Problema de designação Pesquisa Operacional Profa Úrsula Lisbôa Fernandes Ribeiro ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

O Problema de designação Suponha n trabalhadores a distribuir por n tarefas de forma a que cada trabalhador execute apenas uma tarefa, e que cada tarefa seja executada apenas por um trabalhador. Conhecendo os custos da realização de cada tarefa por cada trabalhador: designar os trabalhadores às tarefas de forma a minimizar os custos O problema de designação é um caso particular do Problema de Transporte de dimensão (n x n), em que: as variáveis de decisão xij podem tomar valores 0 ou 1; ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Número de Possíveis Soluções O Problema de designação envolve a determinação de n! possíveis soluções. Exemplo: para um problema com 5 trabalhadores e 5 tarefas o número de soluções possíveis é igual a 5 ! = 120. para um problema com 10 trabalhadores e 10 tarefas o número de soluções é igual a 10 ! = 3 628 800. Obter a solução ótima por tentativa é DIFÍCIL ! ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Formulação do Problema de designação n trabalhadores n origens n destinos n tarefas cada trabalhador i é designado a uma tarefa ai =1, i=1,2,...,n Cada tarefa j é executada por um trabalhador bj =1, i=1,2,...,n Cij custo unitário de transporte da origem i para o destino j Cij custo de designar o trabalhador i à tarefa j xij =1, se o trabalhador i for designado p/ a tarefa j, caso contrario xij = 0 ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de designação Formulação (similar ao problema do transporte) Destino 1 2 … n Oferta Origem c 11 c 12 c 1n 1 … … x x x x x x 1 11 11 12 12 1n 1n c 21 c 22 c 2n 2 … 1 x x x … x x x 21 21 22 22 2n 2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c m1 n1 c m2 n2 c mn nn n … 1 x … x x x x x n1 n2 nn Procura 1 1 … 1 … ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Resolução do Problema de Designação Método Húngaro Este método consiste em adicionar ou subtrair valores de forma adequada às linhas e às colunas da matriz de custos de dimensão nn para obter um problema equivalente com n zeros enquadrados na matriz de custos Uma vez transformada a matriz de custos numa matriz com n zeros enquadrados, esses zeros correspondem à designação ótima, tomando: xij = 1, para os zeros enquadrados da matriz de custos transformada xij = 0, para os restantes valores ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Resolução do problema de designação Método Húngaro - Exemplo Considere que existem 5 trabalhadores que devem ser designados a 5 tarefas. A matriz dos custos associados à realização de cada tarefa por cada trabalhador é a seguinte: 1 2 3 4 5 1 1 17.5 15 9 5.5 12 2 2 5 16 16.5 10.5 10.5 3 3 12 15.5 14.5 11 5.5 4 4 4.5 8 14 17.5 13 5 13 9.5 8.5 12 17.5 ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Resolução do problema de Designação Método Húngaro Início: Redução da Matriz de Custos. 1º. Subtrair aos elementos de cada coluna da matriz de custos o mínimo dessa coluna. 2º. Na matriz resultante, subtrair a cada linha o respectivo mínimo. Iteração: 1º. Desenhar o número mínimo de traços que cobrem todos os zeros da matriz 2º. Critério de parada: o número mínimo de traços é igual a n?. Sim – enquadrar n zeros, um por linha e um por coluna, a solução é ótima. FIM. Não – passar a 3. 3º.  Redução da matriz de custos. Determinar o menor valor não riscado . Subtrair  a todos os elementos não riscados e somar  a todos os elementos duplamente riscados. Considerar de novo todos os zeros livres e voltar a 1 ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Método Húngaro. Exemplo. Início: Redução da Matriz de Custos. 1º: Subtrair o menor elemento de cada coluna a todos os elementos dessa coluna 1 2 3 4 5 1 1 17.5 15 9 5.5 12 2 16 16.5 10.5 5 10.5 3 12 15.5 14.5 11 5.5 menor elemento da coluna 1 4 4.5 8 14 17.5 13 5 13 9.5 8.5 12 17.5 17.5 - 4.5 = 13 1 2 3 4 5 16 - 4.5 = 11.5 13 7 0.5 0.5 6.5 1 2 11.5 8.5 2 5 12 - 4.5 = 7.5 3 7.5 7.5 6 6 4.5 - 4.5 = 0 5.5 12.5 7.5 4 13 - 4.5 = 8.5 5 8.5 1.5 7 12 ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Método Húngaro. Exemplo. Início: Redução da Matriz de Custos. 2º: Subtrair o menor elemento de cada linha a todos os elementos dessa linha 1 2 3 4 5 1 13 7 0.5 0.5 6.5 2 11.5 8.5 2 5 Existe empate na escolha do menor elemento da linha 1 (igual a 0.5). Nas restantes linha o mínimo é zero, sendo que as linhas restantes não vão ser alteradas 3 7.5 7.5 6 6 4 5.5 12.5 7.5 5 8.5 1.5 7 12 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 13 - 0.5 = 12.5 1 1 12.5 6.5 6 2 2 11.5 8.5 2 5 7 - 0.5 = 6.5 3 3 7.5 7.5 6 6 0.5 - 0.5 = 0 4 4 5.5 12.5 7.5 6.5 - 0.5 = 6 5 5 8.5 1.5 7 12 ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Método Húngaro. Exemplo. Iteração: Critério de parada. 1º. Desenhar o número mínimo de traços que cobrem todos os zeros da matriz. 1 2 3 4 5 1 1 12.5 6.5 6 2 11.5 8.5 2 5 3 3 7.5 7.5 6 6 4 4 5.5 12.5 7.5 5 5 8.5 1.5 7 12 2º. Critério de parada: o número mínimo de traços é igual a 5?. Não – passar a 3. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Método Húngaro. Exemplo. Iteração: Redução da Matriz de Custos. 1 2 3 4 5 1º. min {elementos da submatriz dos elementos não riscados } = 1.5 1 12.5 12.5 6.5 6.5 6 6 2 11.5 7.5 8.5 2 6 1.5 5.5 12.5 7 5 12 11.5 11.5 8.5 8.5 2 2 5 5 2º. Subtrair 1.5 a todos os elementos não riscados. 3 3 3 7.5 7.5 7.5 7.5 6 6 6 6 4 4 4 3º. Somar 1.5 aos elementos na intersecção dos traços. 5.5 5.5 12.5 12.5 7.5 7.5 5 8.5 8.5 1.5 1.5 7 7 12 12 1 2 3 4 5 4º. Os restantes elementos não são alterados. 5 1 11 4.5 2 10 7 2 3.5 3 7.5 7.5 7.5 7.5 4 7 14 7.5 5 7 7 10.5 ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Método Húngaro. Exemplo. Iteração: Critério de parada. 1º. Desenhar o número mínimo de traços que cobrem todos os zeros da matriz. 1 2 3 4 5 1 11 5 4.5 2 10 7 2 3.5 3 7.5 7.5 7.5 7.5 4 7 14 7.5 5 7 7 10.5 2º. Critério de parada: o número mínimo de traços é igual a 5?. Sim – enquadrar 5 zeros, um por linha e um por coluna, a solução é ótima. FIM ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Método Húngaro. Exemplo: Solução Ótima. 1 2 3 4 5 Matriz inicial de custos 1 17.5 15 9 5.5 12 2 5 16 16.5 10.5 10.5 3 12 15.5 14.5 11 5.5 4 4.5 8 14 17.5 13 5 13 9.5 8.5 12 17.5 solução ótima é : x13 = 1 , x24 = 1, x35 = 1, x41 = 1 , x52 = 1 com um custo total : 9 + 5 + 5.5 + 4.5 + 9.5 = 33.5 ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo