Blog de Matemática do 1° ano do E.M C.A JOÃO XXIII www.mat1ano.wordpress.com

CONJUNTOS

Introdução Conjunto: Um conjunto é definido por qualquer coleção de objetos. Estes objetos são chamados elementos do conjunto. Se x for um elemento deste conjunto, então podemos dizer que x pertence a este conjunto. Caso contrário, se x não for um elemento deste conjunto, então diremos que x não pertence ao conjunto. Exemplos de conjuntos : Conjunto das vogais do alfabeto: seus elementos são as letras a,e,i,o,u. Conjunto dos dias da semana: seus elementos são segunda, terça, quarta , quinta, sexta, sábado e domingo.

Representação Usualmente, os conjuntos são representados por uma letra maiúscula e os elementos que os compõem são representados por letras minúsculas entre chaves. Portanto, sua representação será: Conjunto das vogais do alfabeto V = {a,e,i,o,u} Conjunto de figuras geometricas de quatro lados . S = {quadrado, retângulo, trapézio, losango , paralelogramo} OBSERVAÇÃO: Podemos observar que no conjunto das vogais a letra “a” pertence ao conjunto V e a letra “b” não pertence ao conjunto V, por ser uma consoante .

Elemento: Como já vimos, os objetos de um conjunto recebem o nome de elementos deste conjunto. A partir de então, podemos definir nosso conjunto e organizá-lo. . Algumas ciências fazem uso deste pensamento. Como exemplo, citamos a Biologia, que separa o conjunto de animais que apresentam pelos. Os objetos deste conjunto, ou seja seus elementos, são todos aqueles que apresentam pelos como os seres humanos, ursos, lobos e etc ... Existem animais que não possuem pelos, logo eles não pertencem a esse conjunto.

Pertinência: É a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Podemos apresentar vários exemplos relacionados à pertinência. O planeta Terra pertence ao conjunto dos planetas do sistema solar, logo a lua não pertence a este conjunto, pois ela não é um planeta.        Representação: Se um elemento pertence a um conjunto, utilizamos o símbolo ∈ que se lê: "pertence“. Se um elemento não pertence a um conjunto, ultilizamos o simbolo ∉ que se lê “não pertence”. Logo, como já vimos: a ∈ V (“a” pertence ao conjunto V) b ∉ V (“b” não pertence ao conjunto V por ser uma consoante).

CONJUNTO VAZIO Podemos pensar em um conjunto que não apresenta elementos, ou seja, existe um x ∉ Ø (se x ∈ Ø teríamos o conjunto Ø com o elemento x deixando de ser vazio). Indicamos um conjunto vazio por {  } ou  ∅ , nunca por {∅} , pois assim teríamos um conjunto com o elemento Ø . CONJUNTO UNITÁRIO É todo conjunto constituído por apenas um elemento. Por exemplo: O conjunto formado pelo único mamiíero voador é um conjunto unitário, pois apresenta apenas um elemento: o morcego . CONJUNTO UNIVERSO É um conjunto importante, cuja notação é U. É o conjunto formado por todos os elementos, com os quais estamos trabalhando num determinado assunto.

União de Conjuntos Podemos pensar na união de conjuntos quando dois ou mais conjuntos se unem. Tomemos então os conjuntos das vogais e das consoantes. O que aconteceria ao unirmos estes dois conjuntos ? Fazendo esta união teríamos o conjunto das letras do alfabeto . Representação: Representamos a união de conjuntos pelo símbolo U . Logo teremos : V = {a,e,i,o,u} C = {b,c,d,f,...} VUC = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,...} (V união C) Ao pegarmos o conjunto AUB e tomarmos qualquer elemento x ∈ AUB, logo teremos x ∈ A ou x ∈ B (isso quer dizer que o elemento pode pertencer ao conjunto A , pode pertencer ao conjunto B e pode pertencer também aos dois conjuntos ao mesmo tempo. Observe que este “ou” não é um “ou” excludente e sim um “ou” que inclua .

Interseção de conjuntos A interseção de conjuntos se define quando um ou mais elementos, de dois ou mais conjuntos relacionados, são comuns a estes conjuntos, ou seja : pegamos dois conjuntos diferentes (ou iguais) que apresentam um ou mais elementos em comum (se forem iguais apresentarão todos elementos em comum) . Representação : Representamos a interseção de dois ou mais conjuntos pelo simbolo ∩. Exemplo: P = {2,3,5,7,...} I = {1.3.5.7,...} I∩P = {3,5,7,...} Ao pegarmos o conjunto A ∩ B e tomemos qualquer elemento x A ∩ B então teremos x ∈ A e x ∈ B

Outras maneiras de se representar conjuntos Existem outras maneiras de se representar os conjuntos . Uma delas seria por diagramas, mais conhecido pelo nome diagramas de Venn-Euler ou apenas pelo nome diagramas de Venn .

Representação por descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. Exemplos:      V={x| x é uma vogal} (seja o elemento x talque x seja uma vogal )    N={x| x é um número natural}    M={x | x é um mamífero} P = {x | x é um número primo } A = { α | α é uma letra do alfabeto}

Exercícios 1) Escreva sob forma simbólica os conjuntos: a) Conjunto dos números primos b) Conjunto dos números pares c) Conjunto dos números impares d) Conjunto dos numeros ímpares e dos numeros pares e) Represente por descrição os mesmos conjuntos representados em cada ítem anterior. 2) Represente pelo diagrama de Venn as vogais do alfabeto . 3) Sendo A = {1,3,5,7,11}, verifique quais das seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas : a)1 ∈ A b)2 ∈ A c)4 ∉ A d)13 ∈ A e)11 ∈ A f)13 ∉ A

4) Dados os conjuntos A = {∂,∆,α,ↄ,2,6} B = {2, 3, 5,∆} C = { 0 } D = {1,2,7,£,€,α } faça o o que se pede: a)AUB b)BUD c)BUA d)C∩A e)A∩D f)AUD g)B∩D h)A∩B∩D i)B∩C j)(AUD)∩B Com base neste exercício: AUB=BUA será verdadeiro para quaisquer conjuntos, sempre?

5) Colora o diagrama de Venn que represente : a)AUB b)BUA c)A∩B d)(AUB)UC e)A∩(B∩C) f)(AUB)∩C g)(A∩C)U(A∩B) 6) Diga se a sentença é verdadeira ou falsa. Se for falsa, justifique. A = {2,4,p,δ,{a},e}. a)2 ∈ A b)5 ∈ A c) a∈ A d) p ∉ A e){a} ∈ A f)a ∉ A

Conjuntos Númericos Podemos pensar em um mundo no qual a contagem não exista? E se os números também não existissem? Como seria este mundo ? Na antiguidade, assim como atualmente, sempre houve uma grande necessidade de se ordenar ou contar certo número de objetos. Utilizamos os números para tal tarefa. Podemos criar conjuntos numericos para nos ajudar a contar .

Números Naturais O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico. Representação: N = {0,1,2,3,4,5...} N* = {1,2,3,4,5,6...}; N* significa o conjunto dos números naturais sem o zero

Construção dos números naturais Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado). A partir do número zero, podemos criar o conjunto somando uma unidade ao seu número antecessor. 0+1=1 1+1=2 2+1=3 N = {0,1,2,3 ...}

Números Inteiros Durante muito tempo só poderiamos subtrair dois números se o que viesse primeiro fosse maior do que o múmero que viesse em segundo: a-b se a > b (a maior que b) Com isso, como resolveríamos esta operação? 5-6 =? Os números negativos apareceram para explicar circunstâncias que os números naturais não davam conta de representar (registro de temperaturas, prejuízo, desaceleração...). Estes exemplos permitem compreender melhor o uso dos números negativos .

Representação dos Números inteiros Representamos os números inteiros pela letra Z , ou seja : Z = {... -3,-2,-1,0,1,2,3 ,...} Ao estudarmos os números inteiros, podemos perceber a presença do simétrico (o próprio número com o sinal oposto). Pensando assim, qual número somado a um resulta em zero ? Equacionando, teremeos : 1 + x = 0 x = -1 Então podemos concluir que o número -1 é o simétrico do número 1 Z + = {0,1,2,3,4,...} Z- = {...,-2,-1, 0,1,2,...} Z* = {...,-2,-1,1,2,3,...}

Subconjuntos Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A ⊂ B, se todos os elementos de A também estão em B.

Os números naturais como subconjuntos dos números inteiros Usando a definição de subconjuntos, o que podemos observar ao comparar o conjunto N={0,1,2,3,...} com o conjunto Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}?

Números Racionais O surgimento dos números racionais está associado à noção de comparação de medidas. Quantas vezes um segemento DC caberia em um segundo segmento AB ? A|-----|-----|-----|-----|-----|B D|-----|-----|C Resposta : duas vezes e meia . Podemos pensar também que DC é igual a 2/5 de AB Número racional é todo número que pode ser escrito na forma a/b , com a e b inteiros , ou seja, ( a , b ∈ Z , com b diferente de 0). Representamos os números racionais : Q = {a/b, tal que a ∈ Z e b ∈ Z * }

O que podemos dizer ao comparar o conjunto dos naturais, dos inteiros com o conjunto dos racionais?

Conjunto dos irracionais Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados por meio de uma fração. O surgimento desses números veio de um antigo problema que Pitágoras se recusava a aceitar, que era o cálculo da diagonal de um quadrado, cujo lado mede 1 unidade, diagonal esta que mede √2. Este número deu início ao estudo de um novo conjunto, representado pelos números irracionais. 

Exemplos π é um número irracional Representação: Todas as raízes quadradas de números naturais que não sejam quadrados perfeitos, isto é se a raiz quadrada de um número natural não for inteira, é irracional. Logo são irracionais  √ 2, √3,√5,√7,√8,√10,√n , com n natural e n diferente de um quadrado perfeito Números representáveis por dízimas infinitas não periódicas.   São irracionais os resultados da soma, subtração, multiplicação e divisão de um número irracional com um número racional. Ex: 1 + √3, (1 +  √5) /2, (√8 – 1)/2 π é um número irracional Representação: Seu conjunto é representado pela letra I

Conjuntos dos números reais Podemos pensar no conjunto dos números reais como a união de Q U I. Ou seja, R=Q U I

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