Profa. Graziela Santos de Araújo Algoritmos e Programação II, 2010 Recursão Profa. Graziela Santos de Araújo gsa@facom.ufms.br www.facom.ufms.br/~gsa Algoritmos e Programação II, 2010

Motivação Conceito fundamental em computação Programas elegantes e mais curtos Equivalência entre programas recursivos – não-recursivos Memória

Recursividade A definição de recursividade (recursão) aplica-se a funções e procedimentos. Por isso, vale (re)lembrar os seus conceitos: Função: é um módulo que produz um único valor de saída. Ela pode ser vista como uma expressão que é avaliada para um único valor, sua saída, assim como uma função em Matemática. Procedimento: é um tipo de módulo usado para várias tarefas, não produzindo valores de saída. Como a diferença entre função e procedimento é sutil, utilizaremos os termos funções e procedimentos de forma indiscriminada durante o curso.

Recursividade Até agora, foram vistos exemplos de procedimentos chamados genericamente de iterativos. Recebem este nome pois a repetição de processos neles inclusos fica explícita, através do uso de laços. Um exemplo de procedimento iterativo, para cálculo do fatorial de um número n, pode ser visto a seguir: 01 Função Fatorial (n) 02 fat 1 03 para i 1 até n faça 04 fat  fat * i 05 fim para 06 retorna fat 07 fim função

Recursividade Alguns problemas têm uma estrutura recursiva: cada entrada do problema contém uma entrada menor do mesmo problema Estratégia: se a entrada do problema é pequena então resolva-a diretamente; senão, reduza-a a uma entrada menor do mesmo problema, aplique este método à entrada menor e volte à entrada original. Algoritmo recursivo, programa recursivo, função recursiva Uma função recursiva é aquela que possui uma ou mais chamadas a si mesma (chamada recursiva)

Recursividade Toda função deve possuir ao menos uma chamada externa a ela. Se todas as chamadas à função são externas, então a função é dita não-recursiva Em geral, a toda função recursiva corresponde uma outra não- recursiva equivalente Correção de um algoritmo recursivo pode ser facilmente demonstrada usando indução matemática A implementação de uma função recursiva pode acarretar gasto maior de memória, já que durante o processo de execução da função muitas informações devem ser guardadas na pilha de execução

Dado um número inteiro n ≥ 0, computar o fatorial n!. Exemplos Problema: Usamos uma fórmula que nos permite naturalmente escrever uma função recursiva para calcular n! : Dado um número inteiro n ≥ 0, computar o fatorial n!. n! = 1 , se n ≤ 1 n x (n-1)! , caso contrário

Exemplos – Solução 1 /* Recebe um número inteiro n ≥ 0 e devolve o fatorial de n */ função fat (inteiro n) inteiro result se n ≤ 1 então result  1 senão result  n * fat(n-1) retorna result fim função

Exemplos – Solução 2 /* Recebe um número inteiro n ≥ 0 e devolve o fatorial de n */ fat(3) fat(2) função fat (inteiro n) se n ≤ 1 então retorna 1 senão retorna n * fat(n-1) fim função fat(1) devolve 1 devolve 2x1 = 2 x fat(1) devolve 3x2 = 3 x fat(2)

Exemplos Os procedimentos recursivos possuem uma descrição mais clara e concisa, fazendo com que o código do programa que o implemente seja “enxuto”. Por outro lado, os programas que implementam procedimentos recursivos tendem a ser mais custosos (em termos de memória e tempo) que aqueles que implementam a versão iterativa correspondente. Além disso, a depuração de programas recursivos é um pouco mais complicada que a de programas iterativos.

Exemplos Problema: Dado um número inteiro n > 0 e uma seqüência de n números inteiros armazenados em um vetor v, determinar um valor máximo em v.

Exemplos /* Recebe um número inteiro n > 0 e um vetor v de números inteiros com n elementos e devolve um elemento máximo de v */ função maximo(inteiro n, inteiro v[MAX]) inteiro aux se n = 1 então retorna v[1] senão início aux  maximo(n-1, v) se aux > v[n] então retorna aux retorna v[n] fim senão fim função

Corretude Como verificar que uma função recursiva está correta? Passo 1: escreva o que a função deve fazer; Passo 2: verifique se a função de fato faz o que deveria fazer quando a entrada é pequena; Passo 3: imagine que a entrada é grande e suponha que a função fará a coisa certa para entradas menores; sob essa hipótese, verifique que a função faz o que dela se espera.

Recursividade Ao conceito de recursividade está relacionado o conceito de indução . A indução permite determinar a corretude de um procedimento recursivo.

Recursividade A indução é um método de prova matemática que permite a generalização de uma propriedade a partir de instâncias particulares onde ela pode ser verificada. A indução pode ser usada para demonstrar a veracidade de um número infinito de proposições. Seja P(n) uma propriedade que tenha como parâmetro um número natural n. Para provar que P é válida para todos os valores de n, devemos provar que: 1. Passo base: P é válida para n = 1; 2. Passo indutivo: Para todo n > 1, se P é válida para n − 1, então P é válido para n.

Recursividade Ex: Provar, por indução, a seguinte fórmula: P(n) = 1+2+3+4+· · ·+n = n(n+1)/2 1. Passo base: Provar que P é valida para n = 1. Fazendo a substituição do n na fórmula por 1, chegamos a 1 = 1.(1+1)/2 1 = 1 e está provado.

Recursividade 2. Passo indutivo: Para todo n>1, se P é valida para n – 1, então P é válido para n. Suponha que P é válida para n-1. Então podemos afirmar que: 1+2+3+...+(n-1) = Com base no passo indutivo, vamos provar por que P vale para n. 1+2+3+...+(n-1) + n

Recursividade No caso do algoritmo para cálculo do fatorial de um número, por exemplo, poderíamos provar a sua corretude, utilizando a prova por indução, da seguinte forma: 1. Passo base: Provar que o algoritmo funciona para n=0. Como o algoritmo devolve 1 nesse caso, que é exatamente o valor de 0!, ele funciona para o caso em que n=0; função fat (inteiro n) se n ≤ 1 então retorna 1 senão retorna n * fat(n-1) fim função

Recursividade Cálculo do fatorial de um número 2. Passo indutivo: Para todo n>1, se o algoritmo funciona para n−1, então ele funciona para n. Supondo que o algoritmo funciona para n−1, e observando que o valor de n! corresponde a n × (n − 1)!, ele funciona para n.

Recursividade Vamos provar a corretude da função maximo utilizando a prova por indução (na quantidade de elementos n do vetor). Proposição: A função maximo encontra um maior elemento em um vetor v com n ≥ 1 números inteiros. 1. Passo base: Se n=1, o maior elemento é o da posição 1.

Recursividade 2. Passo indutivo: Suponha que para qualquer valor inteiro positivo m < n a função compute corretamente maximo(m, v) . Suponha agora que temos um vetor v contendo n > 1 números inteiros. Chamada externa maximo(n, v) , com n > 1. A função executa: aux  maximo(n-1, v); Por hipótese de indução, aux contém um valor máximo para os n−1 primeiros valores do vetor v. Então, a função decide quem é maior: aux ou v[n] .