Para um sinal determinístico x(t), o espectro é bem definido: Se

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1 Para um sinal determinístico x(t), o espectro é bem definido: Se
representa sua transformada de Fourier, isto é. se então representa seu espectro de energia, que segue do teorema de Parseval. Como energia do sinal é dada por Assim representa a energia do sinal na banda como mostra a figura. 15. Análise Espectral Energy in

2 Para um processo estocástico, uma aplicação direta da fórmula
geraria uma seqüência de variáveis aleatórias para todo . No entanto, para um processo estocástico, E{| X(t) |2} representa um conjunto de potências (energia instantânea) para um dado instante de tempo t. Para obter a distribuição espectral de potência versus freqüência para um processo estocástico, deve-se evitar intervalos infinitos. Considera-se intervalos finitos (– T, T ) e define-se formalmente a transformada de Fourier de um processo X(t) sobre o intervalo (– T, T ), isto é Tal que representa a distribuição de potência associada ao intervalo de tempo de (– T, T ). Note que a equação representa uma variável aleatória para todo , cujo valor médio dá distribuição da potência média sobre o intervalo (– T, T ). Assim

3 representa a distribuição de potência de X(t) sobre o intervalo (– T, T ).
Para processos estacionários no sentido amplo, a expressão pode ser simplificada, visto para processos E.S.A. Então, Fazendo Que é a distribuição de potência de um processo ESA X(t) sobre o intervalo de tempo (– T, T ). Finalmente fazendo

4 Tem-se: que é a densidade espectral de potência de um processo ESA X(t). Note que isto é, a função autocorrelação e o espectro de potência de um processo ESA formam um par de transformada de Fourier. Esta relação é conhecida como Teorema de Wiener-Khinchin. A transformada inversa dá e em particular para tem-se Isto é, a área sob representa a potência total do processo X(t), e assim representa o espectro de potência do processo ESA X(t).

5 Se X(t) é um processo E.S.A., então tal que
Assim o espectro de potência é uma função par, real e não negativa. represents the power in the band

6 Espectro de Potência na Saída de Sistemas LTI
Se um processo E.S.A X(t) com função autocorrelação é aplicado a um sistema linear com resposta ao impulse h(t), então a função correlação cruzada e a função autocorrelação na saída do sistema são relacionadas por: Se Então: h(t) X(t) Y(t)

7 Assim pois, onde, Portanto Ruído Branco: O ruído branco é um processo E.S.A. com Assim o ruído tem o espectro plano. Note que o ruído branco é um processo irrealizável visto que sua potência total é indeterminada. Se a entrada de um sistema LTI é um ruído branco, então o espectro saída é dado por:

8 Exemplo 1: Um processo ESA W(t), ruído branco, é passado através
de um filtro passa-baixa (FPB) com largura de faixa B/2. Encontre a função autocorrelação do processo de saída. Solução: Seja X(t) o processo de saída do FPB. Se Então E a transformada inversa de dá a função autocorrelação da saída (a) LPF (b)

9 Exemplo 2. Seja que representa uma operação de suavização usando uma janela móvel sobre um processo X(t). Encontre o espectro de potência Y(t) em função de X(t). Solução: Seja h(t) a resposta ao impulso de um sistema LTI como mostrado na figura. A resposta y(t) é dada por: Tal que Então

10 Note que o efeito da operação de suavização no domínio da frequência
suprime as componentes de altas frequências do sinal de entrada. É equivalente a operação de um filtro passa baixa.