Modelagem da Histerese Magnética UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Modelagem da Histerese Magnética Meu nome é Ana Margarida de Oliveira, eu estou desenvolvendo meu doutorado sob a orientação do Professor Patrick Kuo-Peng e co-orientação do Professor Nelson Sadowski no GRUCAD. O título do trabalho é “Modelagem de Máquinas Elétricas e seus Circuitos Elétricos Associados Utilizando o Método de Elementos Finitos 2D”. Jean Vianei Leite Curitiba , abril de 2010.

Magnetização de saturação MS Modelo de JA - Parâmetros Parâmetros do Modelo – Ms, k, c, a,  Magnetização de saturação MS Influência na magnetização máxima e a remanente O campo coercitivo sofre pouca alteração

Modifica a forma do laço, tornando-o mais ou menos inclinado. Modelo de JA - Parâmetros Parâmetro a Advém da teoria de Langevin, está associada aos momentos magnéticos e à temperatura. Modifica a forma do laço, tornando-o mais ou menos inclinado.

Deduzido das considerações a respeito Modelo de JA - Parâmetros Parâmetro k Deduzido das considerações a respeito do bloqueio das paredes dos domínios Influência na magnitude do campo coercitivo

Da teoria de Langevin,  está relacionado Modelo de JA - Parâmetros Parâmetro  Da teoria de Langevin,  está relacionado às interações entre os domínios Modifica a retangularidade do laço e a magnitude da indução remanente

Parâmetro da reversibilidade da magnetização. Modelo de JA - Parâmetros Parâmetro c Parâmetro da reversibilidade da magnetização.

DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS A PARTIR UM LAÇO EXPERIMENTAL DE HISTERESE O cinco parâmetros do modelo de Jiles-Atherton podem ser obtidos de um laço experimental de histerese do material. Jiles et alii propõem um algoritmo para obtenção dos parâmetros a partir das susceptibilidades em regiões distintas da curva de histerese e dos valores de campo coercitivo e magnetização remanente, além da magnetização máxima experimentada pelo material. Outros metodologias propõem métodos de minimização de erro ajustando o conjunto de parâmetros até o modelo seguir a curva experimental.

Modelo de JA - Obtenção dos Parâmetros Obtenção dos parâmetros do modelo – Método de Jiles Os cinco parâmetros do modelo são obtidos de um único laço experimental, o qual tenha atingido a saturação. Jiles propõe um algoritmo baseado em pontos chaves do laço.

Modelo de JA – Obtenção do parâmetros Para a obtenção dos parâmetros, as equações anteriores necessitam ser resolvidas simultaneamente. As equações são não lineares e complexas, as suas derivadas são complexas também. Há a necessidade de uso um método linear baseado nos dois valores mais recentes da função. O método das Secantes é geralmente utilizado (Newton-Raphson torna-se complicado para trabalhar com as derivadas).

Modelo de JA – Obtenção do parâmetros Um algoritmo usando o método das Secantes é apresentado a seguir. Uma iteração é mostrada. Cálculo de k

Modelo de JA – Obtenção do parâmetros 2. Cálculo de  Método das Secantes para calcular

Modelo de JA – Obtenção do parâmetros 3. Cálculo de a Método das Secantes para calcular a

Modelo de JA – Obtenção do parâmetros 4. Cálculo de c O procedimento é repetido até que uma determinada precisão seja obtida.

Obtenção dos Parâmetros – Análise do Algoritmo Pequenas variações nas susceptibilidades, magnetizações e campos retirados da curva medida levam a significativos desvios na obtenção do conjunto de parâmetros. Conjunto de dados imprecisos podem levar o algoritmo a divergir. Outra dificuldade é a curva de magnetização inicial, necessária para levantar a susceptibilidade inicial. Assim necessita-se de um sistema para levar o material a estar totalmente desmagnetizado.

Obtenção dos Parâmetros – Métodos Alternativos O algoritmo anterior é complexo, composto por um sistema de equações interdependentes. A precisão necessária no levantamento dos parâmetros pode ser evitada utilizando métodos de ajuste da curva medida e o modelo através de algoritmos que minimizem o erro médio entre as curvas modelada e medida (MSE).

Obtenção dos Parâmetros – Variação Sequencial dos Parâmetros No método de minimização do erro entre as curvas, a precisão necessária para levantar os pontos chaves é evitada. Neste método, os parâmetros são variados seqüencialmente dentro de um limite específico. O modelo utiliza o conjunto de parâmetros obtido para calcular um novo laço de histerese. O programa então calcula o erro médio entre as curvas obtida e medida.

Obtenção dos Parâmetros – Variação Sequencial dos Parâmetros Observando a evolução do erro médio quadrático entre as duas curvas, o algoritmo, através da malha de controle, decide se a variação dada aos parâmetros foi efetiva no sentido de diminuir o erro médio quadrático. O algoritmo pode variar os parâmetros novamente e repetir o procedimento até que um erro mínimo permitido seja obtido.

Obtenção dos Parâmetros – Variação Sequencial dos Parâmetros O uso do modelo inverso melhora a convergência do algoritmo apresentado uma vez que usa a indução como variável independente (a indução é filtrada naturalmente pela integração).

Obtenção dos Parâmetros – Algoritmos Genéticos Outra metodologia usada para a obtenção dos parâmetros é a técnica de Algoritmos Genéticos (AG); AG são mais rápidos que a variação sequencial dos parâmetros e os parâmetros obtidos permitem uma boa concordância entre os laços medidos e calculados. Conjunto inicial de 5 parâmetros

Obtenção dos Parâmetros – Algoritmos Genéticos Obtenção de Parâmetros usando EXCEL

Comparação entre Modelo Inverso e Direto Comparações entre os modelos direto e inverso em cascata, mostraram serem os mesmo equivalentes. Ao final das simulações as ondas encontradas eram exatamente iguais, em fase e amplitude àquelas usadas na entrada.

Problema de laços internos e menores Parâmetros bons para o laço externo podem não ser bons para os laços internos. Laços menores não fisicos.

Escalonamento Para Laços Internos e Menores Apesar do modelo de Jiles-Atherton possuir ótima concordância para os laços maiores o mesmo não é observado nos laços internos de indução. Jiles e Atherton modificam a teoria do ferromagnetismo para ajustar os laços menores e internos, utilizando um fator de escala. Nessa metodologia as equações necessitam de um prévio conhecimento de onde ocorrerá um ponto de inversão. Os campos são calculados através de equações transcendentais nos extremos dos laços. Carpenter apresenta um método similar de ajuste, porém utilizando equações diferenciais.

Escalonamento Para Laços Internos A equação do balanço de energia de Jiles em termos da Indução magnética efetiva Be é: onde é a função de Langevin A solução homogênea é: Constante

Escalonamento Para Laços Internos A solução particular é dada por: onde L(n)(x) é a n-ésima derivada de L(x). A solução homogênea representa a curva de magnetização inicial da curva. A solução particular representa o laço externo de magnetização. A magnetização é calculada retendo somente a solução particular, escalonando e deslocando os ramos ascendente e descendente.

Escalonamento Para Laços Internos M / MS Ms Mi Mp(Bei) Bei Be /a O fator de escala  necessário para fazer o valor da saturação do laço menor igual ao do maior, no ponto (Mi, Bei) é:

Escalonamento Para Laços Internos O offset que deverá ser somado será: Para a trajetória de de um laço menor na direção , começando no ponto (Mi, Bei) a magnetização será dada por: Em termos de equação diferencial:

Escalonamento Para Laços Internos Expandindo por série: M / MS Integrando a equação anterior retida no terceiro termo da expansão Be /a

Escalonamento Para Laços Internos Seguindo o trabalho de Lederer o fator de escalonamento foi aplicado a magnetização total: Laços obtidos por integração da equação anterior

Comparação Com Curvas Experimentais Modelo inverso com e sem fator de escalonamento foi comparado com curvas experimentais; As curvas experimentais foram obtidas numa bancada construída para caracterização eletromagnética de materiais e medição de perdas eletromagnéticas; O dispositivo padrão usado foi o transformador de Epstein padrão do tipo B-EP-25cm, com relação de transformação unitária, com 700 espiras, caminho magnético médio de 0,94 m e resistência do primário de 0,691 . A alimentação é feita controlando-se a tensão no secundário, impondo-se assim a indução magnética.

Comparação Com Curvas Experimentais - Equações As grandezas magnéticas B e H foram obtidas através das grandezas elétricas tensão e corrente: Número de espiras Caminho magnético médio Número de espiras Área da seção transversal do transformador

Comparação Com Curvas Experimentais - Materiais Materiais Ensaiados: Material A - Ensaio à 1Hz, 50% das lâminas cortadas no sentido de laminação e 50% cortadas na direção perpendicular; Material B - Ensaio à 1Hz, 100% das lâminas cortadas no sentido de laminação (B 0o); Material B - Ensaio à 1Hz, 100% das lâminas cortadas na direção perpendicular ao sentido de laminação (B 90o); Material B - Ensaio à 1Hz, 100% das lâminas cortadas na direção a 45o ao sentido de laminação (B 45o).

Comparação Com Curvas Experimentais - Material A Material A, caracterizado à 1 Hz, indução de pico de 1,24 T H [A/m] B [T] Modelo Medida Laços calculados com modelo inverso, sem escalonamento B [T] H [A/m] Detalhes das altas induções

Comparação Com Curvas Experimentais - Material A Campo magnético para indução de 1 T t [s] H [A/m]

Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 0o Material B 0o, caracterizado à 1Hz indução de pico de 1,239 T H [A/m] B [T] Modelo Medida Laços calculados com modelo inverso, sem escalonamento H [A/m] t [s] Campo para indução de 0,538 T

Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 0o Aplicando o fator de escalonamento  Modelo Medida H [A/m] B [T] Variação de  com B H [A/m] t [s] Campo com escalonamento para indução de 0,538 T

Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 90o Material B 90o, caracterizado à 1Hz indução de pico de 1,035 T Modelo Medida H [A/m] B [T] Laços calculados com modelo inverso, sem escalonamento H [A/m] t [s] Campo para indução de 0,8 T

Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 90o Aplicando o fator de escalonamento  B [T] H [A/m] B [T] H [A/m] t [s] Campo para indução de 0,8 T

Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 45o Material B 45o, caracterizado à 1Hz indução de pico de 1,258 T B [T] Modelo Medida H [A/m] Curvas calculadas com modelo inverso e medidas

Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 45o Aplicando fator de escalonamento  B [T] Modelo Medida H [A/m] B [T]

Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 45o Realizando nova modelagem agora com indução de 1,004 T Modelo Medida H [A/m] B [T] Laços calculados com modelo inverso, sem escalonamento H [A/m] t [s] Campo para indução de 0,582 T

Circuito RL e RLC A presença de materiais ferromagnéticos, com permeabilidade magnética variável torna indutâncias variáveis; Resolução dos circuitos contendo materiais ferromagnéticos, considerando o fenômeno da histerese através do modelo inverso de Jile-Atherton. lm - caminho magnético médio S - área da seção transversal N - número de espiras Circuito RL

Circuito RL Equação do circuito Transformação para grandezas eletromagnéticas

Cálculo considerando saturação sem histerese. Circuito RL Cálculo considerando saturação sem histerese. Foram considerados os parâmetros do material A. Saturação modelada pela função de Langevin. B [T] H [A/m] Tensão senoidal, 1 Hz e 0,5 V H [A/m] Número de pontos

Saturação modelada pela média da curva de histerese Circuito RL Saturação modelada pela média da curva de histerese H [A/m] B [T] Tensão senoidal, 1 Hz e 0,5 V H [A/m] Número de pontos

Circuito RLC Resposta Livre

Circuito RLC Resposta Livre Laço de histerese do material do núcleo magnético (fictício). B [T] H [A/m] B [T] H [A/m] Langevin e Média

Circuito RLC Resposta Livre Campos, considerando indutor linear, saturação e histerese. H [A/m] t [s]

Conclusão As principais vantagens dos modelos: formulação em termos de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem; necessitam somente de cinco parâmetros. Como desvantagem tem-se: processo de identificação dos parâmetros complexo; comportamento não físico, próximo aos extremos do laço. Programas utilizando modelos apresentam ótima convergência. A aplicação do fator de escalonamento, proposto por Carpenter, não produziu melhora na representação dos laços menores. A boa representação dos laços menores está associada à um bom conjunto de parâmetros, sem necessidade de modificações nas equações do modelo.