª Lei que é particularmente conveniente para a análise termodinâmica. A figura ao lado, mostra um ciclo executado por um sistema fechado. O ciclo é constituído por dois processos. O processo I no qual podem ocorrer irreversibilidades presentes e o processo R que é um processo internamente reversível

Desenvolvimento do Balanço de Entropia Para esse ciclo: O subscrito “b” da primeira integral serve para indicar que o integrando é avaliado ao longo da fronteira do sistema. O subscrito não é requerido para a segunda integral porque como o processo é internamente reversível a temperatura deve ser uniforme através do sistema, a cada estado intermediário.

Balanço de Entropia O termo  refere-se somente ao processo I, pois o processo R é internamente reversível. Para o processo R: Para o Ciclo (composto pelos processos R + I): Se os estados inicial e final estão fixados, a variação de entropia pode ser avaliada independentemente dos detalhes do processo (reversível ou irreversível).

Balanço de Entropia Balanço de entropia para sistemas fechados: Os dois termos do lado direito da equação dependem explicitamente da natureza do processo e não podem ser determinados somente a partir dos estados inicial e final.

Balanço de Entropia O termo representa a transferência de calor em direção e sinal. O termo σ representa a entropia gerada internamente. Para o sistema constituído pelo gás ou líquido (ao lado):

Balanço de Entropia Como Tb é constante para o reservatório: Como os reservatórios térmicos são internamente reversíveis, por definição   = 0 e teremos:

Balanço de Entropia O reservatório perde calor e portanto, sua entropia diminui. A entropia do Reserv. diminui na mesma quantidade que a entropia do sistema aumenta por causa do calor transferido. No entanto, o aumento da entropia do sistema é maior que a entropia transferida pela transferência de calor, devido às irreversibilidades internas. A variação global da entropia do sistema pode ser: dependendo das magnitudes da entropia gerada internamente e das entropias associadas ao fluxo de calor (+ ou -).

Balanço de Entropia para Sistemas Abertos (Volumes de Controle) A entropia é uma propriedade extensiva e portanto depende da massa e assim pode ser transferida para dentro ou para fora do volume de controle. Dessa forma o balanço de entropia para um v.c. pode ser derivado de modo muito similar ao feito para a obtenção do balanço de energia e de massa, partindo de um sistema fechado. O Balanço de entropia para um sistema fechado, em função do tempo é:

Balanço de Entropia para Sistemas Abertos (Volumes de Controle) Para um volume de controle a expressão fica: Esta equação representa a forma geral para o balanço de entropia. No entanto, seus termos podem ser escritos de modo a contemplar não uniformidades locais.

Análise de volumes de controle operando em Regime Permanente Balanço de massa: Balanço de energia: Balanço de entropia:

Análise de volumes de controle operando em Regime Permanente Essas equações precisam, muitas vezes, ser resolvidas simultaneamente, junto com equações que expressem relações entre as propriedades. Massa e energia são quantidades que se conservam. A Entropia, em geral, não se conserva. A taxa de entropia transferida para fora do v.c. precisa exceder a taxa de entropia transferida para o v.c. A diferença é a taxa de produção de entropia dentro do volume de controle devido às irreversibilidades. Em muitos casos existe somente uma entrada e uma saída de massa no v.c. e a expressão para o balanço de entropia assume a forma:

Análise de volumes de controle operando em Regime Permanente ou Observar que ss só poderá ser menor que se se o fluxo de entropia associado ao fluxo de calor que sai for maior que o fluxo de entropia associado ao calor que entra mais o fluxo de entropia gerado internamente (que é sempre maior).

Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Os engenheiros usam freqüentemente o conceito de eficiência e diferentes definições são empregadas para expressar o conceito de eficiência. Eficiência isentrópica envolve a comparação entre o desempenho real de um dispositivo e o desempenho que esse mesmo dispositivo teria se operasse em condições idealizadas para o mesmo estado na entrada e mesma pressão na saída. Considerando: uma turbina que opera entre as pressões P1 e P2, com o estado (1) definido por P1 e T1: Expansão em uma turbina. Efeito de irreversibilidades.

Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Considerando nula a transferência de Energia na forma de calor, e a variação de energias cinética e potencial: Volume de Controle na Turbina para o balanço de 1a. Lei. Balanço de Energia: Expansão em uma turbina. Efeito de irreversibilidades.

Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Regime Permanente. Conservação da massa Como o estado (1) está fixado e portanto o valor de h1 está definido, o trabalho específico depende apenas do valor de . O trabalho específico será máximo para h2 mínimo. Expansão em uma turbina. Efeito de irreversibilidades.

Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Balanço de 2a. Lei: R.P. Nos casos reais todos os processos resultarão em s2 > s1 . O menor valor de s2 será obtido para um processo internamente reversível com e nesse caso s2 = s1 , que corresponde ao ponto (2s) na figura. Para essa condição: Expansão em uma turbina. Efeito de irreversibilidades.

Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Para essa condição: A eficiência isentrópica é definida como a razão entre o trabalho no processo real e aquele para o processo isentrópico. Expansão em uma turbina. Efeito de irreversibilidades.

Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Os valores de situam-se na faixa 0,7 - 0,9 (70% a 90%). Para bocais, usando uma abordagem similar a esta para turbinas obtêm-se Lembrar que as condições (estado) de entrada estão fixadas e a pressão na saída é a mesma.

Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Balanço de massa: R.P. Balanço de energia: De onde: Como o objetivo dos bocais é proporcionar a maior velocidade de saída, v2, a maior velocidade será obtida para o valor mínimo de h2, que de um modo similar á análise das turbinas será obtido em um processo isoentrópico.

Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Bocais e Difusores Eficiências isentrópicas de 95% ou maiores são comuns para bocais, indicando que para os bons projetos as irreversibilidades internas são pequenas.

Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Eficiência Isoentrópica de Compressores ou de bombas. Processo de compressão, desde um estado 1, a T1 e P1, até um estado 2, à P2.