Programação Dinâmica Dual (Modelo Newave) FEEC/Densis/Unicamp Thaís Gama de Siqueira Maio/2002

Apresentação Introdução Formulação Algoritmo Resultados Conclusões Possíveis melhorias Referências

Introdução Será apresentado aqui o modelo Newave, que se baseia em Programação Dinâmica Dual(PDD) juntamente com o conceito do corte de Benders. A PDD é uma metodologia baseada na PDE onde não é necessário a discretização do espaço de estados do sistema, o que resolve a “maldição da dimensionalidade”.

O modelo para o caso estocástico tem como vantagem a utilização de um modelo de energias afluentes auto-regressivo mensal de ordem p, que pode ser usado tanto no cálculo da estratégia ótima como na simulação da operação.

Objetivos Implementar o Newave para uma usina, com base na formulação usada em [1]. Observar o comportamento para os casos Determinístico e Estocástico. Comparar resultados com os obtidos em [1].

Programação Dinâmica Dual Determinística Seja o problema de 2 estágios: Min c1x1 + c2x2 s.a. A1x1  b1 E1x1 + A2x2  b2 Que pode ser interpretado como um processo de decisão em 2 estágios: Estágio 1=> encontro x1* , t.q. A1x1*  b1 (1)

Estágio 2=> dada a decisão x1 Estágio 2=> dada a decisão x1* resolver o problema de otimização do segundo estágio: 1(x1) = Min c2x2 s.a. A2x2  b2 - E1x1* Sendo 1(x1) a solução ótima do problema (2), pode-se reescrever o problema original (1) como: Min c1x1 + 1(x1) s.a. A1x1  b1 (2) (3)

Pode-se entender a função 1(x1) como uma função que fornece informações sobre as conseqüências da decisão x1 no futuro. O princípio de decomposição de Benders é uma técnica permite construir, de forma iterativa, aproximações para a função 1(x1) baseada na solução do problema de segundo estágio.

Algoritmo Adotar uma aproximação para Resolver o problema do 1o estágio, obtendo-se x1* Dado x1*, resolver o problema do 2o estágio, obtendo-se x2* Associados à solução do problema de 2o estágio existem os multiplicadores de Lagrange, que são usados para construir uma aproximação mais precisa Retornar ao passo 2

Seja o dual do problema (2): 1(x1) = Max  (b2 - E1x1) s.a. A2  c2 O conjunto de restrições iA2  c2 definem um poliedro convexo, que é caracterizado pelo conjunto de pontos extremos ou vértices ={1, 2,..., p}. (4)

A solução ótima de um PL será um dos vértices da região factível, logo o problema (4) pode ser resolvido por enumeração: Max i (b2 - E1x1) s.a. i   i=1, 2,..., p (5)

O problema (5) pode então ser reescrito como: Min  s.a.   1 (b2 - E1x1)   2 (b2 - E1x1)   p (b2 - E1x1) Sendo  uma variável escalar. (6)

Em PL, o valor da função objetivo do PP e PD são iguais na solução ótima. Portanto o problema original pode ser reescrito como: Min c1x1 +  s.a. A1x1  b1 1 (b2 - E1x1) -   0 2 (b2 - E1x1) -   0 p (b2 - E1x1) -   0 (7)

O conjunto de restrições i (b2 - E1x1) -   0, i=1,...,p pode ter grandes dimensões, porém somente algumas delas estarão ativas na solução ótima, o que sugere o uso de técnicas de relaxação, base do algoritmo de decomposição de Benders. A idéia é obter iterativamente, uma melhor aproximação para a função custo futuro 1(x1).

Algoritmo para múltiplos estágios: Faça J=0 , t=1,...,T Resolva o problema aproximado do 1o estágio: Min c1x1 + s.a. A1x1  b1 2j (b2 - E1x1) -  0 j=1,...,J Solução ótima: (x1*, )

Calcule Repita para t=2,...,T (FORWARD) Dado x*t-1 , resolver: = Min ctxt + s.a. At xt  bt - Et-1x*t-1 jt+1 (bt+1 – Et x*t) -  0 j=1,...,J Solução Ótima: (x*t , )

O vetor (x1*, ..., xT*) é uma solução factível, mas não necessariamente a ótima Verifique se ( )  TOL. Em caso afirmativo a solução ótima é (x1*, ..., xT*) associado a . Caso contrário, vá para (g) J=J+1

Repita para t=T-1, ..., 2 (BACKWARD) Resolva o problema de otimização: Min ctxt + s.a. At xt  bt - Et-1x*t-1 Cortes de Benders jt+1 (bt+1 – Et xt) -  0 j=1,...,J Ou wjt+1+ jt+1Et (xt* - xt) -  0 Vá para (b)

Referências Bibliográficas [1] Pereira , M. V. F., “Optimal Stochastic Operations Scheduling of Large Hydroeletric Systems”, Eletrical Power & Energy Systems, Vol.11, No 13, pages 161-169, July, 1989. [2] Kligerman, A. S., “Operação Ótima de Subsistemas Hidrotérmicos Interligados utilizando Programação Dinâmica Estocástica Dual”, Tese de mestrado, FEEC, Unicamp, Fevereiro, 1992.

[3] Pereira , M. V. F. e Pinto, L. M. V. G [3] Pereira , M. V. F. e Pinto, L.M.V.G., “ Stochastic Optimization of a Multireservoir Hydroeletric System – A decomposition approach”, Water Resources Res. Vol 21, No 6, 1985. [4] “Modelo Estratégico de Geração Hidrotérmica a Subsistemas”, Projeto Newave, Manual do Usuário CEPEL, Agosto, 1999