Otimização Paramétrica (Cap. 5) AULA COMPUTACIONAL Otimização Paramétrica (Cap. 5) 15 DE SETEMBRO DE 2008

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS São métodos de busca por tentativas. Os métodos podem ser: - Diretos: utilizam apenas o valor da Função Objetivo. - Indiretos: utilizam também o valor da(s) derivada(s) da Função Objetivo (menor números de tentativas mas o esforço computacional é maior). Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades: - Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço. - Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.1 Problemas Univariáveis Método da Seção Áurea Utiliza dois pontos posicionados de forma a manter: (a) simetria em relação aos limites do intervalo (b) fração eliminada constante

Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos) Método da Seção Áurea Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos) Propriedade: removendo um quadrado de lado igual ao lado menor, 1 e 1- resulta um outro retângulo com as mesmas proporções do retângulo original  Razão Áurea

Algoritmo da Seção Áurea Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Convergiu Delta  Tolerância

Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto L s x i F L i x s F Problema de Mínimo Eliminação de Região Problema de Máximo Eliminação de Região Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto F s Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto L i s x F F i L i x s F L x x L i s i s Inicialização D = L - L s i x = L + 0,618 D i i 0,618 D x = L - 0,618 D s s 0,618 D

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas univariáveis Exemplo: dimensionamento do extrator W kg B/h Q = 10.000 kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 (k = 4) Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização) Avaliação Econômica: L = R - C R = pAB W y C = pB W pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

Seqüência de Cálculo x y W 1 * * * 2 * * x y W 1 x x o 2 x o 1 * * * 2 * * x y W 1 x x o 2 x o 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y  Restrições de Igualdade !!!

Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas : Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas : 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y = + a Q p x k AB o B ( ) 105 b 4000 c Qx , 5 L = a - b x - c/x

Busca do ponto estacionário: L = a - b x - c/x 60 Busca do ponto estacionário: x b dL dx c o = - + || 2 01118 , 50 Solução completa do problema: 40 R yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h C L,R,C 30 $/a 20 L o = 15,6 Máximo! L 10 x o =0, 01118 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 x kgAB/kg A

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.2 Problemas Multivariáveis Alguns métodos diretos: - Busca Aleatória - Busca por Malhas - Busca Secionada - Simplex (Poliedros Flexíveis) - Hooke & Jeeves Procedimento Geral: (a) seleção de um ponto inicial (base). (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca. (c) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (d) finalização Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.

Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão (proximidade do ótimo): Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos

? + 2 ? - 1 ? + 1 Base ? - 2 Exploração Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base. Do resultado, depreender a direção provável do ótimo ? + 2 ? - 1 ? + 1 Base ? - 2 A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.

Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro. Exploração Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro. S: Sucesso I: Insucesso S + 2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,1 0,3 0,5 y x S - 1 Sucesso Base I - 2 desnecessário buscando máximo

Exploração O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição. S + 2 S - 1 Base I - 2

Progredir com duplo incremento até ocorrer um Insucesso Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão 22 Insucesso! Permanecer na Base (25) Progredir com duplo incremento até ocorrer um Insucesso x2 + 2 2 +2 1 Sucesso! Mover a Base. Continuar a Progressão 25 Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 . + 2 2 +2 1 15 +1 10 Base + 2 18 Resultado da Exploração x1

Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo? Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade. Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos

Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar x2 9 - 1 7 - 2 +1 10 Base + 2 5 8 + 1 - 1 + 2 - 2 1 > 1 e 2 > 2 : ainda não chegou ao ótimo : 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2 x1

1 < 1 e 2 < 2 : a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar x2 + 1 - 2 + 2 8 - 1 7 - 2 +1 10 Base + 2 9 5 1 < 1 e 2 < 2 : a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo x1

Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série 1 2 Q = 10.000 kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W kgB/h y kgAB/kgB x kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * * 2 * * 3 * * * * 4 * * Modelo Matemático 1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Modelo Matemático 2. y1 = k x1 4. y2 = k x2 3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2 1. W1 = Q (xo - x1)/ y1 W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x 2 x o 3 x o x x 4 x o

Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L 2. y1 = k x1 4. y2 = k x2 3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2 1. W1 = Q (xo - x1)/ y1 L = R – C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2 a = pAB Q xo + 2 pB Q / k = 130; b = pB Q xo/ k = 0,5; c = pAB Q = 4000; d = pB Q / k = 25 Buscando o ponto estacionário: L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0 x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357 x2o = (d/b) x12 = 0,00921 L/x2 = - c + dx1/x22 = 0 Solução completa: y1o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2o = 1.184 kgB/h Co = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h

det(H - I) = 0  1 = -0,258106 e 2 = -1,011106 Analisando o ponto estacionário: L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0 x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357 x2o = (d/b) x12 = 0,00921 L/x2 = - c + dx1/x22 = 0 det(H - I) = 0  1 = -0,258106 e 2 = -1,011106 Máximo!

1 2 Q = 10.000 kgA/h xo = 0,02 kgAB/kgA W1 = 1.184 kgB/h W2 = 1.184 kgB/h x1 = 0,01357 kgAB/kgA x2 = 0,00921 kgAB/kgA y1 = 0,05428 kgAB/kgA y2 = 0,03824 kgAB/kgA Estágio 1 2 Total Soluto Recup. kg/h 64,28 43,62 107,90 Solv. Consum. kg/h 1.184 1.184 2.368 Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

0,020 0,018 4,0 2,0 8,0 0,016 6,0 0,014 10 16 14 0,012 X 19,5 18 0,010 0,00921 2 0,008 0,006 12 0,004 0,01357 0,002 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 X 1

Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração em 2 dimensões

x2 Direção x1 Unimodalidade: dispensa + 1 Direção x2 Unimodalidade: dispensa + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 10 Base 15 - 2 18 Sucesso: deslocar a Base Direção provável do ótimo x1

x2 Direção provável do ótimo Direção x1 Unimodalidade: dispensa + 1 18 Sucesso: deslocar a Base Direção x2 + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 10 Base 15 - 2 12 Insucesso: permanece na Base x1

Direção x1 x2 Unimodalidade: dispensa + 1 Direção x2 13 Insucesso: permanecer na Base + 2 Direção provável do ótimo Sucesso: deslocar a Base - 1 10 Base 15 - 2 12 Insucesso: permanecer na Base x1

x2 Direção x1 Direção x2 Unimodalidade: dispensa + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 +1 10 Base 15 7 Insucesso: permanecer na Base - 2 Sucesso: deslocar a Base 18 Direção provável do ótimo x1

Direção provável do ótimo x2 Direção x1 Sucesso: deslocar a Base 18 Direção x2 + 2 - 1 +1 Sucesso: deslocar a Base 10 Base 15 7 Insucesso: permanecer na Base - 2 12 Insucesso: permanecer na Base x1

x2 Direção x1 Insucesso: permanecer na Base 11 Direção x2 + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 +1 10 Base 15 7 Insucesso: permanecer na Base - 2 Direção provável do ótimo Insucesso: permanecer na Base 12 x1

x2 Direção x1 Direção x2 Unimodalidade: dispensa + 2 10 Base - 1 +1 Insucesso: permanecer na Base 7 8 Insucesso: permanecer na Base - 2 Sucesso: deslocar a Base 15 Direção provável do ótimo x1

Direção provável do ótimo x2 Direção x1 Sucesso: deslocar a Base 15 Direção x2 + 2 - 1 +1 Insucesso: permanecer na Base Insucesso: permanecer na Base 7 10 8 Base - 2 Insucesso: permanecer na Base 9 x1

x2 Direção x1 Insucesso: permanecer na Base 5 Direção x2 + 2 - 1 +1 Insucesso: permanecer na Base Insucesso: permanecer na Base 7 10 8 Base - 2 Insucesso: permanecer na Base 9 A Base deve estar próxima do ótimo ! x1

Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão: (proximidade do ótimo) Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos

Funções Unimodais O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial. Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.

Funções Multimodais O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados. (a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais. (b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x22 + x1 – 7)2

Método dos poliedros flexíveis É um método de busca multivariável (J.A. Nelder e R. Mead, 1964, também chamado de Simplex), onde o pior vértice de um poliedro com n + 1 vértices é substituído por um novo vértice colinear com o vértice antigo e o centróide. Centróide: onde xh,j é o pior vértice.

Método dos poliedros flexíveis O algoritmo envolve quatro operações de busca, que para o caso da minimização da função objetivo têm as seguintes formas: onde é o melhor vértice. Expansão Reflexão Contração Redução

Método dos poliedros flexíveis O critério usado por Nelder e Mead para terminar a busca é o seguinte:

DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação. Mas exige um procedimento de otimização: função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos

Exemplo: Extrator FO = |x – 0,008| T oC W = 3.750 kgB/h rafinado y = 0,032kg AB/kg B r = 0,60 extrato Q* = 10.000 kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A To oC Ts oC x* = 0,008 kgAB/kg A alimentação solvente Normal Simulações Sucessivas T oC W = ??? kgB/h rafinado y = kg AB/kg B extrato W = kgB/h Q* = 10.000 kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A To oC Ts oC x = ??? kgAB/kg A alimentação solvente FO = |x – 0,008|

Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000  W = 3.750 Exemplo: Extrator T oC W = ??? kgB/h rafinado y = kg AB/kg B extrato W = kgB/h Q* = 10.000 kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A To oC Ts oC x = ??? kgAB/kg A alimentação solvente FO = |x – 0,008| Simulações Sucessivas 1. Q(xo – x) – W y = 0 2. y – k x = 0 x = Q xo / (Q + k W ) Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000  W = 3.750

Exemplo: Trocador de Calor Normal T1* = 80 oC W1* = 30.000 kg/h A = 265,6 m2 T 2* = 25 oC W3 = 44.000 kg/h T3* = 15 oC T4* = 30 oC Simulações Sucessivas T1* = 80 oC W1* = 30.000 kg/h A T 2* ??? W3 T3* = 15 oC T4* = ??? T2 = T1 – Q/W1Cp1 T4 = T3 + Q/W3Cp3 FO = (T2 – 25)2 + (T4 – 30)2 Por Hooke&Jeeves ... 0 < A < 1.000 0 < W3 < 100.000