Transições de Fase e Fenômenos Críticos Instituto de Física, UFRJ Transições de Fase e Fenômenos Críticos PG – 2º Semestre de 2007 Ementa: Fenomenologia de transições de fase. Modelos magnéticos simples. Universalidade e scaling. Métodos de aproximação. Teoria de escala de tamanhos finitos. Invariância conforme. Sistemas desordenados. Transições de fase quânticas. última atualização: 16/8/2007

Modelos magnéticos simples A origem da “interação magnética” Modelo de Heisenberg isotrópico Modelo de Heisenberg anisotrópico Modelo de Ising Modelo de Heisenberg planar Modelo XY Dimensionalidade da rede magnética Simetria discreta vs. simetria contínua O modelo de Potts Universalidade: modelos de pseudo-spin

A origem da “interação magnética” “Interação magnética” responsável pelo ordenamento magnético: troca (exchange) = repulsão coulombiana + princípio de Pauli Spins paralelos  elétrons mais afastados  diminui atração dos núcleos menor energia de ligação Molécula de H2 Spins anti-paralelos  elétrons mais próximos  aumenta atração dos núcleos maior energia de ligação Energia (Ry) acoplamento de troca: depende do recobrimento dos orbitais atômicos Separação intermolecular (a0)

A origem da “interação magnética” exchange direto superexchange: mediada por átomos não magnéticos exchange indireto em metais: mediada por elétrons de condução

Modelo de Heisenberg isotrópico Spins-S localizados em sítios de uma rede regular: Si  magnetismo de isolantes A interação entre pares de spin é isotrópica (no “espaço de spins”:  Alcance da interação: Jij decai com |i  j|  implicações para dimensionalidade efetiva da rede

Modelo de Heisenberg isotrópico Com J > 0, o estado fundamental corresponde a ferromagnetismo saturado; Estados excitados: ondas de spin (deslocamentos transversais compartilhados por todos os sítios)  spin de cada sítio não está em um estado bem definido

Modelo de Heisenberg anisotrópico Fontes de anisotropia de spin: campo cristalino ou campo dipolar que atuam nos momentos magnéticos  15/2  13/2  1/2 Exemplo: Dy3+ L = 5, S = 5/2, J = 15/2 sem campo cristalino, o estado fundamental é o multipleto 2H15/2  degenerescência 16 com campo cristalino uniaxial (< acoplamento spin-órbita)  quebra degenerescência em oito dubletes Para Dy3Al5O12 (DAG), Tc  2.5K << E/kB ~ 80K  a baixas temperaturas o spin tem apenas dois estados, os de anisotropia máxima  spin ½ efetivo J|| ~ 100 J melhor descrito por anisotropia single-ion 80K

Modelo de Ising Exemplo: Co2+ [L = 3, S = 3/2] em CoCs3Cl5. campo cristalino mais forte que acoplamento spin-órbita  contribuição orbital para momento magnético é quenched componente axial do campo cristalino quebra degenerescência 4 do estado fundamental Tc  0.52K << E/kB ~ 10K  a baixas temperaturas o spin tem apenas dois estados, de anisotropia máxima  spin ½ efetivo J|| ~ 10 J melhor descrito por anisotropia Ising Na base de autoestados de Siz , |S1 S2Sn, com Si = S, (S  1),  +S cada spin mantém sua individualidade  pode-se substituir o operador por seu autovalor na Hamiltoniana No que diz respeito a classes de universalidade, diferença entre Heisenberg anisotrópico e Ising é imaterial; discrepâncias com relação a grandezas não-universais serão comentadas posteriormente.

Modelo de Heisenberg planar Exemplo: CsNiF3. sem exchange: campo cristalino  singleto (menor energia) e dubleto com exchange ~ gap singleto-dubleto  mistura 3 estados  spin efetivo S = 1 + anisotropia single-ion favorecendo alinhamento num “plano fácil” anisotropia single-ion (só se S > ½) com D < 0: favorece o alinhamento das componentes planares

Modelo XY É o limite extremo de anisotropia planar: spins confinados a um plano XY Planar Para grandezas universais, diferença entre planar e XY é imaterial

Dimensionalidade da rede magnética Anisotropia espacial possível (p.ex., materiais estruturados em camadas)  determina a dimensionalidade da rede magnética: Jij pode depender da direção de i  j: Bi Sr Ca O Cu Bi-2212 YBa2Cu3O7- (YBCO) A distância entre átomos magnéticos entre planos distintos é bem maior que a distância quando estão no mesmo plano  J|| << J  d = 2

Dimensionalidade da rede magnética

Simetria discreta vs. simetria contínua

Generalização do modelo de Ising: o modelo de Potts Revisão: FY Wu (1982) modelo de Ising FM: dois estados possíveis para o spin num sítio energia de interação:  J se dois spins vizinhos num mesmo estado (paralelos) +J se dois spins vizinhos em estados diferentes (paralelos) N.B.: o importante é que há um E  0 separando estes estados, e não de quanto é a separação  simetria discreta: {S }  {S } Questão [tese de doutorado proposta por C Domb a seu estudante RB Potts (tese de doutorado, Oxford, 1951)]: como generalizar Ising para q estados, preservando a simetria discreta? Imagine vetores clássicos em cada sítio de uma rede que podem apontar em qq uma de q direções: q = 3 q = 4 q = 2

Modelo de Potts de 3 estados em 3 dimensões NdAl2 PrAl2, e DyAl2 são ferromagnetos com simetria cúbica: na ausência de campo magnético H, a magnetização aponta em uma das dirções cristalinas [100], [010], ou [001]. A aplicação de um campo magnético na direção [111] estabiliza qualquer uma das direções igualmente. O sistema sofre uma transição de primeira ordem – descontinuidade na magnetização – em Hc (T) B Barbara et al., JPC 11, L183(1978)

Modelo de Potts de 3 estados em 2 dimensões Gases nobres (He, Kr,...) adsorvidos na superfície de grafite; eles ocupam os centros dos hexágonos Para cobertura (i.e., fração de sítios ocupados) 1/3, os átomos de Kr preferem ocupar uma das 3 sub-redes q = 3 Berker et al., PRB 17, 3650 (1978)

Efeitos da dimensionalidade Modelo de Ising MF falha até mesmo em 3D: Tc superestimada descontinuidade, ao invés de divergência ausência da cauda de altas temperaturas Flutuações mais importantes quando d : Tc descresce Tc  0 em d =1 d=3: séries; d=2: exato (Onsager); d=1: exato (Ising)

Paul Coddington, University of Adelaide, paulc@cs.adelaide.edu.au http://www.cs.adelaide.edu.au/~paulc/physics/spinmodels.html

Referências [RMP=Rev Mod Phys; PRX=Phys Rev X;] LJ de Jongh and AR Miedema, Adv Phys 23, 1 (1974) LP Kadanoff et al., RMP 39, 395 (1967) HE Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, (Oxford), 1967 FY Wu, RMP 54, 235 (1982); 55, 315 (1983) (E). JM Yeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions, (Oxford), 1992.