Capitulo 5: Simplex Voltando ao exemplo da confecção da D. Maria, e modificando um pouco os valores apenas para facilitar nossos cálculos e o entendimento, teríamos a seguinte situação: D. Maria possui uma confecção que produz agora outros dois tipos de roupas, calças e vestidos. O lucro sobre a venda da calça é de R$ 4,00 e na sua fabricação, são gastos 2m em tecido (matéria prima) por dia. Já o lucro do vestido é de R$1,00 e o gasto com tecido é de 3m. D. Maria recebe apenas 12m de tecido por dia. D. Maria também já calculou o custo relativo à Mão de Obra. Para a calça, é utilizada 2h de Mão de Obra e para o vestido, apenas 1h. D. Maria tem disponível 8h de MO/dia. Variáveis de decisão: X1: Quantidade de calças X2: Quantidade de vestidos Função Objetivo Max Z= 4X1+1X2 3) Restrições 2X1+3X2≤12 2X1+1X2≤8 X1≥0 e X2≥0 Resumo: Sujeito a 2X1+3X2 ≤12 2X1+1X2 ≤8 X1 ≥0 X2 ≥0

Capitulo 5: Simplex Para usarmos o simplex, as seguintes regras tem que ser respeitadas: As restrições são sempre ≤ uma constante (bi) Todas essas constantes (bi) são ≥ 0 Estaremos maximizando Z (para minimizar, algumas adaptações serão feitas) Solução usando o método Simplex Passo 1) Transformar as desigualdades lineares em equações lineares. Como? Introduzindo variáveis de folgas, sempre positivas (tantas quanto forem necessárias) Maximizar Z= 4X1+1X2 Z - 4X1-1X2 = 0 Sujeito a 2X1+3X2 ≤12 2X1+3X2+1X3 =12 2X1+1X2 ≤8 2X1+1X2+ 1X4 =8 X1 e X2 ≥0 X1, X2, X3 e X4 ≥0 Passo 2) Montar quadro com Z na ultima linha e as variáveis de folga na base (≠ 0). Nota: As variáveis que não estão na base são iguais a “zero” Base X1 X2 X3 X4 b 2 3 1 12 8 Z -4 -1

Capitulo 5: Simplex Esse é um processo iterativo. Assim, já teríamos a primeira solução onde: X1=0 X2=0 X3=12 X4=8 Z=0 Obviamente, essa solução não é a ótima. Continuaremos o processo até encontrar a solução ótima Passo 3) Colocar uma variável não-básica (nesse caso X1 ou X2) na base e retirar uma variável básica (X3 ou X4) da base. Qual variável não-básica escolher? A de maior contribuição para a função Z (o maior valor negativo, podendo até ser zero) e que tenha pelo menos um coeficiente positivo na sua coluna: No caso X1=-4 Qual variável básica tirar? Para isso, basta dividir a coluna “b” pela coluna que vai entrar na base (X1) e escolher o menor resultado não negativo Importante: Esse “cruzamento” é chamado de Pivô. Nesse caso: Pivô=2 Base X1 X2 X3 X4 b 2 3 1 12 8 Z -4 -1 b/X1=> 12/2=6 b/X1=> 8/2=4 Maior valor negativo é o da variável X1. É quem vai entrar na base. Menor quociente é o da variável X4. É quem vai sair da base

Capitulo 5: Simplex Continuando o desenvolvimento da tabela: 1ª Operação: divida a linha que sai (X4) pelo Pivô (2) e inclua na nova tabela Base X1 X2 X3 X4 b 2 3 1 12 8 Z -4 -1 2/2=1 ½= 0,5 0/2=0 ½=0,5 8/2=4 Base X1 X2 X3 X4 b X1 1 0,5 0 0,5 4

Capitulo 5: Simplex Nova Linha 2ª Operação: Multiplique a nova linha pelo oposto do pivô da próxima linha da tabela e some com ela própria Base X1 X2 X3 X4 b 2 3 1 12 8 Z -4 -1 -2+2=0 -1+3=2 0+1=1 -1+0=-1 -8+12=4 Base X1 X2 X3 X4 b X3 0 2 1 -1 4 X1 1 0,5 0 0,5 4 Nova Linha Pivô=2=> Oposto=-2 1*(-2)=-2 ½*(-2)=-1 0*(-2)=0 ½*(-2)=-1 4*(-2)=-8

Capitulo 5: Simplex Nova Linha 3ª Operação: Novamente, multiplique a nova linha pelo oposto do pivô da linha da tabela que ainda não foi modificada e e some com ela própria Base X1 X2 X3 X4 b 2 3 1 12 8 Z -4 -1 -4+4=0 2+(-1)=1 0+0=0 2+0=2 16+0=16 Base X1 X2 X3 X4 b X3 0 2 1 -1 4 X1 1 0,5 0 0,5 4 Nova Linha Z 0 1 0 2 16 Pivô=-4=> Oposto=4 1*4=4 ½*4=2 0*4=0 ½*4=2 4*4=16

Capitulo 5: Simplex Repita essas operações até que na linha “Z” não tenha mais nenhum coeficiente negativo. Como isso acaba de acontecer, concluímos que chegamos na solução ótima, onde X3=4 (coluna “b”) X1=4 (coluna “b”) Z=16 (coluna “b”) E conseqüentemente (variáveis não-básicas): X2=0 X4=0 Base X1 X2 X3 X4 b X3 0 2 1 -1 4 X1 1 0,5 0 0,5 4 Z 0 1 0 2 16

Capitulo 5: Simplex Interpretação Econômica dos Resultados: Voltando ao inicio do problema, temos que: Max Z = 4X1+1X2 Sujeito a 2X1+3X2+1X3 =12 (recurso tecido) 2X1+1X2+ 1X4 =8 (recurso mão de obra) Onde as variáveis devem ser interpretadas da seguinte maneira: X1: Quantidade de calças X2: Quantidade de vestidos X3: Folga na utilização do recurso tecido X4: Folga na utilização do recurso mão de obra Como vimos que o resultado do Simplex foi Z=16 X1=4 X2=0 X3=4 X4=0 Concluímos que foram produzidos 4 calças(X1) e 0 vestidos (X2), dando um lucro de $16 (Z), sendo que todo o recurso de mão de obra foi utilizado (X4=0), mas sobraram 4m do recurso tecido (X3)

Capitulo 5: Simplex Exercício 5.1 Resolva utilizando o Simplex: Maximizar Z= 3X1+5X2 Sujeito a X1≤4 X2≤6 3X1+2X2≤18 X1≥0 e X2≥0 Solução: Passo 1) Transformar em equações lineares: -3X1-5X2+0X3+0X4+0X5 =0 1X1 +1X3 =4 1X2 +1X4 =6 3X1+2X2 +1X5 =18

Capitulo 5: Simplex Passo 2) Criar tabela Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 4 6 4 6 3 2 18 Z -3 -5 Passo 3) Qual variável entra para a base e qual sai da base? Entra: X2=-5 (maior valor negativo em Z) Sai: X4=3 Menor relação b/X2 não negativo Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 4 6 3 2 18 Z -3 -5 4/0=Indeterm. 6/1=6 18/2=9

Capitulo 5: Simplex 1ª Operação: divida a linha que sai (X4) pelo Pivô (1)e inclua na nova tabela Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 6 0/1=0 1/1=1 0/1=0 1/1=1 0/1=0 6/1=6 Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 6

Capitulo 5: Simplex 2ª Operação: Multiplique a nova linha pelo oposto do pivô (0) da próxima linha da tabela e some com ela própria Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 4 1+0=1 0+0=0 1+0=1 0+0=0 0+0=0 4+0=4 Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 4 6 Nova Linha Pivô=0 Oposto=0 0*0=0 1*0=0 0*0=0 1*0=0 0*0=0 6*0=0

Capitulo 5: Simplex 3ª Operação: Multiplique a nova linha pelo oposto do pivô (-2) da próxima linha da tabela e some com ela própria Base X1 X2 X3 X4 X5 b 3 2 1 18 3+0=3 2-2=0 0+0=0 0-2=-2 1+0=1 18-12=6 Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 4 6 3 -2 Nova Linha Pivô=2 Oposto=-2 0*(-2)=0 1*(-2)=-2 0*(-2)=0 1*(-2)=-2 0*(-2)=0 6*(-2)=-12

Capitulo 5: Simplex 4ª Operação: Multiplique a nova linha pelo oposto do pivô (5) da próxima linha da tabela e some com ela própria Base X1 X2 X3 X4 X5 b Z -3 -5 -3+0=-3 -5+5=0 0+0=0 0+5=5 0+0=0 0+30=30 Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 4 6 3 -2 Z -3 5 30 Nova Linha Pivô=-5 Oposto=5 0*5=0 1*5=5 0*5=0 1*5=5 0*5=0 6*5=30

Capitulo 5: Simplex Já mudamos toda a base. Encontramos a solução ótima? Não, pois ainda existe um numero negativo na linha “Z”. Vamos repetir todas as operações novamente desde o início do passo 3. Passo 3) Qual variável entra para a base e qual sai da base? Entra: X1=-3 (maior valor negativo em Z) Sai: X5=2 Menor relação b/X2 não negativo Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 4 6 3 -2 Z -3 5 30 4/1=4 6/0= Indeter. 6/3=2

Capitulo 5: Simplex 1ª Operação: divida a linha que sai (X5) pelo Pivô (3) e inclua na nova tabela Base X1 X2 X3 X4 X5 b 3 -2 1 6 3/3=1 0/3=0 0/3=0 -2/3=-2/3 1/3=1/3 6/3=2 Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 -2/3 1/3 2

Capitulo 5: Simplex 2ª Operação: Multiplique a nova linha pelo oposto do pivô (-1) da próxima linha da tabela e some com ela própria Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 4 1-1=0 0+0=0 1+0=1 0+2/3=2/3 0-1/3=-1/3 4-2=2 Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 2/3 -1/3 2 -2/3 1/3 Nova Linha Pivô=1 Oposto=-1 1*(-1)=-1 0*(-1)=0 0*(-1)=0 (-2/3)*(-1)=2/3 1/3*(-1)=-1/3 2*(-1)=-2

Capitulo 5: Simplex 3ª Operação: Multiplique a nova linha pelo oposto do pivô (0) da próxima linha da tabela e some com ela própria Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 6 0+0=0 1+0=1 0+0=0 1+0=1 0+0=0 6+0=6 Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 2/3 -1/3 2 6 -2/3 1/3 Nova Linha Pivô=0 Oposto=0 1*0=0 0*0=0 0*0=0 (-2/3)*0=0 1/3*0=0 2*0=0

Capitulo 5: Simplex 4ª Operação: Multiplique a nova linha pelo oposto do pivô (3) da próxima linha da tabela e some com ela própria Base X1 X2 X3 X4 X5 b Z -3 5 30 -3+3=0 0+0=0 0+0=0 5-2=3 0+1=1 30+6=36 Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 2/3 -1/3 2 6 -2/3 1/3 Z 3 36 Nova Linha Pivô=-3 Oposto=3 1*3=3 0*3=0 0*3=0 (-2/3)*3=-2 1/3*3=1 2*3=6

Capitulo 5: Simplex Como a linha “Z” não possui nenhum coeficiente negativo, atingimos a solução ótima, onde X1=2 X2=6 X3=2 Z=36 E conseqüentemente (variáveis não-básicas): X4=0 X5=0 Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 2/3 -1/3 2 6 -2/3 1/3 Z 3 36 Observação: Quando analisamos os coeficientes das variáveis não-básicas na linha “Z”, a solução será ótima e única quando todos forem positivos. Se alem de valores positivos, também encontrarmos valores nulos, a solução é ótima porem não é única

Capitulo 5: Simplex Interpretação econômica dos resultados: Max Z= 3X1+5X2 Sujeito a: 1X1 +1X3 =4 (Recurso A) 1X2 +1X4 =6 (Recurso B) 3X1+2X2 +1X5 =18(Recurso C) Com a seguinte interpretação: X1: Quantidade do produto 1 X2: Quantidade do produto 2 X3: Folga na utilização do recurso A X4: Folga na utilização do recurso B X5: Folga na utilização do recurso C Assim, Temos um total de Z=36 Onde: X1=2 Produzimos 2 unidades do produto 1 X2=6 Produzimos 6 unidades do produto 2 X3=2 Há uma sobra de 2 unidades do recurso A X4=0 Utilização total do recurso B X5=0 Utilização total do recurso C

Capitulo 5: Simplex E quando o objetivo do nosso modelo matemático for de minimização? O que devemos fazer? Para isso, basta trocar o sinal da Função Objetivo (mantendo as restrições inalteradas), tratar a mesma como maximização, resolver o problema, e finalmente, inverter o sinal do “Z” resultante. Exercício 5.2 Resolva utilizando o Simplex: Minimizar Z= 3X1-X2 Sujeito a 2X1+X2≤4 X1-X2≤2 X1≥0 e X2≥0

Capitulo 5: Simplex Solução Exercício 5.2 Antes de iniciar a solução, precisamos transformar a minimização em maximização, trocando o sinal da função objetivo: Minimizar Z= 3X1-X2 = Maximizar (-Z)=-3X1+X2 Sujeito a 2X1+X2≤4 X1-X2≤2 X1≥0 e X2≥0 Agora seguimos a solução padrão do Simplex: Passo 1) Transformar em equações lineares: 3X1-X2+0X3+0X4 =0 2X1+ X2 + X3 =4 X1- X2 + X4 =2

Capitulo 5: Simplex 1 Passo 2) Criar tabela Base X1 X2 X3 X4 b 2 1 4 4 -1 (-Z) 3 Passo 3) Qual variável entra para a base e qual sai da base? Entra: X2=-1 (maior valor negativo em Z) Sai: X3=4 Menor relação b/X2 não negativo Base X1 X2 X3 X4 b 2 1 4 -1 (-Z) 3 4/1=4 2/-1=-2

Capitulo 5: Simplex 1ª Operação: divida a linha que sai (X3) pelo Pivô (1) e inclua na nova tabela Base X1 X2 X3 X4 b 2 1 4 2/1=2 1/1=1 1/1=1 0/1=0 4/1=4 Base X1 X2 X3 X4 b 2 1 4

Capitulo 5: Simplex 2ª Operação: Multiplique a nova linha pelo oposto do pivô (1) da próxima linha da tabela e some com ela própria Base X1 X2 X3 X4 b 1 -1 2 1+2=3 -1+1=0 0+1=1 1+0=1 2+4=6 Base X1 X2 X3 X4 b 2 1 4 3 6 Nova Linha Pivô=-1 Oposto=1 2*1=2 1*1=1 1*1=1 0*1=0 4*1=4

Capitulo 5: Simplex 2ª Operação: Multiplique a nova linha pelo oposto do pivô (1) da próxima linha da tabela e some com ela própria Base X1 X2 X3 X4 b (-Z) 3 -1 3+2=5 -1+1=0 0+1=1 0+0=0 0+4=4 Base X1 X2 X3 X4 b 2 1 4 3 6 (-Z) 5 Nova Linha Pivô=-1 Oposto=1 2*1=2 1*1=1 1*1=1 0*1=0 4*1=4

Capitulo 5: Simplex Como a linha “Z” não possui nenhum coeficiente negativo, atingimos a solução ótima. Devemos agora alterar o valor de “Z” que passa de: De (-Z)= 4 Para Z=-4 Assim temos o resultado final: X2=4 X4=6 Z=-4 E conseqüentemente (variáveis não-básicas): X1=0 X3=0 Base X1 X2 X3 X4 b 2 1 4 3 6 (-Z) 5

Capitulo 5: Simplex Interpretação econômica dos resultados: Min Z= 3X1-X2=0 Sujeito a: 2X1+ X2 + X3 =4 (Recurso A) X1- X2 + X4=2 (Recurso B) Com a seguinte interpretação: X1: Quantidade do produto 1 X2: Quantidade do produto 2 X3: Folga na utilização do recurso A X4: Folga na utilização do recurso B Assim, Temos um total de Z=-4 Onde: X1=0 Utilizamos 0 unidades do produto 1 X2=4 Utilizamos 4 unidades do produto 2 X3=0 Utilização total do recurso A X4=6 Há uma sobra de 6 unidades do recurso B