Modelagem e Simulação de Processos - Introdução Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira

INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS

INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS ETAPAS ENVOLVIDAS NA SIMULAÇÃO MATEMÁTICA PROCESSO: unidades ou arranjo de unidades integradas entre si de maneira racional e sistemática (reatores, trocadores de calor, colunas de destilação, colunas de absorção, evaporadores, tanques de aquecimento, tanques de mistura, etc). ANÁLISE: corresponde ao desenvolvimento do modelo matemático através da aplicação dos princípios de conservação de massa, energia e quantidade de movimento, da formulação de hipóteses simplificadoras, condições iniciais e condições de contorno. MODELO: conjunto das equações representativas do processo. INFORMAÇÕES NECESSÁRIAS: valores dos coeficientes (parâmetros) das equações. TÉCNICAS DE SOLUÇÃO: métodos numéricos utilizados para a resolução das equações.

INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS: são modelos que buscam descrever os fenômenos principais envolvidos no processo usando-se, para isso, os princípios básicos de conservação de massa, energia e quantidade de movimento, equações constitutivas, condições iniciais e de contorno. MODELOS EMPÍRICOS: o processo é visto como uma “caixa-preta”, desconhecendo-se totalmente os mecanismos de causa/efeito entre as variáveis independentes (x) e as variáveis dependentes (y) do processo. As variáveis dependentes são correlacionadas empiricamentecom as independentes através das chamadas funções de transferência: y=f(x). y=f(x) Funções de transferência usuais: - modelos polinomiais; modelos exponenciais; modelos de redes neurais.

INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS a) segundo a natureza das variáveis: - modelos determinísticos: são aqueles em que cada variável ou parâmetro pode ser associado a um número fixo definido. A sua solução fornece valores exatos para a variável de resposta. - modelos estocásticos: os modelos estocásticos são utilizados para fornecer a probabilidade de um determinado valor ocorrer para uma variável. A solução desses modelos é uma probabilidade e não um valor exato. b) segundo a dependência com a variável tempo: - modelos de estado estacionário: não há termo de acúmulo, isto é, não há variação com o tempo. Ex. Reator contínuo de mistura perfeita. - modelos de estado dinâmico: nesses modelos há variação com o tempo, normalmente utilizados em controle de processos. Ex. Reator em batelada. c) segundo a natureza das equações resultantes: - modelos representados por equações algébricas; - modelos representados por equações diferenciais ordinárias; - modelos representados por equações diferenciais parciais.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SOFTWARE UTILIZADO PARA A RESOLUÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS: SCILAB O scilab é um software gratuito que pode ser obtido no site: www.scilab.org

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB Abra o scilab

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB No Scilab Console, os programas computacionais são rodados. As variáveis definidas ou retornadas ao Scilab Console são mostradas no Navegador de variáveis.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB No Scilab Console são realizados os cálculos. Verificando algumas operações matemáticas: 1+2 5^2 5*2 5/2 2-5 pi %pi cos(%pi) sin(%pi/2) sin(%pi) cos(%pi/2) sin(%pi)/cos(%pi/2) tan(%pi/2) exp(1) log(10) log(exp(5)) log10(100)

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB Definindo variáveis: a=1 A=5; O ponto e vírgula ; no final da linha é utilizado para evitar a impressão da variável, aumentando a velocidade de processamento. b=2; a*A a/(A+b) log(10^A) log10(10^A) Utilizando a ajuda do scilab: Verifique como utilizar a função poly do scilab clique na lupa, digite poly e dê enter:

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB Para salvar os programas é conveniente utilizar o editor de texto do scilab. Como no decorrer do curso será utilizada a programação orientada a objetos, deve-se saber utilizar as funções function que é utilizada como entrada para cada objeto de simulação criado, a função return que é a função de saída do objeto de simulação (último comando lógico do objeto) e a função endfunction fechando a programação do objeto. function nome_do_objeto(x1,x2,x3) …Lista de comandos do objeto…. [y1,y2,y3,y4]=return(saida1, saida2, saida3, saida4) endfunction Exemplo de problema envolvendo cálculo de raizes de polinômio (função roots) no scilab: Diversas substâncias químicas com ponto de ebulição abaixo da temperatura ambiente costumam ser armazenadas na forma liquefeita, sob alta pressão, em recipientes adequados. Os exemplos mais conhecidos são o GLP (gás liquefeito de petróleo), propano, butano e amônia. Diversos tipos de recipientes são utilizados: recipientes cilíndricos (com tampos arredondados) são usados para pequenas quantidades (isqueiros, botijões, cilindros, caminhões tanque). Industrialmente, uma forma consagrada de armazenar estes "gases liquefeitos" é o uso de esferas de armazenamento. Descrição do problema: Uma esfera de armazenamento de propano dispõe de um instrumento de medição de nível que indica a altura (medida do ponto de tangência inferior da esfera) da interface líquido-vapor. O volume de líquido é dado pela fórmula V=pi * h²(3r-h)/3 Uma esfera com 10 metros de diâmetro é utilizada para armazenar propano liquefeito. O nível inicial de líquido é de 5,1 metros. O responsável pela operação da planta precisa transferir 150 m³ de propano líquido desta esfera para o processo. Determine o nível de líquido na esfera ao final da transferência (despreze a parcela do propano presente na fase vapor).

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB Solução: Como dados de entrada o programa fornece os valores do diâmetro da esfera de armazenamento (d = 10 m), o nível inicial de líquido (hi = 5,1 m) e o volume a ser transferido (Vt=150 m³). A saída é o nível final do reservatório (nível a ser atingido quando a válvula de saída deve ser fechada). O problema é de simples solução, porém vamos criar um programa para simular a esfera para qualquer condição inicial.O primeiro passo é abrir o scilab e, depois, começar a criar o programa. Obs. O nível do reservatório pode ser obtido resolvendo o seguinte polinômio: Polinômio= 3*V/pi - 3*r*h² + h³ = 0 Para executar o programa deve-se salvar e executar

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB Solução: Após clicar em salvar e executar, deve-se ir para a janela principal do scilab, verificar se há erros de programação e corrigi-los. E digitar a função com seus valores de entrada entre parênteses, e digitar a variável retornada pela saída do programa (ou verificar o valor da variável no navegador de variáveis). Nesse caso, a solução é h=3,1 m (pois 0<h<d, d=10 m). Observe que h é uma variável complexa. Agora vamos fazer o programa mostrar apenas o valor de h utilizando testes lógicos, para selecionar uma raiz real entre 0 e D.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB Seleção do valor de h (para 0<h<d) considerando que h deva ser uma raiz real.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS Até agora, foi criado o script de um objeto de simulação. Agora, vamos criar os objetos a serem utilizados na simulação. Para isso, vamos utilizar o xcos, uma ferramenta de simulação do scilab. Abra o Xcos do scilab. No Navegador de Paleta, clique em fontes para criar as entradas e arraste uma entrada de matriz (CONST_m) para a janela de fluxograma do Xcos.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS 3) Clique em Anotações e arraste para o fluxograma para anotar as variáveis de entrada (diâmetro da esfera, nível inicial e volume transferido) como matriz de entrada u=[d,hi,Vt]. Clique no bloco de entrada e substitua com os valores da matriz de entrada u=[10,5.1,50].

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS 4) Arraste um bloco scifunc_block_m de Funções definidas pelo usuário. Clique sobre o bloco, altere a entrada para uma matriz de uma linha e três colunas e clique em OK.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS 5) Após clicar em OK aparecerá uma janela para digitação da função. Copie e cole o programa e faça as alterações pertinentes, como colocar d=u1(1), hi=u1(2) e Vt=u1(3). Na última linha do programa defina y1=h. Não cole a primeira linha (function...) nem as duas últimas (return e endfunction) pois são as entradas e saídas do bloco. Não precisa tipos de entradas nem saidas pedidos em seguida, pois utilizaremos blocos do Xcos.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS 6) Em Receptores escolha o bloco AFICH_m para exibição da resposta e adicione um Clock_c de fontes faça as interligações de entrada e saída e clique em iniciar. Clicando no bloco AFICH_m do fluxograma você pode alterar o número de dígitos da parte racional. Alterando os valores de entrada, altera-se também a saída ao clicar em iniciar.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS 7) Para demonstrar o funcionamento do XCOS vamos agora criar um gráfico de V versus h para o problema anterior utilizando funções do XCOS. Para facilitar vamos considerar como variável independente o nível (t=h, para h variando de 0 a 10 m) e como variável dependente o volume (y1=V): V=pi * h²(3r-h)/3 Faça as interligações como na figura, e configure cada bloco (Obs. Para criar a porta da variável independente, deve-se atribuir [1] em “input event ports sizes”).

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS 8) Antes de simular deve-se configurar a simulação, pois a variável independente (t=h) deve variar entre 0 e 10 m. Isso é feito definindo o tempo final de integração igual a 10.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS 9) Agora basta realizar a simulação e obter o gráfico e alterar o título dos eixos.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS Trabalhando com vetores e matrizes: Os argumentos da matriz devem ser colocados entre colchetes [ ] As linhas são separadas por ponto e vírgula (;) As colunas são separadas por vírgula (,) ou espaço É possivel criar ou modificar valores em uma matriz utilizando o editor de variáveis. Na janela principal do scilab digite: A=[11 12;21 22;31 32] B=[11 12 13;21 22 23] A*B B*A B*B A*(A*B) B*(A*B) B*(B*A) Matriz transposta A‘ Matriz inversa C=B*A inv(C) C^(-1) 1/C C*inv(C) C/C C*C^(-1) C^(-1)/C

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS Trabalhando com vetores e matrizes: Dimensões (size), máximos (max), mínimos (min) e módulo (abs) size(A) size(A,1) size(A,2) [m,k]=max(A) [n,j]=min(A) o=min(inv(C)) O=min(abs(inv(c)) Adicionando linhas e colunas a uma matriz: Ex: D=[13;23;33] A E=[A D] E=[E;D']

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS Utilizando vetores para realização de regressão linear: Filtração a pressão constante de 105 Pa foi realizada para uma suspensão de de sólidos em H2O sendo obtidos os resultados apresentados na tabela. A superfície total de filtração foi 400 cm², a massa de sólidos por volume de filtrado foi de 5 g/L e a temperatura foi de 20 oC (µH2O=1x10-3kg/[ms]). Calcule os valores de α e Rm. Experimento: V(L) t1 (s) 0,5 22,3 1 83,6 1,5 184,0 2 323,5 2,5 502,0 3 719,6 t=b1V+b2V²

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS Utilizando vetores para realização de regressão linear: Filtração a pressão constante de 105 Pa foi realizada para uma suspensão de de sólidos em H2O sendo obtidos os resultados apresentados na tabela. A superfície total de filtração foi 0,04 m², a massa de sólidos por volume de filtrado foi de 5 kg/m³ e a temperatura foi de 20 oC (µ=1x10-3kg/[ms]). Calcule os parâmetros de filtração α e Rm. Experimento: V(m³) t (s) 5*10-4 22,3 1*10-3 83,6 1,5*10-3 184,0 2*10-3 323,5 2,5*10-3 502,0 3*10-3 719,6 A Equação para a filtração constante pode ser expressa como: t=b1V+ b2 V² onde: b1=c/(2A2P), b2=Rm/(AP) Os parâmetros b1 e b2 podem ser calculados fazendo a regressão por meio de matrizes: B=(XTX)-1 * (XTY) Onde: B=[b1;b2]; X=[5d-4,5d-4^2;1d-3,1d-3^2;1.5d-3,1.5d-3^2;2d-3,2d-3^2;2.5d-3,2.5d-3^2;3d-3,3d-3^2]; Y=[22.3;83.6;184;323.5;502;719.6]; Compare os valores experimentais com os calculados pelo modelo utilizando para os valores calculados: Yc=X*B;

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS Resolução no Xcos: 1) Vamos resolver o problema utilizando os operadores do Xcos. B=(XTX)-1 * (XTY) Onde: B=[b1;b2]; X=[5d-4,5d-4^2;1d-3,1d-3^2;1.5d-3,1.5d-3^2;2d-3,2d-3^2;2.5d-3,2.5d-3^2;3d-3,3d-3^2]; Y=[22.3;83.6;184;323.5;502;719.6]; Para facilitar a simulação, vamos utilizar a ferramenta, clicando em “simulação” e depois “definir contexto”.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS Resolução no Xcos: 2) Agora, basta utilizar os blocos de entrada de matriz, e os operadores, como na figura.