Matemática Discreta I BCC101 Teoria de Conjuntos 1

CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/14/2017 Teoria de Conjuntos A Teoria de Conjuntos é adequada para descrever e explicar todas as estruturas matemáticas. A Teoria de Conjuntos constitui também a base matemática para a definição de Tipos de Dados em Computação

CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/14/2017 O que é um conjunto? Um conjunto é uma coleção de objetos Cada objeto da coleção é dito um elemento do conjunto. Exemplos: 𝐍 = {0,1,2,3,…} números naturais 𝐙 = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} números inteiros 𝐐 = {n/m | n,m ∈ 𝐙, m≠0 } números racionais 𝐑 números reais

Mais exemplos de conjuntos CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/14/2017 Mais exemplos de conjuntos 𝐁 = {T,F} conjunto Booleano C = {a,e,I,o,u} conjunto das vogais D = {(0,0),(1,5),(3,2)} conjunto de pares de números E = {{1,2},{10},{3,3,3}} conjunto de conjuntos F = {3,{2,5},{5,8,2}} elementos não precisam ser do mesmo tipo 3 ∈ F {2,5} ∈ F 2 ∉ F

CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/14/2017 Cardinalidade Se A é um conjunto finito, a cardinalidade de A é o número de elementos de A Notação: |A| Exemplos: A = {a,b,c,d} |A| = 4 B = {{1,2}, {1,2,3}} |B| = 2

CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/14/2017 Conjunto Vazio { } conjunto vazio: não possui elementos 3  { } x  { } — não importa o que seja x  = { } — a letra Grega phi denota o conjunto vazio Observação:  ≠ {} || = 0 |{}| = 1

Exercício F = {,{},{{}}} Qual é a cardinalidade de F?  ∈ F ?  ∈ {{}} ? 7 7

Notação para conjuntos CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/14/2017 Notação para conjuntos { x | x  {2, 3, 5, 7, 11} , x  4} {5, 7, 11} { x + x | x  {2, 3, 5, 7, 11} , x  3 , x  11} {6, 10, 14} {f(x) | x  A, p(x)} Denota o conjunto cujos elementos têm a forma f(x), onde x  A e é tal que p(x) é true Para evitar contradições: Deve ser especificado o universo de discurso Exemplos inválidos: {X | X é um conjunto} {X | X  X} Nestes, o universo de discurso não é especificado

Exercícios Listar os elementos dos seguintes conjuntos: {n ∈ 𝐍 | n é primo} {n2 | n ∈ 𝐙 } {x ∈ 𝐑 | x2 – 2 = 0} {x ∈ 𝐙 | x2 – 2 = 0} {x ∈ 𝐙 | |x| < 4} {2x ∈ 𝐙 | |x| < 4} {x ∈ 𝐙 | |2x| < 4} {X | X ∈ {{1,2},{3,4,5,6},{7}}, |X|<3 } 9 9

Subconjuntos e Igualdade CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/14/2017 Subconjuntos e Igualdade A é um subconjunto de B Definição: A  B  x. (x  A  x  B) Exemplos {2, 3, 5, 7}  {2, 3, 5, 7, 11}   A — independentemente do que seja A Igualdade entre conjuntos Definição: A = B  (A  B) e (B  A) A é um subconjunto próprio de B Definição: A  B  (A  B) e (A  B)

Exercícios Quais afirmações são verdadeiras? 1 ∈ {1,{1}} 1  {1,{1}} {1} ∈ {1,{1}} {1}  {1,{1}} {{1}} ∈ {1,{1}} {{1}}  {1,{1}} 𝐍 ∈ 𝐍 𝐍  𝐍  ∈ 𝐍   𝐍 𝐍 ∈ {𝐍} 𝐍  {𝐍}  ∈ {𝐍}   {𝐍}  ∈ {,𝐍}   {,𝐍} {𝐍}  {,𝐍} {𝐍}  {,{𝐍}} {𝐍} ∈ {,{𝐍}}  ∈  11 11

Operações: Conjunto Potência Lecture 13 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/14/2017 Operações: Conjunto Potência Cojunto Potência de A: P (A) Definição: P (A) = {S | S  A} Exemplos P({2, 3, 5}) = {, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}} P() = {} |P (A)| = 2|A| (será provado mais tarde, usando indução ) Quantos elementos tem P(P())? P(P()) = { , {} } Quantos elementos tem P(P(P()))? P(P(P())) = { , {}, {{}}, {, {}} } Quantos elementos tem P(P(P(P())))? 24 = 16 Quantos elementos tem P(P(P(P(P()))))? 216 — um bocado! em torno de 65.000

Exercícios Liste todos elementos de cada conjunto: P({0,1,3}) P({1}) 13 13

Operações: Produto Cartesiano Lecture 13 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/14/2017 Operações: Produto Cartesiano Produto Cartesiano de A e B: AxB Definição: A  B = {(a, b) | a  A e b  B} Exemplos {2, 3}  {3, 5, 7} = {(2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7)} {0, 1, 2, …}  {1, 2, 3, …} = conjunto de todos os pares de números naturais em que o segundo componente ≠ 0 Notação: A2 = A x A A0 = {()} A1 = A A2 = AxA A3 = AxAxA … |A x B| = |A| x |B| Exercícios: A x B = B x A para todo A e B? Quantos elementos tem A  P(A)?

Operações: União e Interseção Lecture 13 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/14/2017 Operações: União e Interseção União de A e B Definição: A  B = {x | x  A ∨ x  B} Exemplos {2, 3, 5}  {5, 7, 11} = {2, 3, 5, 7, 11}   A = A — independentemente do que seja A {, {}}  { {{}}, {, {}} } = {, {}, {{}}, {, {}} } Interseção de A e B Definição: A  B = {x | x  A ∧ x  B} {2, 3, 5, 7}  {2, 7, 11} = {2, 7}   A =  — independentemente do que seja A Conjuntos disjuntos Definição: A e B são disjuntos  A  B = 

Operações: União Disjunta Lecture 13 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/14/2017 Operações: União Disjunta União disjunta de A e B Definição: A + B = {(0,x) | xA}∪{(1,x) | xB} Exemplos {2,3,5} + {3,5,7} = {(0,2), (0,3), (0,5), (1,3), (1,5),(1,7)}  + {2,3} = {(1,2),(1,3)} {2,3} +  = {(0,2),(0,3)}

Operações: Diferença e Complemento Lecture 13 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/14/2017 Operações: Diferença e Complemento Diferença A menos B Definição: A – B = {x | x  A ∧ x  B} Exemplos {2, 3, 5, 7} – {2, 7, 11} = {3, 5} A –  = A — independentemente do que seja A  – A =  — independentemente do que seja A Complemento de A Definição: A’= U–A onde U é o universo de discurso Exemplos - universo de discurso = N {2, 3, 4, 5}’ = {0, 1}  {6, 7, 8, …} {2x | x  {0, 1, 2, …}}’ = {2x+1 | x  {0, 1, 2, …}}

Sejam A = {a,b,c,d,e} B={d,e,f} C={1,2,3} Exercícios Sejam A = {a,b,c,d,e} B={d,e,f} C={1,2,3} A  B A  B A – B B – A (A-B)  (B-A) A  C A  C A – C (A  C)  (A – C) (A  B) x B (AxC)  (BxC)

Álgebra de Conjuntos Idempotência Identidade Zero Duplo complemento De Morgan

Commutatividade Associatividade Absorção Distributividade

Prova direta – mais um exemplo CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/14/2017 Prova direta – mais um exemplo Teorema: Sejam A,B e C conjuntos. Se A∩C ⊆ B e a ∈ C, então a ∉ A-B. Hipóteses: A∩C ⊆ B e a ∈ C Conclusão: a ∉ A-B a ∉ A\B = ¬(a ∈A-B) = ¬(a ∈A ∧ a ∉ B) = ¬a ∈A ∨ ¬ a ∉ B = ¬a ∈A ∨ a ∈ B = a ∈A ➝ a ∈ B

Prova direta – mais um exemplo (continuação) CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/14/2017 Prova direta – mais um exemplo (continuação) Trocamos a demonstração de a ∉ A-B por uma demonstração de a ∈A ➝ a ∈ B, que é mais simples. Agora é só usar uma das estratégias que envolvem o conectivo ➝ Como você concluiria a prova?

Paradoxo de Russel Bertrand Russell (1872-1970) Uma teoria ingênua de conjuntos pode levar a paradoxos. Considere: A = {X | X é um conjunto e X ∉ X} {1,2} ∈ A 𝐍∈A Seja X = {X}. X ∉ A Paradoxo: A∈A ? 23 23

Teoria Axiomática de Conjuntos Para evitar os paradoxos que podem ocorrer em uma teoria ingênua de conjuntos, foi proposta, por Zermelo e Frankel, uma teoria axiomática, que inclui como axiomas: Princípio da Boa Ordem Nenhum conjunto não vazio C pode ter a propriedade de que C ∩ x ≠ , para todos os seus elementos x que sejam conjuntos. Isso exclui conjuntos tais como X = {X}. 24 24

Princípio da Boa Ordem Todo subconjunto não vazio de números naturais tem um menor elemento: A ⊆ 𝐍 e A≠ → existe x0∈A tal que x0 ≤ x, para todo x∈A É uma propriedade fundamental de 𝐍 Não vale para números reais: A = {1/n | n∈𝐍} não tem um menor elemento 25 25

Princípio da Boa Ordem- consequência Lecture 13 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/14/2017 Princípio da Boa Ordem- consequência Algoritmo de Divisão: Dados dois números naturais a e b, com b>0, existem números naturais q e r tais que a = qb + r e 0 ≤ r < b Prova: Dados a e b, com b>0, construa o conjunto A = {a – xb | x∈𝐙, 0 ≤ a – xb} (A é não vazio) Por exemplo, se a=17 e b=3, A ={2,5,8,11,14,17,…} Seja r o menor elemento de A. Então r=a–qb, p/ algum q∈𝐙 e, portanto, a=qb+r. Além disso, r<b: se r≥b, então um número não negativo r-b=(a-qb)-b=a-(q+1)b, da forma a–xb seria o menor elemento de A, ao invés de ser r.

Funções Função — algumas definições e terminologia Uma função f de tipo A  B é uma relação binária com domínio A e contra domínio B, que satisfaz a propriedade aA.b1B.b2B. ((a, b1)f  (a, b2)f)  (b1=b2) Em computação: Tipo do argumento : A (ou dominio de f) Tipo do resultado: B (ou contra dominio de f) A propriedade acima garante que a função retorna um e exatamente um resultado, para cada possível valor do argumento

Funções Oficialmente, uma função é um conjunto de pares ordenados Este conjunto de pares oerdenados é o grafo da função Também conhecido como representação extensional da função Menos formalmente Uma função é uma regra que associa um resultado a cada argumento Essa regra é conhecida como representação intensional da função

Extensional versus Intensional Representação extensional Conjunto de pares ordenados f: A  B (f tem dominio A e contra-dominio B) f = {(x, f(x)) | x  A}  A  B [representação extensional de f: A  B] Representação unívoca Existe uma única representação extensional de uma função Igualdade funcional Duas funções são iguais se têm a mesma representação extensional

Extensional versus Intensional Representação intensional Equações associaindo resultados a argumentos Não é única Uma função pode ter mais de uma representação intensional Exemplos f(x) = (x – 1)(x+1), g(x) = x2 – 1 tipo: Integer  Integer qsort = … , msort = … tipo: [] []

Composição de Funções Composição: aplicação encadeada de funções Os tipos devem ser compatíveis se f tem tipo a -> b e g tem tipo b -> c então g o f tem tipo a -> c (g o f) x = g(f x) Exemplos inc1 x = x + 1 inc2 x = x + 2 inc2 = inc1 . inc1 sqr x = xx poly x = xx + 1 poly = inc1 . sqr

Imagem e Imagem Inversa X A B f(X) f Imagem f :: A  B X  A f(X) = {f(x) | x  X} f-1(Y) A B Y f Imagem inversa f :: A  B Y  B f-1(Y) = {x  A | f(x)  Y}

Sobrejetora f :: AB é sobrejetora sse f(A) = B f é sobrejetora se sua imagem é todo o contra domíno Algumas funções sobrejetoras Algumas funções não sobrejetoras even :: Integer -> Bool even = (== 0) . (`mod` 2) clock :: {0, 1, 2, …}  {1, 2, …, 12} clock x = 1 + (x `mod` 12) dbl :: Integer -> Integer dbl x = x + x sqr :: Integer -> Integer sqr x = xx clock :: {0, 1, 2, …}  {0, 1, 2, …} clock = 1 + (x `mod` 12)

Injetora f :: AB injetora sse bB. |f-1({b})|  1 sse a imagem inversa de um conjunto unitário é um conjunto unitário ou vazio Função que não ‘tromba’ no contra domínio Algumas funções injetoras integerize :: Bool -> Integer integerize False = 0 integerize True = 1 sqr :: {0, 1, 2, …}  {0, 1, 2, …} sqr x = xx inc1 :: Integer -> Integer inc1 x = x + 1 Não injetora even :: Integer -> Bool even = (== 0) . (`mod` 2)

Bijetora f: A→B é bijetora sse (f é injetora)  (f é sobrejetora) Correspondência um a um entre A e B Algumas funções bijetoras Não bijetoras not :: Bool -> Bool not False = True not True = False inc1 :: Integer -> Integer inc1 x = x + 1 counterClock :: {1, 2, …, 12}  {1, 2, …, 12} counterClock x = 13 – x dbl :: Integer -> Integer dbl x = x + x injetora mas não sobrejetora clock :: {0, 1, 2, …}  {1, 2, …, 12 clock x = 1 + (x `mod` 12) sobrejetora mas não injetora

Bijetora f: A→B é bijetora sse (f é injetora)  (f é sobrejetora) Correspondência um a um entre A e B Algumas funções bijetoras Não bijetoras not :: Bool -> Bool not False = True not True = False inc1 :: Integer -> Integer inc1 x = x + 1 counterClock :: {1, 2, …, 12}  {1, 2, …, 12} counterClock x = 13 – x dbl :: Integer -> Integer dbl x = x + x injetora mas não sobrejetora clock :: {0, 1, 2, …}  {1, 2, …, 12 clock x = 1 + (x `mod` 12) sobrejetora mas não injetora