4. Amostragem de Sinais Contínuos no Tempo TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4. Amostragem de Sinais Contínuos no Tempo 4.1. Amostragem Periódica Conversor Contínuo/Discreto C/D xc(t) x[n] T T: Período de amostragem [s] Frequência de amostragem [Hz] Frequência de amostragem [rad/s]

A implementação de um conversor C/D é um conversor A/D Ideal. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR A implementação de um conversor C/D é um conversor A/D Ideal. Precisão infinita – Infinitos números de bits Quantização em passos lineares Sem efeitos secundários devido ao circuito de sample&hold Sem limitações quanto à taxa de amostragem A operação de amostragem ideal é irreversível: Pois vários sinais contínuos podem dar origem a um mesmo sinal amostrado.

Representação matemática da conversão C/D: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Representação matemática da conversão C/D: Figura pag 142 x[n] Sinal Discreto xs(t) sinal contínuo

4.2. Representação da Amostragem no Domínio Frequência TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.2. Representação da Amostragem no Domínio Frequência Trem de impulsos: Sinal amostrado por trem de impulsos

Propriedades da Transformada de Fourier contínua: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Propriedades da Transformada de Fourier contínua: Transformada do trem de impulsos é também um trem de impulsos: Onde: S() s(t) ... ... [rad/s] -2T -T T 2T t[s] -2s -s s 2s

Teorema da convolução: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Teorema da convolução: assim: Logo: Onde:

p/ sinal xc(t) limitado em frequência: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR p/ sinal xc(t) limitado em frequência: Nota-se que se: Não haverá superposição de espectros. Caso: Distorção por superposição de espectros, ou Recobrimento, ou Efeito Aliasing.

Reconstrução perfeita por filtragem passa-baixas ideal: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Reconstrução perfeita por filtragem passa-baixas ideal:

Ex.: Amostragem de um sinal cossenoidal: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.: Amostragem de um sinal cossenoidal:

Teorema de Nyquist(1928) ou Teorema de Shannon(1949) ou TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Teorema de Nyquist(1928) ou Teorema de Shannon(1949) ou Teorema da Amostragem “Seja um sinal xc(t) limitado em frequência tal que Xc()=0 para ||>N. Então xc(t) é unicamente determinado pelas suas amostras xc(nT), n=0,1,2,… se: ”

Relação entre X() e Xs(). TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Relação entre X() e Xs(). Sabemos que: Aplicando a transformada de Fourier: Como: E sabendo a DTFT: Logo:

Pode-se pensar como uma normalização da frequência TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Já vimos que: Logo: Pode-se pensar como uma normalização da frequência Onde =s é normalizada em =2 Este efeito é diretamente relacionado com a normalização que ocorre no tempo, onde o período T é normalizado em 1 amostra.

Frequência analógica 0=4000 rad/s ou f0=2kHz amostrada TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Exemplo: Amostrado a fs=6kHz. T=1/6000 s=12000 Frequência analógica 0=4000 rad/s ou f0=2kHz amostrada a fs=6kHz, é equivalente a frequência digital:

4.3. Reconstrução de sinais limitados em frequência TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.3. Reconstrução de sinais limitados em frequência A partir de x[n] podemos obter xs(t), sinal trem de impulsos contínuo ponderados por x[n], como: Se aplicarmos este sinal à entrada de um filtro contínuo PB ideal Hr(), com resposta ao impulso hr(t), então teremos:

Filtro de Reconstrução Hr(): TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Filtro de Reconstrução Hr(): Largura de Banda c entre N e (s-N) Ganho T Se o sinal foi amostrado sem aliasing, p/ qualquer sinal de entrada basta: Resposta ao impulso hr(t) será: Notar que:

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

Logo podemos calcular: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo podemos calcular: Assim: se x[n]=xc(nT) xr(mT)=xc(mT) m inteiro Pontos de amostragem são perfeitamente reconstruídos. Vendo o gráfico de:

Logo o filtro passa-baixas ideal, interpola os impulsos TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Fig. Pag 152 Vendo o gráfico de: Logo o filtro passa-baixas ideal, interpola os impulsos do sinal xs(t) para obter o sinal contínuo xr(t). Vimos que xr(mT)=xc(mT), se não houver aliasing: xr(t)=xc(t) como se pode notar pela análise espectral.

Podemos esquematizar um conversor Discreto/Contínuo ideal como: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Podemos esquematizar um conversor Discreto/Contínuo ideal como: Fig. Pag 152 A partir de: Obtemos: Logo:

4.4. Processamento Discreto de Sinais Contínuos TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.4. Processamento Discreto de Sinais Contínuos C/D D/C Sistema Discreto T xc(t) yr(t) x[n] y[n]  Não necessariamente iguais  P/ sinal xc(t) limitado em frequência:

4.4.1. Sistemas Discretos LTI. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.4.1. Sistemas Discretos LTI. Temos a reposta em frequência efetiva do sistema total dado por: Condições: Sistema discreto LTI Sinal de entrada limitado em frequência Respeitado o teorema da amostragem

4.4.2. Invariância ao Impulso TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.4.2. Invariância ao Impulso hc(t) Hc() xc(t) yc(t) C/D D/C h[n] H() T xc(t) yr(t)= yc(t) x[n] y[n] Sistema invariante ao impulso:

4.6. Mudança da taxa de amostragem usando Processamento Discreto TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.6. Mudança da taxa de amostragem usando Processamento Discreto CD/MD: 44.1kHz DAT: 48kHz Broadcast: 32kHz Tendo: Muitas vezes precisamos: Modos: reconstruir xc(t) e re-amostrar a T’ segundos Problemas: A/D, D/A, filtros Processar x[n] diretamente

4.6.1. Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.6.1. Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro Compressor da taxa de amostragem: x[n] M xd[n]=x[nM] Período de amostragem T Período de amostragem T’=MT A redução da taxa de amostragem: downsampling

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Análise do espectro

Análise do espectro Com aliasing e filtro TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Análise do espectro Com aliasing e filtro

Decimador: sistema que reduz a taxa de amostragem por um fator M TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Decimador: sistema que reduz a taxa de amostragem por um fator M Decimação: Processo de filtragem PB de freq. corte /M seguida de um compressor Espectro se expande do fator M.

4.6.2. Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.6.2. Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro Aumento da taxa de amostragem: upsampling Expansor : x[n] L xe[n] Período de amostragem T Período de amostragem T’=T/L

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Análise do espectro

Interpolador: sistema que aumenta a taxa de amostragem por um fator L TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Interpolador: sistema que aumenta a taxa de amostragem por um fator L Interpolação: Processo de expansão seguido de filtragem PB de freq. corte /L Espectro se replica nas frequências 2/L. Filtrando-se PB apenas o espectro centrado em 2k equivale a interpolar as amostras faltantes. Interpolação linear, spline, etc... Aproximações p/ PB ideal.

4.6.3. Mudando a taxa de amostragem por um fator Não-inteiro. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.6.3. Mudando a taxa de amostragem por um fator Não-inteiro.

4.7. Processamento Multi taxa. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.7. Processamento Multi taxa. Os interessados devem dar uma lida e tentar entender. Aplicação: Codificação em Sub-bandas (MP3) análise por banco de filtros, etc. Base p/ transformada wavelet.

4.8. Processamento Digital de Sinais Analógicos TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.8. Processamento Digital de Sinais Analógicos Até então, analisou-se sistemas ideais: Sinais limitados em freq. Conversores C/D,D/C Filtragens PB ideal Sistema Real:

Geralmente procura-se usar a menor taxa de TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.8.1. Filtro Anti-Aliasing Geralmente procura-se usar a menor taxa de amostragem possível de modo a minimizar os requerimentos do processador digital. Logo: Sinal de entrada precisa ser limitado em frequência. Ex.: Voz inteligível : até 4kHz porém possui freq. até da ordem de 20kHz. Ex.2: Sinal limitado + Ruído de alta frequência. P/ evitar aliasing é necessário limitar a largura de banda do sinal de entrada.

Filtro antialiasing ideal: PB ideal de freq. fs/2 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Filtro antialiasing ideal: PB ideal de freq. fs/2 Filtros analógicos reais: Corte não é abrupto, precisam começar a atenuar freqüências menores que fs/2. Filtros com cortes abruptos são mais complexos >n. de componentes, > custo. Geralmente possuem fase extremamente não-linear. (Chebychev e Cauer), principalmente próximo à freq. corte na banda de passagem. Possíveis soluções: 1) Usar filtro ativo simples seguido de um filtro a capacitor chaveado de alta ordem.

Amostragem em oversampling seguida de filtragem digital TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 2) Amostragem em oversampling seguida de filtragem digital

Sinal limitado + Ruído em alta freq. Filtro analógico simples TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Sinal limitado + Ruído em alta freq. Filtro analógico simples Amostragem em T/M Filtragem digital Decimação M

4.8.2. Conversão Analógico-Digital TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.8.2. Conversão Analógico-Digital C/D : Precisão infinita A/D: dispositivo que converte tensão ou corrente em um código binário. Conversão tem precisão finita Não é instantânea: Necessita sample&hold

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Quantização:

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

4.8.3. Análise do Erro de Quantização TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.8.3. Análise do Erro de Quantização Passo de quantização: Fundo de Escala: Xm Número de Bits: B+1 Erro de quantização: Segue que: Erro de quantização pensado como ruído aditivo:

P/ se levantar um modelo estatístico do erro Assume-se que: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR P/ se levantar um modelo estatístico do erro Assume-se que: A sequência de erro e[n] é uma amostragem de um processo randômico estacionário (suas característica estatísticas não se alteram como tempo). O erro e[n] é descorrelacionado com o sinal x[n] As variáveis randômicas do processo de erro são descorrelacionadas (o erro é um processo ruído branco) A função distribuição de probabilidade do erro é uniforme sobre o range do erro de quantização Em geral são boas aproximações para sinais x[n] naturais (voz, música, vídeo, etc...), e pequenos passos de quantização.

Ex.: 3 bits (B=2) e[n] /p 3 bits e[n] /p 8 bits TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.: 3 bits (B=2) e[n] /p 3 bits e[n] /p 8 bits

P/  pequeno podemos modelar a probabilidade do Sinal de erro como: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR P/  pequeno podemos modelar a probabilidade do Sinal de erro como: Variância: P/ B+1 bits e fundo de escala Xm temos:

Logo: a SNR aumenta 6.02 dB p/ cada bit TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Relação Sinal-Ruído: Logo: a SNR aumenta 6.02 dB p/ cada bit x é o desvio padrão ou o valor RMS de x[n] Assim esta equação não é válida se o sinal x[n] saturar o quantizador, isto é |x[n]|>Xm. Se a amplitude do sinal x[n] tem uma distribuição gaussiana Apenas 0.0064% das amostras terão amplitudes > 4 x . Fazendo: x =Xm/4 consegue-se SNR6.B-1.25 Quantos bits são necessários p/ 90dB? Qualidade de CD.

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4.8.4. Conversão D/A

Análise em frequência, fazendo a DTFT de x0(t): TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo: Análise em frequência, fazendo a DTFT de x0(t):

P/ reconstruir o sinal precisamos filtrar PB TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Onde: P/ reconstruir o sinal precisamos filtrar PB o sinal X0() com um filtro PB ideal compensado:

Voltando a analisar um sistema onde: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Voltando a analisar um sistema onde: -Saída do filtro de antialiasing e o de reconstrução são limitada em fs/2 -Sistema é LTI Então podemos escrever que a saída será: Onde: Considerando o ruído de quantização gerado pelo A/D É um ruído branco de variância demonstra-se: Espectro de potência do Ruído.

Assim, a resposta em frequência efetiva do sistema é: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Assim, a resposta em frequência efetiva do sistema é: Obs.: As compensações podem ser embutidas no processamento digital do sinal, H(). Obs.2: O sistema H() pode inserir ruído de quantização também. Ruído interno ao sistema digital.