Programação em Lógica Indutiva Jacques Robin CIn-UFPE

O que é ILP (Inductive Logic Programming)? Aprendizagem Indutivo Programação em Lógica Indutiva (IPL) ILP x resto da aprendizagem Descobre conhecimento novo expressado em lógica da 1a ordem ILP x resto da programação em lógica Inverte mecanismos de dedução para implementar indução

Dimensões de aprendizagem Metáfora cognitiva (ou paradigma): Simbólica, Nebulosa, Estatística, Conexionista, Evolucionista, Híbrida Propriedades matemáticas da função a aproximar: domínio e contra-domínio {0,1}, R dependência: linear, linear por parte, não linear, etc. Representação da função a aproximar: lógica, probabilística, numérica Propriedades matemáticas do espaço das representações: dimensão densidade

Dimensões de aprendizagem (cont.) Conhecimento: a priori: aproveitável, necessário aprendido: novidade, interpretabilidade Algoritmo de aprendizagem: iterativo ou não local ou global Feedback disponível: supervisionado, não supervisionado, por reforço nível de ruído (grau de aproximação)

Aprendizagem: feedback disponível Aprendizagem supervisionada: certo ou errado Dado um conjunto de exemplos pré-classificados, aprender uma descrição geral que encapsula a informação contida nesses exemplos e que pode ser usada para prever casos futuros ex. concessão de crédito Aprendizagem não supervisionada: se vira! Dada uma coleção de dados não classificados, agrupá-los por regularidades ex. caixa de supermercado empacotando Aprendizagem por reforço: recompensa/punição ex. jogo de xadrez, RoboCup: é por aí!

Dedução x Indução Dedução: D(A,R) = T Indução: I(A,T,R) = H a partir de uma base de axiomas A conhecida a priori uma base de regras de inferência R conhecida a priori deduzir: a base de teoremas T, tal que: A  R |= T Indução: I(A,T,R) = H a partir de: base de axiomas A conhecida a priori base de teoremas T+ e não teoremas T- observada empiricamente induzir: base de regras de inferência hipotéticas H, tal que: A  R  H |= T+ e A  R  H | T- ILP : indução com A, R, H e T representadas em Lógica de Horn da 1a ordem.

ILP ao longo das dimensões de aprendizagem Metáfora cognitiva: simbólica Função a aproximar: booleana Representação da função a aproximar: fórmula da lógica de Horn da 1a ordem Algoritmo de aprendizagem: iterativo ou não local ou global Feedback: supervisionado ruído: com ou sem Conhecimento a priori: aproveitável necessário quando poucos exemplos Conhecimento aprendido: altamente interpretável alguns métodos de ILP criam novos predicados

ILP x outras abordagem de aprendizagem Vantagens x outros métodos de aprendizagem (ID3, version-space, redes neurais, redes bayesianas, etc.): indução de relações abstratas e definições recursivas na forma de um programa diretamente executável aproveitamento do conhecimento a priori do domínio poucos exemplos necessários (i.e., A e T podem ser pequenas) Desvantagens x outros métodos de aprendizagem: alto custo computacional do treinamento dificuldade em formar hipóteses interessantes na ausência de conhecimento a priori

Aprender relação abstrata com ILP: daughter(D,P) = f(father,female,male,mother). Conhecimento a priori Intencional: parent(F,C) :- father(F,C). parent(M,C) :- mother(M,C). Extensional: father(pat,ann). father(tom,sue). female(ann). female(eve). female(sue). male(pat). male(tom). mother(eve,sue). mother(ann,tom). Exemplos Positivos: daughter(sue,eve). daughter(ann,pat). Negativos: not daughter(tom,ann). not daughter(eve,ann). Objetivo: Induzir: daughter(D,P) :- female(D), parent(P,D).

Aprender definição recursiva com ILP: ancestor = f(parent, ancestor). Conhecimento a priori Intencional: parent(F,C) :- father(F,C). parent(M,C) :- mother(P,C). Extensional: father(pat,ann). father(tom,sue). female(ann). female(eve). female(sue). male(pat). male(tom). mother(eve,sue). mother(ann,tom). Exemplos Positivos: ancestor(tom,sue). ancestor(eve,sue). ... Negativos: not ancestor(ann,eve). not ancestor(sue,eve). Definição induzida: ancestor(A,D) :- parent(A,D). ancestor(A,D) :- parent(A,P), ancestor(P,D).

Dimensões de ILP Tarefa: Abordagem: Grau de automação: interativo x autónomo Incremental (na apresentação dos dados): sim/não Semântica: monótona normal, monótona definita, não-monótona Descoberta de predicados: com/se Entrada: T+, T+  T-, T+  A  R, T+  T-  A  R Saída: um x vários predicados, LP x CLP Abordagem: Operadores: -subsumption, rlgg, resolução ou implicação inversa Restrições da linguagem de hipótese L(H) (language bias): sintáticas x semânticas parametrizadas x declarativas Estratégia de busca: Global: especialização (top-down) x generalização (bottom-up) Local (preference bias):

Algoritmo genérico de ILP inicialize fila de hipótese Fh repetir delete H de Fh escolha regras de inferências R1, …, Rk em R induz H1, …, Hn aplicando R1, …, Rk a H coloca H1, …, Hn em Fh pode Fh até satisfazer critérioDeParada para Fh Qualquer algoritmo de ILP: é uma instância desse algoritmo com definições e implementações particulares para: inicialize, delete, escolha, pode e critérioDeParada

Generalizacão x Especialização Generalização (busca bottom-up) parte da hipótese a mais específica: qualquer exemplo positivo iterativamente generaliza-lá aplicando regras de indução até a 1a que cobre: quase todos os exemplos positivos quase nenhum exemplo negativo Especialização (busca top-down) parte da hipótese a mais geral: c(…,X,…) :-. iterativamente especializa-lá aplicando regras de dedução até a 1a que cobre: quase todos os exemplos positivos quase nenhum exemplo negativo Para os 2: “quase” definido quantitativamente via uma taxa de erro necessária para: evitar overfitting da amostra de treinamento garantir o poder de generalização da hipótese

Semântica monótona Propriedades: Casos particulares: Consistência a priori: A  R  T- |= {f} Necessidade a priori: A  R | {f} Consistência a posteriori: A  R  T-  H |= {f} Completude a posteriori: A  R  H |= T+ Casos particulares: Monótona definida: Monótona normal com B e H limitado a cláusulas definidas, ie, c(X,Y) :- p(X), q(Y) mas não t :- p(X), q(Y). Monótona baseada em exemplos: Monótona definida com todos T+ e T- fatos instanciados (unit ground clauses) ie, c(a,b) ou not c(a,b) mas nem c(X,b), nem c(a,b) :- p(a),q(b).

Modelos de Herbrand M(L) modelo de Herbrand de um programa lógico L sse: M(L) = {p(…, c, …) | p  pred(L)  c  const(L)  L |= p(…,c,…)} = todos os fatos instanciados formados a partir de predicados e constantes de L e deriváveis a partir de L Exemplo: L = {male(paulo). female(ana). male(joao). parent(paulo,joao). parent(ana,joao). father(F,C) :- parent(F,C), male(F). mother(M,C) :- parent(F,C), female(M).} M(L) = {male(paulo). female(ana). male(joao). father(paulo,joao). mother(ana,joao).} Thm: L sem not  M(L) mínimo

Semântica não-monótona Pressupostos: T+  A  R T- = L(H) - A  R via hipótese do mundo fechado A  R limitado a cláusulas definidas M+(A  R) = modelo de Herbrand mínimo de A  R Propriedades: Validade: H  M+(A  R ) Completude: H |= M+(A  R) Minimal: G  H  G inválido ou incompleto Mais conservadora do que semântica monótona: A  R = {bird(tweety). bird(oliver).} T+ = {flies(tweety).} Com semântica monótona, flies(X) :- bird(X).  H Com semântica não-monótona, flies(X) :- bird(X).  H

Regras e operadores para ILP Especialização (refinamento) baseado em -Subsumption Relative Least General Generalization (RLGG) Resolução inversa em V Resolução inversa em W (invenção de predicados) Implicação inversa Derivação inversa (inverse entailment)

-Generalização (-Subsumption) G -generaliza S sse  substituição , (G)  S ie, G se unifica com uma parte de S ex, com  = {D/ann}, daughter(D,P) :- female(D). -generaliza daughter(ann,P) :- female(ann), parent(P,ann). Sugere 2 operadores de especializações: aplicar substituição e acrescentar premissa (G -generaliza S)  (G |= S) -- “G entails S” mas ((G |= S) (G -generaliza S)) contrex, G: humano(paiDe(H)) :- humano(H). S: humano(paide(paiDe(H))) :- humano(H). G |= S, porém G não -generaliza S

Generalização mínima relativa Generalização mínima de 2 termos T e L (literais): substituição dos sub-termos que não se casam com variáveis ex, lgg(daughter(mary,ann),daughter(eve,tom)) = daughther(D,P) unificação inversa Generalização mínima de 2 cláusulas: lgg(C1 :- P1, …, Q1. , C2 :- P2, …, Q2) = lgg(C1,C2) :- lgg(P1,P2), …, lgg(Q1,Q2). ex, lgg(daughter(mary,ann) :- female(mary),parent(ann,mary). , daughter(eve,tom) :- female(eve),parent(tom,eve).) = = daughter(D,P) :- female(D), parent(P,D). Generalização mínima de 2 termos C1 e C2 relativa a BDE = {D1, …, Dn} a priori: rlgg(C1,C2) = lgg(C1 :- D1, …, Dn. , C2 :- D1, …, Dn)

Generalização mínima relativa: exemplo Com BDE = {parent(ann,mary). parent(ann,tom). parent(tom,eve). parent(tom,ian). female(ann). female(mary). female(eve).} rlgg(daughter(mary,ann). , daughter(eve,tom).) = lgg(daughter(mary,ann) :- BDE. , daughter(eve,tom) :- BDE. ). = daughter(D,P) :- BDE, parent(ann,D0), parent(P,D), parent(P1,D1), parent(P2,D2), parent(P3,D3), parent(P4,D4), female(D1), female(D2), female(D). = daughther(D,P) :- parent(P,D),female(D). Em GOLEM: premissas redundantes podadas usando bias semântico limitando busca a cláusulas determinadas.

Busca top-down em reticulado de refinamento Adaptação de ID3 para representação da 1a ordem Espaço de hipótese: reticulado no qual cada no -generaliza seus filhos em cima: conclusão a aprender sem premissa em baixo: contradição ou hipótese mais específica Hms tal que: Hms  A  R |= T+ (e Hms  A  R |T-) Percorre reticulado de cima para baixo em largura 1a Cada passo implementa uma abordagem gerar & testar gerar: todas as hipóteses Hn em L(H) refinando a hipótese atual testar: função heurística de: número de D+ tal que: Hn  A  R |= T+ número de D- tal que: Hn  A  R |= T- tamanho de Hn

Busca top-down em reticulado de refinamento: exemplo daughter(D,P). ... ... ... daughter(D,D). daughter(D,P) :- female(D). daughter(D,P) :- parent(P,D). daughter(D,P) :- parent(D,X). ... ... daughter(D,P) :- female(D), female(D). daughter(D,P) :- female(D), parent(P,D). daughter(D,P) :- parent(P,D), female(D).

Derivação inversa Como: Então, H pode ser computado em 2 passos: A  R  H |= T  A  R   T |=  H  A  R   T |= M(A  R   T) |=  H  H |= M(A  R   T) G -generaliza S  G |= S Então, H pode ser computado em 2 passos: 1: Deduz M(A  R   T) a partir de A  R e de T 2: Calcula H = {h  L(H) | h -generaliza M(A  R   T)}

Restrições de L(H): motivação Se L(H) contem qualquer cláusula de Horn gerável: por refinamento da cláusula sem premissa por resolução inversa de 2 elementos de A  R  T+ Então: espaço de busca (seja bottom-up ou top-down) grande demais para ser explorado eficientemente as vezes até infinito Restrição de L(H): meta-conhecimento heurístico a priori permitindo limitar espaço de busca

Restrições sintáticas parametrizadas lista dos nomes de predicado permitidos em hipóteses número máximo de premissas por cláusula número máximo de variáveis por cláusula profundidade máxima dos termos das cláusulas nível máximo dos termos das cláusulas: variável V é ligada em cláusula C :- P1, …, Pn sse: V C, ou  i  {1, …, n},  W  V: V  Pi  W  Pi  W ligada em C :- P1, …, Pn. cláusula ligada sse todas suas variáveis são ligadas ex, p(X) :- q(Z) não ligada, p(X) :- q(X,Y),r(Y,Z),u(Z,W) ligada. nível n(t) de um termo t em cláusula ligada C :- P1, …, Pn: 0 se t  C, ou 1 + min(n(s)) se t  Pi  s  Pi ex, n(C, grandfather(G) :- male(G), parent(G,F), parent(F,C)) = 2

Restrições semânticas de L(H): tipos e modos const(a). const(b). … clist([]). clist([H|T]) :- const(H), clist(T). Modos: restrições sobre predicados na conclusão (modeh) ou premissa (modeb) das regras número de vezes que um predicado pode ser satisfeito tipos dos seus argumentos instanciação dos seus argumentos (constante #, variável de entrada + ou variável de saída -) ex: modos para append :- modeh(1,append(+clist,+clist,-clist))? :- modeh(1,append([+const|+clist],+clist,[-const|-clist]))? :- modeh(1,append(#clist,+clist,-clist))? :- modeb(1,append(+clist,+clist,-clist))? Determinação:

Restrições semânticas de L(H): determinação h(…,X0i,...) :- p1(...,X1j,…), …, pn(…,Xnk,…). determinada dados um conhecimento a priori B e exemplos D sse: as instanciações dos X0j, …, Xij restringem os X(i+1)j a um único valor, ie,  i  {1,…,n},  Xij  pi,  Xkl, k < I, ! v tal que: Xij/v compatível com Xkl/vkl Exemplo: D: parent(jef,paul). parent(jef,ann). male(paul). female(ann). hasFather(C) :- parent(P,C). determinada: P/jef isFather(F) :- parent(F,C). não determinada: C/{paul;ann} Torna aprendizagem eficiente (porém incompleto)

Preferências sintáticas e probabilísticas (H) = número de bits na codificação mínima de H Thm: H que minimiza (H) em L(H) também maximiza P(H|B E) ie, a hipótese mais concisa sempre corresponde a mais verossímil Prova: Thm de Bayes + Thm de Shannon Justificação téorica do navalha de Occam

PROGOL: nas dimensões de ILP Tarefa: Grau de automação: interativo ou autônomo Incremental (na apresentação dos dados): sim ou não Semântica: não-monótona Descoberta de predicados: ? Entrada: D+ ou D+^D- ou D+^B ou D+^D-^B Saída: um ou vários predicados, LP Abordagem: Operadores: derivação inversa, -generalização Restrições da linguagem de hipótese L(H) (language bias): sintáticas e semânticas parametrizadas e declarativas Estratégia de busca: Global: top-down, mais bottom-up bounded Local: poda espaço usando função heurística f(H) estimando poderDePredição(H) x concisão(H)

PROGOL: algoritmo Instância do algoritmo genérico de ILP com: inicialize: H = {obj(…,X,…) :- }. delete: dE, B  H |= E escolha: H que maximiza f(H), função heurística de busca aproximando (poderDePredição(H),concisão(H)) pode: hipóteses mais específicas que M(B   D) hipóteses que não pode mais melhorar f(H) critérioDeParada: |falsos+| + |falsos-| < limiar de ruído, ou E = 

PROGOL: função heurística de busca f(H) = (P(p-n-c-h+1))/p, com: P = |E+| p = |E+ deduzidos de H| (verdadeiros +) n = |E- deduzidos de H| (falsos -) c = |H| (em número de literais) h = |variáveis de saída não restritas|

PROGOL: construir hipótese + específica % Restrições semânticas de L(H) :- set(r, 10000) % max Prolog unif :- set(h, 100) % max Prolog search depth :- modeh(1,implies5(+bool5, +bool5, -bool5). :- modeb(1,or5(+bool5, +bool5, -bool5). :- modeb(1,not5(+bool5, -bool5). bool5(X) :- integer(X), X => 0, X <= 4. % B: conhecimento a priori not5(I,Out) :- Out is 4 - I. or5(X,X,X). or5(I,J,Out) :- I > J, Out is I. or5(I,J,Out) :- I < J, Out is J. % E+: exemplos positivos implies5(4,4,4). implies5(4,0,0). implies5(0,4,4). implies5(1,2,3) % E-: exemplos negativos :- implies5(2,0,0). :- implies5(4,2,4). 1/ d= implies5(4,4,4)  mode declar  or5(4,4,4)  M(B   d)  not5(4,0)  M(B   d)  or5(4,0,4)  M(B   d)  or5(0,4,4)  M(B   d)  or5(0,0,0)  M(B   d)  not5(4,0)  M(B   d)  M(B   d) = or5(4,4,4)  not5(4,0)  or5(4,0,4)  or5(0,4,4)  or5(0,0,0)  not5(4,0)   implies5(4,4,4).  maxspec{h | h  H |= e} = or5(A,A,A)  not5(A,B)  or5(A,B,A)  or5(B,A,A)  or5(B,B, B)  not5(B,A)  implies5(A,A,A). CProgol Version 4.4 |- consult(implies5a)? [No contradictions found] yes |- generalise(implies5/3)? [Generalising implies5(4,4,4).] [Most specific clause is] implies5(A,A,A) :- or5(A,A,A), not5(A,B), or5(A,B,A), or5(B,A,A), or5(B,B,B), not5(B,A).

PROGOL: Generalizar hipótese + especifica 1 % Generalising implies5(A,A,A). [C:0,1,0,0 implies5(A,A,A).] [C:-5,1,1,0 implies5(A,B,A).] % pruned [C:2,3,1,0 implies5(A,B,B).] % 1st tried [C:0,2,0,1 implies5(A,A,B).] % pruned [C:1,5,2,1 implies5(A,B,C).] % 2nd % Specialising implies5(A,B,B) [C:0,3,1,0 implies5(A,B,B) :- or5(B,B,B).] [C:0,3,1,0 implies5(A,B,B) :- or5(B,B,C).] [C:0,2,0,0 implies5(A,B,B) :- or5(A,B,B).] [C:-2,2,1,0 implies5(A,B,B) :- or5(A,B,A).] [C:0,3,1,0 implies5(A,B,B) :- or5(A,B,C).] [C:0,2,0,0 implies5(A,B,B) :- or5(B,A,B).] [C:-2,2,1,0 implies5(A,B,B) :- or5(B,A,A).] [C:0,3,1,0 implies5(A,B,B) :- or5(B,A,C).] [C:0,3,1,0 implies5(A,B,B) :- or5(A,A,A).] [C:0,3,1,0 implies5(A,B,B) :- or5(A,A,C).] [C:0,3,1,0 implies5(A,B,B) :- not5(B,C).] [C:0,3,1,0 implies5(A,B,B) :- not5(A,C).] [C:-2,3,1,0 implies5(A,B,B) :- not5(B,C), or5(B,C,D).] ... [C:-2,3,1,0 implies5(A,B,B) :- or5(A,A,C), not5(C,D).] % Restrições semânticas de L(H) :- set(r, 10000) % max Prolog unif :- set(h, 100) % max Prolog search depth :- modeh(1,implies5(+bool5, +bool5, -bool5). :- modeh(1,or5(+bool5, +bool5, -bool5). :- modeh(1,not5(+bool5, -bool5). bool5(X) :- integer(X), X => 0, X <= 4. % B: conhecimento a priori not5(I,Out) :- Out is 4 - I. or5(X,X,X). or5(I,J,Out) :- I > J, Out is I. or5(I,J,Out) :- I < J, Out is J. % E+: exemplos positivos implies5(4,4,4). implies5(4,0,0). implies5(0,4,4). implies5(1,2,3) % E-: exemplos negativos :- implies5(2,0,0). :- implies5(4,2,4).

PROGOL: Generalizar hipótese + especifica 2 % Restrições semânticas de L(H) :- set(r, 10000) % max Prolog unif :- set(h, 100) % max Prolog search depth :- modeh(1,implies5(+bool5, +bool5, -bool5). :- modeh(1,or5(+bool5, +bool5, -bool5). :- modeh(1,not5(+bool5, -bool5). bool5(X) :- integer(X), X => 0, X <= 4. % B: conhecimento a priori not5(I,Out) :- Out is 4 - I. or5(X,X,X). or5(I,J,Out) :- I > J, Out is I. or5(I,J,Out) :- I < J, Out is J. % E+: exemplos positivos implies5(4,4,4). implies5(4,0,0). implies5(0,4,4). implies5(1,2,3) % E-: exemplos negativos :- implies5(2,0,0). :- implies5(4,2,4). % Specialising implies5(A,B,C) [C:0,5,2,1 implies5(A,B,C) :- or5(A,A,A).] ... [C:0,5,2,1 implies5(A,B,C) :- or5(B,B,D).] [C:-2,3,1,0 implies5(A,B,C) :- or5(B,B,C), not5(C,D).] [C:0,4,0,1 implies5(A,B,C) :- or5(A,B,B), not5(B,D).] [C:0,5,2,1 implies5(A,B,C) :- not5(A,D).] [C:0,5,2,1 implies5(A,B,C) :- not5(B,D).] [C:0,4,0,0 implies5(A,B,C) :- or5(B,A,B), not5(A,D), or5(A,D,C).] [C:-1,4,0,1 implies5(A,B,C) :- or5(A,B,B), not5(B,D), not5(D,E).] [C:0,4,1,0 implies5(A,B,C) :- not5(A,D), or5(A,D,C).] [C:-1,5,2,1 implies5(A,B,C) :- not5(A,D), or5(A,D,E).] [C:2,5,0,0 implies5(A,B,C) :- not5(A,D), or5(B,D,C).] % BINGO! [C:-3,3,1,1 implies5(A,B,C) :- not5(A,D), or5(B,D,B).] [C:-1,5,2,1 implies5(A,B,C) :- not5(A,D), or5(B,D,E).] [122 explored search nodes, f=2,p=5,n=0,h=0] [5 redundant clauses retracted]

PROGOL: exemplo com ruído