“Análise de Padrões Gradientes de Deformações Topológicas em Variedades Dinâmicas” Cristiane P. Camilo*, Reinaldo R. Rosa*, Nandamudi Vijaykumar*, Fernando M. Ramos* e Marcelo Rebouças** * Núcleo para Simulação e Análise de Sistemas Complexos (NUSASC) Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada (LAC) Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) São José dos Campos – SP **Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF) Rio de Janeiro – RJ

1 Objetivo: Caracterização da resposta local devido à deformação topológica em variedades dinâmicas extensas. Neste trabalho nós apresentamos uma variedade dinâmica 2D baseada em uma função escalar Laplaciana em uma superfície triangular. Essa superfície é dividida em duas classes de regiões: (a)onde uma deformação local máxima ocorre e (b)onde o efeito desta deformação alcança. A aplicação da análise de padrões gradientes nestas regiões para uma oscilação com dois modos em uma superfície Laplaciana, mostra que a deformação topológica é detectável por meio da caracterização da quebra de simetria local da variedade. Nós discutimos e apresentamos também a detectabilidade da deformação em variedade não trivial e sua aplicação para caracterização das deformações devido à torções no campo gravitacional.

{(t): 0t<T}  Compacto suave fechado. 2 O que são problemas de variedades dinâmicas com deformações topológicas? São problemas de contorno livre para um: {(t): 0t<T}  Compacto suave fechado. Com curvatura média k e velocidade normal V que obedecem a relação: V = k Onde:   Operador de Laplace - Beltrami e k  Independe da orientação. Assumindo-se que  uma solução suave para (1) e fazendo A(t) denotar a área de , definimos uma função A(t) suave com derivada temporal dada por: onde o || é computado com respeito a métrica de (1) (1) (2) (1) Mayer, U. F. Comp. And Applied Mathematics. 20:3 (2001)

3 Exemplos: (*,t) Figura 1 – Exemplos de variedades dinâmicas e suas possíveis deformações.

A pergunta fundamental: 4 A pergunta fundamental: “Para uma dada deformação global em uma variedade , como podemos caracterizá-la (detectá-la) a partir de uma região distante da máxima deformação?” Um estudo sobre essa caracterização é feito através da análise dos padrões gradientes gerados localmente. A figura a seguir mostra dois exemplos de deformação oscilatória de uma superfície Laplaciana

(a) com 1 modo de amplitude e (b) com 2 modos de amplitude. deformação local deformação global 5 Conceito de modo de amplitude: “Identifica os níveis de amplitude, considerando a quantidade de máximos e mínimos da estrutura” Figura 2. Exemplo de deformação oscilatória de uma superfície Laplaciana (a) com 1 modo de amplitude e (b) com 2 modos de amplitude.

Análise de Padrões Gradientes: 6 Análise de Padrões Gradientes: Dada uma matriz M temos as seguintes operações: 1.  M 2. A M   3. Td []  L Pontos I Linhas As possíveis deformações são computadas através do parâmetro de fragmentação assimétrica, dado pela seguinte equação (2): g3 = onde g3 é o terceiro momento gradiente extraído da matriz M* (3) 1 - Com V vetores, caracterizando a variação espacial de intensidade pixel a pixel; 2 - São removidos os pares de vetores simétricos, permanece o campo gradiente assimétrico. Este será transformado num campo escalar , onde cada ponto nesse escalar corresponde ao ponto médio de cada vetor; 3 - Corresponde a quantidade de lados do total de triângulos. * todo M pode ser representado por 3 momentos gradientes, na forma: M= g1eig2 g3 (2) R. R. Rosa, A. S. Sharma, J. A. Valdivia, Physica A 257:509 (1998) R. R. Rosa, A. S. Sharma, J. A. Valdivia, Int. J. Mod. Phys. C 10(1):147 (1999)

Aplicação em Variedades Protótipos: 7 Aplicação em Variedades Protótipos: Vibração oscilatória com dois modos: Membrana com 6 exemplos de sítios de operação local: Figura 3. Vibração oscilatória com 2 modos de amplitude em tripleto. Figura 4. Exemplos de sítios de operação.

Estudo da variabilidade do terceiro momento gradiente: 8 Estudo da variabilidade do terceiro momento gradiente: Figura 5. Valores de g3 para cada sítio de operação - azul: membrana com mínima deformação, vermelho: membrana com máxima deformação.

9 Dinâmica de campo gravitacional sobre topologia Garrafa de Klein. Modelo 2-D - Farrar - Melott(3) Figura 6 – Figuras (a) e (b), exemplos de padrões que surgem através de torções no campo gravitacional. (3) Farrar K. A.; Melott, A. Computers in Physics, 4:185 (1990)

Teste de sensibilidade do terceiro momento gradiente (g3): 10 Teste de sensibilidade do terceiro momento gradiente (g3): (a) (b) (c) Figura 7 – Figura (a) imagem sem deformação  = 0, (b) imagem com mínima deformação e parâmetro de deformação  = 0,2 e (c) imagem com máxima deformação e  = 1. Para o teste de sensibilidade, calculamos g3 nas 5 sub-matrizes em cada uma das imagens (100x100) acima (sítios de operação), com as seguintes dimensões: 25x25, 20x20, 15x15, 10x10 e 5x5, localizados nas extremidades de cada, os resultados são mostrados a seguir:

Figura 8 – Resultados do teste de sensibilidade. 11 Resultados: (a) Sub-matriz 25x25 (b) Sub-matriz 20x20 (c) Sub-matriz 15x15 (d) Sub-matriz 10x10 (e) Sub-matriz 5x5 Figura 8 – Resultados do teste de sensibilidade.

12 Conclusão: A partir dos estudos realizados, verificamos que o momento gradiente g3 é localmente sensível à deformação global (mínima e máxima, figura 5). Notamos que as deformações locais não são homogêneas, pois dependem da sua localização com relação ao tipo de deformação global, e sensível a deformação de estruturas localizadas, como podemos observar na seqüência de resultados da figura 8, principalmente para as sub-variedades 25x25, 20x20 e 15x15. Para as escalas inferiores, o momento gradiente é sensível à deformação, mas não aos padrões de amplitude. Portanto, sua aplicação em padrões topológicos gerados por modelos gravitacionais, restringe-se a raios de aspecto até 10% da escala global.