Interpolação Introdução Conceito de Interpolação Interpolação Polinomial Formas de obter pn(x) 4.1 Resolução de sistema linear 4.2 Forma de Lagrange 4.3 Forma de Newton

Introdução A tabela abaixo relaciona calor específico da água e temperatura: Temperatura (°C) 20 25 30 35 Calor específico 0.99907 0.99852 0.99826 0.99818 Temperatura (°C) 40 45 50 Calor específico 0.99828 0.99849 0.99878

1. Introdução Vamos supor que desejamos saber: a) o calor específico da água a 32.5°; b) a temperatura para a qual o calor específico é 0.99837. Interpolação

Introdução Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma função g(x), escolhida dentro de uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada no lugar da função f(x).

Introdução Situações de interpolação. Quando temos os valores numéricos de uma função não conhecida para um conjunto de pontos e queremos o valor desta num ponto não tabelado. Quando uma função conhecida em estudo tem uma expressão tal que operações como diferenciação e integração são difíceis (ou impossíveis).

2. Conceito de Interpolação Sejam (n+1) pontos distintos:x0, x1, ..., xn, chamados nós da interpolação, e os valores de f(x): f(x0), f(x1), ..., f(xn). A interpolação de f(x) que veremos consiste em obter uma função g(x) tal que: g(x0) = f(x0), g(x1) = f(x1), g(xn) = f(xn).

2. Conceito de Interpolação Graficamente f(x) g(x) (x4,f(x4)) (x1,f(x1)) (x5,f(x5)) (x3,f(x3)) (x0,f(x0)) f(x) (x2,f(x2)) x0 x1 x2 x3 x4 x5 x

2. Conceito de Interpolação Consideraremos aqui que g(x) é uma função polinomial. Contudo, a função g(x) escolhida pode ser: racional, trigonométrica, etc. Existem outras formas de interpolação, por exemplo via fórmula de Taylor, via polinômios de Hermite, etc.

3. Interpolação Polinomial Dados os pontos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), queremos aproximar f(x) por um polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que f(xk) = pn(xk), k=0,1,2,..., n

3. Interpolação Polinomial Teorema: Existe um único polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que f(xk) = pn(xk), k=0,1,2,..., n desde que

3. Interpolação Polinomial Demonstração do Teorema: Seja . Das condições de interpolação:

3. Interpolação Polinomial Demonstração do Teorema: A matriz dos coeficientes é do tipo Vandermonde, logo desde que sejam pontos distintos, então o determinante da matriz dos coeficientes é não-nulo. Consequentemente o sistema admite solução única. Conclusão: Existem únicos que satisfazem as condições de interpolação.

4. Formas de obter pn(x) Há várias maneiras para obter pn(x). Discutiremos três possibilidades: Resolução de Sistema Linear Forma de Lagrange Forma de Newton

4. Formas de obter pn(x) Resolução de Sistema Linear Exemplo 1: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola os dados da tabela abaixo: Temos então: x -1 2 f(x) 4 1

4.1 Resolução de Sistema Linear Polinômio: Resolvendo o sistema linear, obtemos polinômio que interpola f(x) em x0, x1 e x2

4.1 Resolução de Sistema Linear Nem sempre a resolução do sistema linear para se obter pn(x) é simples e exato. Exemplo 2: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 3 que interpola os dados da tabela abaixo: x 0.1 0.2 0.3 0.4 f(x) 5 13 -4 -8

4.1 Resolução de Sistema Linear Polinômio: Sistema de 4 equações com 4 incógnitas

4.1 Resolução de Sistema Linear Resolvendo por eliminação de Gauss, com uma aritmética de ponto flutuante com três dígitos: Lembrete de aritmética de ponto fixo: b é a base; e é o expoente; e t é o número de dígitos na mantissa.

4.1 Resolução de Sistema Linear Obter p3(x) usando aritmética de ponto flutuante com três dígitos e eliminação de Gauss: Para x=0.4

4.1 Resolução de Sistema Linear Resolvendo por Eliminação de Gauss com 18 dígitos, utilizando o programa do Maple: > with(LinearAlgebra): A := <<1,1,1,1>|<0.1*10^(0),0.2*10^(0),0.3*10^(0),0.4*10^(0)>|<0.1*10^(-1),0.4*10^(-1),0.9*10^(-1),0.16*10^(0)>|<0.1*10^(-2),0.8*10^(-2),0.27*10^(-1),0.64*10^(-1)>>;

4.1 Resolução de Sistema Linear Continuando > b := <5,13,-4,-8>; > GaussianElimination(A); > ReducedRowEchelonForm(<A|b>);

4.1 Resolução de Sistema Linear Note que no processo de eliminação de Gauss, a matriz escalonada tem números muito próximos de zero. Isto gera problemas de arredondamento!!!!

4.2 Forma de Lagrange Sejam (n+1) pontos distintos:x0, x1, ..., xn, chamados nós da interpolação, e os valores de yi= f(xi): f(x0), f(x1), ..., f(xn) para i=1,2,...,n. A interpolação de f(x) que veremos consiste em obter uma função pn(x) tal que: onde os polinômios são de grau n. IMPORTANTE: Como os yi são dados, devemos no Método de Lagrange determinar os .

4.2 Forma de Lagrange Queremos que as condições sejam satisfeitas, ou seja, Solução Note que e

4.2 Forma de Lagrange Logo, Enfim, a forma de Lagrange para o polinômio interpolador é: com

4.2 Forma de Lagrange - Exemplo Seja a tabela: Devemos interpolar os 3 pontos com uma forma de Lagrange. Segue: x -1 2 f(x) 4 1

4.2 Forma de Lagrange - Exemplo Enfim, a forma de Lagrange da interpolação: Mesmo resultado a resolução do sistema linear!!!

4.2 Forma de Newton A forma de Newton para o polinônio pn(x), que interpola f(x) em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn , é a seguinte: No Método de Newton, os valores de são dados por diferenças divididas de ordem k.

4.2 Forma de Newton Operador Diferenças Divididas Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn. O operador diferenças divididas é dado:

4.2 Forma de Newton - Operador Diferenças Divididas Construímos a tabela: x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem n x0 x1 x2 ..... ...... ......... xn

4.2 Forma de Newton Mostra-se que é simétrica nos argumentos, ou seja, Mostra-se que a forma de Newton para o polinômio de ordem n que interpola f(x) é

4.2 Forma de Newton - Exemplo Sejam os dados: Tabela x -1 1 f(x) 2 3 -1 -2 x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 4 -1 F[x0]=1 F[x0,x1]=0 1 F[x0,x1,x2]=-1/2 1/6 -1/24 2 3 -2

4.2 Forma de Newton - Exemplo Dados: A forma de Newton que interpola estes pontos é dada por x -1 1 f(x) 2 3 -1 -2

Exercícios Fazer os seguintes exercícios do capítulo 4 do livro texto: Exercício 2 a Faça o projeto proposto Método de Newton Discreto (página 206) e resolva novamente o exercício 2 a com este algoritmo.