Introdução à Pesquisa Operacional Profa Úrsula Lisbôa Fernandes Ribeiro

Conceitos iniciais É um método científico que fornece instrumentos para a tomada de decisões Outra definição: É uma ciência aplicada cujo objetivo é a melhoria da performance em organizações. Trabalha através da formalização de modelos matemáticos a serem resolvidos com auxílio do computador

Aspectos históricos O nome “Pesquisa Operacional” surgiu pela 1a vez durante a Segunda Guerra Mundial Foi resultado de estudos realizados por equipes interdisciplinares de cientistas contratados para resolver problemas militares A técnica se consolidou em 1947, com a equipe liderada por George B. Dantzig (RAND CORPORATION no projeto SCOOP- Scientific Computation of Optimum Programs) trabalhando para Força Aérea Americana (EUA) desenvolvendo técnicas para a distribuição ótima de tropas

Maximizar (ou Minimizar) Programação linear É uma técnica de otimização utilizando funções lineares de variáveis. Temos a “função objetivo” sujeita a uma série de equações ou inequações lineares chamadas de restrições. O problema geral de programação linear pode ser definido por: Maximizar (ou Minimizar) Áreas de aplicação: Dosagem: Alimentação, formula de rações, fábrica de adubos Alocação de recursos Compras, etc ...

Formulação A formulação de qualquer problema a ser resolvido segue alguns passos básicos: Quais as variáveis de decisão? Qual o objetivo? Aqui devemos identificar o objetivo da tomada de decisão, que deve ser único. Por exemplo, maximização de lucro, minimização de tempo, custo. Tal objetivo será representado por uma função objetivo. Quais as restrições? cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa como uma relação linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variáveis de decisão.

1º problema Sabe-se que uma pessoa necessita em sua alimentação diária de um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de carboidratos. Supondo que, para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos produtos soja e feijão. Um kg do soja contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades de carboidratos custa R$ 2,00. Um kg de feijão contém 6 unidades de proteínas, 5 unidades de carboidratos e custa R$ 3,00. Que quant. deve-se comprar de cada produto de modo que as exigências de alimentação sejam satisfeitas a um custo mínimo ? Modelo?

2º problema Um empreendedor decidiu comercializar barcos. Depois de empregar alguns trabalhadores e de descobrir os preços aos quais venderia os modelos, chegou as seguintes observações: cada modelo comum (A) rende um lucro de R$ 520,00, e cada modelo rápido (B) rende um lucro de R$ 450,00. Um modelo comum requer 40 horas para ser construído e 24 horas para o acabamento. Cada modelo rápido requer 25 horas para construção e 30 horas para o acabamento. Este empreendedor dispõe de 400 horas de trabalho por mês para a construção e 360 horas para o acabamento. Quanto deve produzir de cada um dos modelos ? Construa o modelo matemático e encontre a solução para o problema utilizando o método gráfico. Modelo?

3º problema Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (arrendamento) – Destinar certa quantidade de hectares para a plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra R$ 300,00 por ano. P(Pecuária) – Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100kg/ hectare) e irrigação (100.000 litros de água/hectare) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$ 400,00 por hectares por ano. S (Plantio de Soja) – Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200kg por hectare de adubos e 200.000 litros de água/hectare para a irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$ 500,00/ hectare ano. Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 litros de água 14.000 kg de adubo 100 hectares de terra Quantos hectares deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno ? Modelo?

Lindo O LINDO (Linear, Interactive and Discrete Optmizer) é um software desenvolvido pela Lindo Systems Inc. de Chicago, Illinois, EUA, para a resolução de modelos de programação linear, quadrática ou inteira Versão demo: www.lindo.com

Comandos Símbolo Significado ! Símbolo para escrever uma linha de comentário Max Comando que solicita maximizar uma função Min Comando que solicita minimizar uma função st Subject to – significa sujeito a: Informa que a seguir temos um conjunto de restrições end Informa o fim dos dados

Algumas opções Para executar faça: Clique no menu Solve > Compile Model Clique no menu Solve > Solve Para salvar um arquivo: Clique no menu File > Save A extensão ltx é utilizada

Como utilizar o Lindo ? Para o problema já visto... “Sabe-se que uma pessoa necessita...” Função objetivo Min 2x1 + 3x2 Sujeito a Proteínas) 3x1 + 6x2 >= 15 Carboidratos) 10x1 + 5x2 >= 20 x1>= 0; x2>=0

Mais problemas ... Uma microempresa produz dois tipos de jogos para adultos e sua capacidade de trabalho é de 50 horas semanais. O jogo A requer 3 horas para ser produzido e propicia um lucro de R$ 30,00, enquanto que o jogo B precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta um lucro de R$ 40,00. Quantas unidades de cada jogo devem produzidas semanalmente a fim de maximizar o lucro?

Mais problemas ... Um produtor comprou uma propriedade com 500 hectares de pasto. Ele tem um capital de R$ 20.400,00 para gastar na compra de ovinos ou bovinos. Os preços de mercado, o número de hectares ideal para cada animal e os lucros anuais estimados são apresentados na tabela abaixo. Determine a melhor combinação de investimentos.