Mecânica Quântica Rudimentos Fonte: Chuang-Nielsen Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000 Francisco M. de Assis Doutor, UFCG Objetivos: Apresentar os princípios da MQ com exemplos de apoio Emaranhamento, fontes quânticas, entropia Projeto QUANTA GEPOTI/QUANTA

Mecânica Quântica? Analogia Programas <-> QED (específico) Gravitação Newton Sistema operacional <-> QM Leis de movimento Vamos aceitá-la como uma coleção de quatro postulados que formam as regras básicas para a descrição de qualquer sistema físico!

A mais bem sucedida! Não há registro de falha em nenhuma previsão da QM! Nielsen: a teoria do tudo será quântica Aspecto conceitual: problema da medição Teoria da gravitação quântica

A estrutura da QM Álgebra linear Notação de Dirac Quatro postulados: 1. Representação de um sistema fechado: “vetores de estado” e “espaço de estados” 2. Dinâmica dos sistemas quânticos: “evolução unitária” 3. Representação das medições quânticas: “medições ou operadores projetivos” 4. Representação de sistemas compostos “produtos tensoriais”

(sistemas quânticos com 2 níveis) Exemplo: qubit (sistemas quânticos com 2 níveis) fótons spin de partículas etc “Normalização” base computacional “All we do is draw little arrows on a piece of paper - that's all.” - Richard Feynman

Postulado 1 Associado com qualquer sistema quântico existe um espaço vetorial complexo (espaço dos estados), Cd. O estado de um sistema quântico é um vetor unitário no espaço dos estados Exemplo: qubits com estados em C2. A MQ não especifica estados de sistemas específicos. Uma teoria específica deve ser usada para tanto.

Notação bra-ket Qudit

Representação matricial: Dinâmica: um exemplo NOT quântico: Qubit entrada Qubit saída Representação matricial: A evolução de um sistema quântico fechado pode ser Representada por uma matriz unitária

Matrizes unitárias A é matriz unitária se: Conjugação hermitiana Notação comum: U para matriz unitária Exemplo

Postulado 2 A evolução de um sistema quântico é representada por uma transformação unitária

Observação: transformação unitárias preservam a normalização Por que unitárias? Observação: transformação unitárias preservam a normalização Sendo

Portas de Pauli

Exercício : verifique que XY=iZ Exercício: verifique que X2=Y2=Z2=I

“Medições na base computacional” Medição de um qubit Não é possível determinar os valores de Mas é possível obter informação (limitada) sobre estes valores por meio de “Medições na base computacional” A medição “colapsa” o estado do qubit para um dos estados da base computacional com probabilidades P(0), P(1) respec.

Medição de um qubit

Medidas: caso mais geral para um dos estados A medida provoca o colapso do estado da base computacional. Isto é tudo…

Exemplo

Postulado 3 A medição do estado na base computacional resulta na observação do resultado j (o sistema permanece doravante no estado j) com probabilidade Observe que o ato de medir “perturba” ou “colapsa” o sistema para um determinado estado definitivamente!

Dispositivo de medição O problema da medição Sistema quântico Dispositivo de medição Resto do Universo ? Os postulados 1 and 2 Postulado 3 Pesquisa: resolver o problema da medição…

Sistema de múltiplos qubits Medição na base computacional: Estado para n qubits: Observe que são necessários O(2^n) bits clássicos para representar um estado quântico de n qubits! “Hilbert space is a big place” - Carlton Caves

Propriedades do produto tensorial Postulado 4 O espaço de estados de um sistema quântico composto é o produto tensorial dos espaços de estados dos sistemas componentes Exemplo: é o espaço dos estados de sistemas com dois qubits Propriedades do produto tensorial

Algumas conseqüências do Postulado 4 Se Alice prepara seu sistema no estado e Bob no estado o estado conjunto será Conversamente, se o estado conjunto é então o sistema de Alice está no estado e o sistema de Bob está no estado Observe que independe da fase global: Alice aplicar o operador U ao seu sistema é equivalente a aplicar ao sistema em conjunto Lembrar que

Exemplos Suponha que a porta X (NOT) é aplicada ao segundo qubit (Bob) quando o estado conjunto é O estado resultante é Exercício: um sistema com dois qubits encontra-se no estado sendo submetido a uma operação X no segundo qubit e uma medição na base computacional. Determine as probabilidades das observações que podem ocorrer…

Emaranhamento quântico Bob Alice Recall that entanglement involves two or more separated parties, (picture) who, for convenience, I’ll call Alice and Bob, although of course, any labels will do. Imagine that Alice and Bob each have possession of a spin one half particle, (pictures) and that the joint system is in the state which is an equal superposition of up up and down down. (picture) A little undergraduate algebra shows that this apparently innocuous state has the remarkable property that it cannot be written as a product of states of Alice’s system alone with Bob’s system alone. Thus, in some sense, this quantum system cannot be understood in terms of its components, but rather must be understood as a single, indivisible entity. Erwin Schroedinger, who first explicitly pointed this property of entanglement out, was so impressed by it that he commented (picture) that he would not call entanglement one, but rather the characteristic trait of quantum mechanics, the one that enforces its entire departure from classical lines of thought. Schroedinger (1935): “I would not call [entanglement] one but rather the characteristic trait of quantum mechanics, the one that enforces its entire departure from classical lines of thought.”

Resumo Postulado 1: um sistema quântico é representado por um espaço vetorial complexo com produto interno (espaço dos estados) Postulado 2: A evolução de um sistema quântico isolado é descrito por uma transformação unitária Postulado 3: uma medida de um estado realizada na base resulta no estado j com probabilidade Postulado 4: O espaço dos estados de um sistema físico composto é o produto tensorial dos espaços dos sistemas componentes

Emaranhamento = Recurso Físico Exemplo: Codificação Superdensa Welcome, everybody, to the University of Queensland’s Quantum Information and Computation Summer School. The goal of the school is to give

Codificação Superdensa Alice Bob ab Alice pode transmitir 2 bits clássicos se dispõe de apenas 1 qubit? Sim! A codificação superdensa envolve A e B, desta vez com a tarefa de transmissão de informação clássica de A para B, o objetivo é transmitir informação clássica de A para B. Alice tem dois bits clássicos para transmitir. ab Dispositivo de medição

Codificação Superdensa Alice Bob ab ab

Exercício Suponha que o estado inicial compartilhado por Alice e Bob seja agora Será ainda possível implementar um protocolo de codificação superdensa? Solução: aplicando as operações I, Z, X e XZ ao vetor |psi> obtem-se uma base de Bell… Aplicando as operações I, Z, X e XZ resulta numa base de Bell portanto o estado inicial pode ser compartilhado para codificação superdensa

? Ciência da Informação quântica: arcabouço para o estudo de sistemas quânticos complexos Processos Quânticos algoritmo de Shor teletransporte ? comunicação capacidade de canais quânticos com múltiplos usuários teoria do emaranhamento criptografia Correção de erros quânticos Complexidade

Fontes clássicas e quânticas Exemplo: “Fonte binária quase-clássica com probabilidade com probabilidade Exemplo: “Fonte binária quântica” com probabilidade com probabilidade Definição geral: DMSQ Uma fonte de informação quântica produz estados com probabilidades pj

Entropia de Von Neumann Fonte binária quase-clássica: Fonte quântica binária (legítima): Agora usando a entropia de Von Neumann Em geral portanto pode se esperar maior compressão.

Subespaço Típico Exemplo: Seqüências não Típicas Seqüências Típicas Subespaço típico é gerado por

Compressão de dados de Schumacher Mede estado para verificar em que subespaço típico está (projetores P) Q = I - P Transf. Unit. Shumacher: EF=1

Compressão de Schumacher medida: 0

O Projeto QUANTA - CNPq Grupo de Informação e Computação Quântica Aércio Ferreira de Lima, DF/UFCG Bernardo Lula Júnior, DSC/UFCG Francisco Marcos de Assis, DEE/UFCG Grupo de Comunicações Quânticas Rubens Vianna Ramos DETI/UFC

Desenvolvimento de um sistema de comunicações Objetivos Gerais Desenvolvimento de um sistema de comunicações quântico inviolável Eva Canal clássico Canal quântico Bob Alice

Diagrama do sistema quântico Diodo Laser + Atenuador Óptico Ajustável Controle Fibra óptica + Acopladores Ópticos Controle Bob Fonte de Fótons Isolados Polarizador Defasador de fase Receptor de Fótons Isolados Canal Quântico Alice Fotodiodo APD + Amplificador Controle

Proposição dos protocolos Etapas do Projeto Proposição dos protocolos Softwares de controle e comunicação do experimento (DSC/UFCG) Protocolo para autenticação quântica de mensagens clássicas (DEE/UFCG) Aspectos experimentais Montagem e teste: fonte de fótons isolados, interferômetro óptico e receptor de fótons isolados. (DF/UFCG e DETI/UFC) Análise da segurança do sistema montado Inserção do sistema em redes de comunicação existentes

Esquemas clássicos de autenticação Código de Autenticação de Mensagem (MAC) Funções Hash Segurança Computacional Informacional (Teórica ou Incondicional) Esquemas c/ segurança informacional Wegman e Carter – 1981 Segurança computacional X Computador quântico Subgrupo escondido (fatoração, log discreto, índice)

Autenticação quântica de mensagens clássicas Curty e Santos (2001) – Comprimento Unitário Associa Chave secreta: par EPR maximamente emaranhado Alice - Para enviar o bit i: Prepara e aplica a operação unitária em Estado do sistema (Alice + Bob + Mensagem) Continua ...

Autenticação quântica de mensagens clássicas Bob - Para checar a autenticidade Faz medições ortogonais na base Autêntica se o resultado for Requer tecnologia inexistentes Pesquisa: Descrever um protocolo de autenticação quântica de mensagens clássicas que exija apenas preparação, transmissão e medição de estados quânticos de bases ortonormais (ex. Z e X )