ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1 = 24 3! = 3.2.1 = 6 2! = 2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3). .... 2 . 1 10. 9. 8! Exemplo: Calcular o valor de: 90 c) = = 8! a) 4! + 3! b) 7! Observe que: 24 + 6 7.6.5.4.3.2.1 4!+3!  7! 30 5040

(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3).... Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação (m – 3)! = 1 O conjunto solução de: d) é: 50. 49! – 49! (m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0! 49! m – 3 = 1 m – 3 = 0 m = 4 m = 3 49! (50 – 1) (n + 1).n.(n – 1)! = 210 49! (n – 1)! Logo a soma dos valores de m é 7 (n + 1).n = 210 49 n2 + n – 210 = 0 n’ = 14 n’’ = - 15 (não convém)

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que: E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 26 26 26 10 10 10 10 = 175. 760. 000

Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados ? Alguns números possíveis Usando o princípio fundamental da contagem: 244 3215 244 5138 244 0008 244 2344 244 0000 : : : 10 10 10 10 244 = 10 000 números fixo

Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? 100 99 = 9900 maneiras

TIPOS DE AGRUPAMENTOS USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO IMPORTA ORDEM NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO NÃO IMPORTA ORDEM FORMULÁRIO Pn = n!

No campeonato mundial de Fórmula 1 de 2009, participaram 25 pilotos, dos quais se destacaram o inglês Jenson Button, que foi o campeão, o alemão Sebastian Vettel, que foi o vice-campeão e o brasileiro Rubens Barrichello, que ficou com a terceira colocação. Obviamente o agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel, Rubens Barrichello ) difere do agrupamento ( Sebastian Vettel, Jenson Button, Rubens Barrichello ), pois neste caso a ordem no grupo é um fator que o diferencia. Se ao invés do brasileiro Rubens Barrichello, o terceiro colocado tivesse sido o australiano Mark Webber, o agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel, Mark Webber ) seria distinto do agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel, Rubens Barrichello ), pois teríamos participantes diferentes nestes agrupamentos.

Arranjo Simples Em casos como este, com elementos distintos, onde tanto a ordem de posicionamento no grupo, quanto a natureza dos elementos, os elementos em si, causam diferenciação entre os agrupamentos, estamos diante de um caso de arranjos simples. Considerando-se os 25 pilotos participantes, qual o número total de possibilidades para os três primeiros colocados? Para o campeão teríamos 25 possibilidades. Para o vice-campeão e para o terceiro colocado, teríamos respectivamente 24 e 23 possibilidades. Pelo princípio fundamental da contagem teríamos: 25 . 24 . 23 = 13800 Isto é, 13800 possibilidades.

Exemplos Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO? Neste exemplo temos um arranjo simples com 8 elementos agrupados 8 a 8. Calculemos então A8, 8: Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno? Como o campeonato possui dois turnos, os jogos Equipe A x Equipe B e Equipe B x Equipe A tratam-se de partidas distintas, então estamos trabalhando com arranjos simples onde importa a ordem dos elementos. Devemos calcular A10, 2: Então: Podem ser realizados 90 jogos entre os times participantes.

Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados? Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chegada é um fator diferenciador dos agrupamentos. Como temos 7 corredores e queremos saber o número de possibilidades de chegada até a terceira posição, devemos calcular A7, 3:

Uma conceituada escola de idiomas está realizando uma promoção onde você escolhe três cursos, dos cinco disponíveis, e paga apenas 2/3 do valor da mensalidade de cada um dos cursos escolhidos. Podemos facilmente perceber que alguém que tenha escolhido os cursos de inglês, espanhol e alemão, fez as mesmas escolhas que outro alguém que tenha escolhido alemão, inglês e espanhol, por exemplo, pois a ordem dos cursos de idioma em si, não gera distinção entre uma escolha e outra. Se alguém escolheu inglês, espanhol e alemão e outra pessoa escolheu inglês, espanhol e francês, também claramente podemos perceber que se tratam de escolhas distintas, pois nem todos os cursos que uma pessoa escolheu, são os mesmos escolhidos pela outra pessoa. Considerando-se os 5 idiomas disponíveis, qual o número total de possibilidades se escolhermos três idiomas de cada vez? Neste caso do curso de idiomas, podemos obter o número total de possibilidades, calculando inicialmente o arranjo simples A5, 3:

Só que fazendo assim, estamos considerando distintos, os agrupamentos ( inglês, espanhol, alemão ) de ( espanhol, inglês, alemão ), por exemplo, e de todas as suas permutações. Como sabemos, a permutação de 3 elementos, P3 é igual a 3!, que é igual a 6, portanto se dividirmos 60 por 6, estaremos eliminando as ocorrências duplicadas em função da mera mudança de ordem dos elementos. Assim sendo, 60 : 6 = 10. Portanto o número de opções possíveis é igual a 10.

Combinação Simples Este exemplo é o típico caso, onde agrupamentos com elementos distintos, não se alteram mudando-se apenas a ordem de posicionamento dos elementos no grupo. A diferenciação ocorre apenas, quanto à natureza dos elementos, quando há mudança de elementos. Neste caso estamos tratando de combinação simples. Fórmula da Combinação Simples Ao trabalharmos com combinações simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula: Ao utilizarmos a fórmula neste nosso exemplo, temos:

Exemplos Com 12 bolas de cores distintas, posso separá-las de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco? Como a ordem das bolas não causa distinção entre os agrupamentos, este é um caso de combinação simples. Vamos então calcular C12, 4:

Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os tipos de sorvete disponíveis? Os sorvetes de umbu com siriguela e de siriguela com umbu, na verdade tratam-se de um mesmo tipo de sorvete, não havendo distinção apenas pela ordem da escolha das frutas utilizadas. Temos um caso de combinação simples que será resolvido através do cálculo de C7, 2:

n = 8 “total” A C p = 2 “usa” Corda AC = CA COMBINAÇÃO USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO  ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS  COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 01) ( UFSC ) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é: n = 8 “total” A C p = 2 “usa” Corda AC = CA COMBINAÇÃO

EX:1:Quantos números de 5 algarismos distintos formamos com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? Ex:2: Um anagrama é um código formado pela transposição (troca) de todas as letra de uma palavra, podendo ou não ter significado na língua de origem. Por ex., BOCA e ABOC são anagramas da palavra CABO. Considere , agora, a palavra LIVRO. Quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra? Quantos deles começam por L e terminam por O? Quantos contêm as letras RO juntas e nessa ordem?

Permutações com elementos repetidos USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO ( trocar de lugar)  ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS  COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem Permutações com elementos repetidos Permutações com elementos repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento) Pn(a,b,c,...) = n! / a!b!c!...

USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO  ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS  COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 04) Determine o número de anagramas da palavra CARCARÁ (não considere o acento)

n = x “total” p = 2 “usa” COMBINAÇÃO USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO  ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS  COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 06) Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 28. O número de pessoas presentes à reunião é: n = x “total” p = 2 “usa” José – Carlos Carlos – José COMBINAÇÃO 56 = x2 - x x2 – x – 56 = 0 x = 8

1. Quantas equipes de 2 astronautas, podem ser formadas com 20 astronautas? 4. Quantas equipes diferentes de vôlei podem ser escaladas, tendo à disposição 10 meninas que jogam em qualquer posição? 

USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO  ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS  COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 07) ( UEL-PR ) Seis gremistas e um certo número de colorados assistem a um Grenal. Com o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma única vez, e todos os gremistas cumprimentam-se entre si uma única vez,havendo no total 43 cumprimentos. O número de colorados é: x2 – x =56 x2 – x – 56 = 0 x = 8

ou  + e  x F F V ARRANJO  P.F.C F 8 7 6 =336 USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO  ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS  COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 08) ( UFSC ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 04. Numa sala estão 5 professores e 6 alunos. O número de grupos que podemos formar, tendo 2 professores e 3 alunos, é 30. 01. A equação = 12 não possui solução. ou  + e  x F F x(x – 1) = 12 x2 – x – 12 = 0 x1 = 4 ou x2 = – 3 (não serve). 08. Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no Mundial de Natação, em Roma 2009, participaram: Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais poderiam ter sido distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze são em número de 56. 02. Com a palavra CAJU podemos formar 24 anagramas Pn = n! V P4 = 4! = 24 ARRANJO  P.F.C F 8 7 6 =336

F F F V 09) ( UFSC-2009 ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros. 02. Entre os anagramas da palavra ÁGUA, 6 começam por consoante. (não considere o acento) 04. A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferência podem ser feitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos. 08. O total de números pares que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 2, 5, 5, 5 e 6 é 180. F F F Terminados em 2  TOTAL: 180 V Terminados em 6

1) Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas 1) Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila? 2) As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de 5, para que elas arrecadem prendas para a quermesse da fazenda onde vivem. De quantas maneiras as crianças poderão ser agrupadas? 3)Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra ARARA? 4)Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo colocá-las em um tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical. De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas?