Análise e Síntese de Algoritmos Fluxos Máximos em Grafos CLRS, Cap. 26

Análise e Síntese de Algoritmos Contexto Algoritmos elementares em grafos (CLR, Cap. 22) Árvores abrangentes de menor custo (CLR, Cap. 23) Caminhos mais curtos com fonte única (CLR, Cap. 24) Caminhos mais curtos entre todos os pares (CLR, Cap. 25) Fluxos máximos em grafos (CLR, Cap. 26) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Resumo Fluxos Máximos em Grafos Motivação Definições & Propriedades Método de Ford-Fulkerson Teorema do Fluxo Máximo Corte Mínimo Análise do algoritmo genérico Algoritmo de Edmonds-Karp Análise do algoritmo de Edmonds-Karp Emparelhamento Bipartido Máximo Algoritmos baseados em Pré-Fluxos Fluxos de Custo Mínimo 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Um Problema: fornecer água a Lisboa Pretende-se determinar qual o volume de água máximo (por segundo), que é possível fazer chegar a Lisboa a partir da Barragem do Castelo do Bode Existe uma rede de condutas de água que permitem o envio da água do Castelo do Bode para Lisboa Cada conduta apresenta uma capacidade limite, de metros cúbicos por segundo Encontrar um algoritmo eficiente para resolver este problema 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Fluxos Máximos em Grafos Dado um grafo dirigido G=(V, E): Com um vértice fonte s e um vértice destino t Em que cada arco (u,v) é caracterizado por uma capacidade não negativa c(u,v) A capacidade de cada arco (u,v) indica o valor limite de “fluxo” que é possível enviar de u para v através do arco (u,v) Pretende-se calcular o valor máximo de “fluxo” que é possível enviar do vértice fonte s para o vértice destino t, respeitando as restrições de capacidade dos arcos Exemplo 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Fluxo Máximo em Grafos  Aplicações Envio de materiais em rede de transportes Petróleo ou gás Água Electricidade Bytes … 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Fluxo Máximo em Grafos  Aplicações Para redes de fluxo com múltiplas fontes e/ou destinos Definir super-fonte que liga a todas as fontes Definir super-destino ao qual ligam todos os destinos Capacidades infinitas entre super-fonte e fontes, e entre destinos e super-destino 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Fluxo Máximo em Grafos  Definições Uma rede de fluxo G = (V, E) é um grafo dirigido em que cada arco (u,v) tem capacidade c(u, v)  0 Se (u,v)  E, então c(u,v) = 0 Dois vértices especiais: fonte s e destino t Todos os vértices de G num caminho de s para t Grafo ligado, |E|  |V| - 1 Um fluxo G = (V, E) é uma função f : V  V  R tal que: f(u, v)  c(u, v) para u, v  V (restrição de capacidade) f(u, v) = - f(v, u) para u, v  V (simetria) para u  V - { s, t }: (conservação de fluxo) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Fluxo Máximo em Grafos  Definições Valor de um fluxo: Problema do Fluxo Máximo: Dada rede de fluxo G com fonte s e destino t, calcular o fluxo de valor máximo de s para t Exemplo: s u v t 5/10 4/10 6/10 1/5 Valor do fluxo: 10 Fluxo máximo: 20 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Fluxo Máximo em Grafos  Propriedades Dados conjuntos de vértices X e Y: Rede de fluxo G = (V, E); f fluxo em G; X, Y, Z  V: f(X,X) = 0 (cancelamento de termos) f(X,Y) = -f(Y,X) Se X  Y = : f(X  Y,Z) = f(X,Z) + f(Y,Z) (expansão do somatório) f(Z,X  Y) = f(Z,X) + f(Z,Y) (expansão do somatório) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Método de Ford-Fulkerson Definições: Perspectiva Redes residuais Caminhos de aumento Cortes em redes de fluxo Teorema do Fluxo Máximo Corte Mínimo Método de Ford-Fulkerson Algoritmo Complexidade Problemas de convergência 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Método Genérico Ford-Fulkerson-Method(G,s,t) inicializar fluxo f a 0 while existe caminho de aumento p aumentar fluxo f utilizando p return f 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Redes Residuais Dado G = (V, E), um fluxo f, e u,v  V capacidade residual de (u,v): Fluxo líquido adicional que é possível enviar de u para v cf(u,v) = c(u,v) - f(u,v) rede residual de G: Gf = (V, Ef), onde Ef = { (u,v)  V  V : cf(u,v) > 0 } Cada arco (residual) de Gf permite apenas fluxo líquido positivo Exemplo 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Redes Residuais (Cont.) G = (V, E), f um fluxo, Gf rede residual; f’ fluxo em Gf Fluxo de soma f + f’ definido para cada par u,v  V: (f + f’)(u,v) = f(u,v) + f’(u,v) Fluxo de soma é um fluxo com valor |f + f’| = |f| + |f’| Propriedades de um fluxo são verificadas: restrição de capacidade, simetria e conservação de fluxo Obs: f’ é definido em Gf e é um fluxo Cálculo do valor de fluxo: 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Caminhos de Aumento Dado G = (V, E) e um fluxo f caminho de aumento p: caminho simples de s para t na rede residual Gf capacidade residual de p: cf(p) = min { cf(u,v) : (u,v) em p } cf(p) permite definir fluxo fp em Gf, |fp| = cf(p) > 0 f’ = f + fp é um fluxo em G, com valor |f’| = |f| + |fp| > |f| Exemplos 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Recapitular Fluxos Máximos em Grafos Definições Capacidades (dos arcos) Fluxos Capacidades residuais Redes residuais Caminhos de aumento Para aumento de fluxo Método de Ford-Fulkerson 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos A Seguir Fluxos Máximos em Grafos Teorema do fluxo máximo corte mínimo Método de Ford-Fulkerson Análise do algoritmo genérico Algoritmo de Edmonds-Karp 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Algoritmo de Ford-Fulkerson Básico Ford-Fulkerson(G,s,t) foreach (u,v)  E[G] f[u,v] = 0 f[v,u] = 0 while existe caminho de aumento p na rede residual Gf calcular cf(p) foreach (u,v)  p f[u,v] = f[u,v] + cf(p) // Incrementar valor do fluxo f[v,u] = - f[u,v] 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Cortes em Redes de Fluxo Um corte (S, T) de G = (V, E) é uma partição de V em S e T = V - S, tal que s  S e t  T fluxo líquido do corte (S, T): capacidade do corte (S, T): Se G = (V, E) com fluxo f, então o fluxo líquido através de um corte (S, T) é f(S,T) = |f| T = V - S; f(S,TS) = f(S,T) + f(S,S); f(S,T) = f(S,V) - f(S,S) f(S,T) = f(S,V) - f(S,S) = f(S,V) = f(s,V) + f(S - s,V) = f(s,V) = |f| Obs: para u  S - s, f(u, V) = 0 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Cortes em Redes de Fluxo (Cont.) Qualquer valor de fluxo é limitado superiormente pela capacidade de qualquer corte de G (S,T) qualquer corte, e f um fluxo: S T 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Fluxo Máximo Corte Mínimo Seja G = (V, E), com fonte s e destino t, e um fluxo f. Então as proposições seguintes são equivalentes: 1. f é um fluxo máximo em G 2. A rede residual G não contém caminhos de aumento 3. |f| = c(S,T) para um corte (S,T) de G 1.  2. Admitir que f é fluxo máximo em G mas que Gf tem caminho de aumento Então é possível definir um novo fluxo f + fp com valor |f| + |fp| > |f|; uma contradição 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Fluxo Máximo Corte Mínimo (Cont.) 2.  3. Gf sem caminhos de aumento S = { v  V : existe caminho de s para v em Gf }; T = V - S; s  S e t  T Com u  S e v  T, temos f(u,v) = c(u,v), pelo que |f| = f(S,T) = c(S,T) 3.  1. Dado que |f|  c(S,T), para qualquer corte (S,T) de G Como |f| = c(S,T) (definido acima), então f é fluxo máximo 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise do Algoritmo Básico Número de aumentos de fluxo pode ser elevado Fluxo máximo = 2000000 No pior caso: número de caminhos de aumento é 2000000 s u v t 1000000 1 1000000 s u v t 1 rede de fluxo caminho de aumento com capacidade residual = 1 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise de Algoritmo Básico (Cont.) Para valores racionais das capacidades Converter todas as capacidades para valores inteiros Número de caminhos de aumento limitado por valor máximo do fluxo |f*| Complexidade: O(E |f*|) Por exemplo: DFS para encontrar caminho de aumento Para valores irracionais das capacidades Algoritmo básico pode não terminar Algoritmo básico pode convergir para valor incorrecto Exemplo 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Algoritmo de Edmonds-Karp Escolher caminho de aumento mais curto no número de arcos Utilizar BFS em Gf para identificar caminho mais curto Complexidade: O(V E2) Exemplos 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Recapitular Fluxos Máximos em Grafos Definições Método de Ford-Fulkerson Teorema do fluxo máximo corte mínimo Análise do algoritmo genérico de Ford-Fulkerson Algoritmo de Edmonds-Karp 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos A Seguir Fluxos Máximos em Grafos Algoritmo de Edmonds-Karp Análise da complexidade Método de Ford-Fulkerson Análise do algoritmo genérico com valores irracionais Complexidade do algoritmo Convergência para valor correcto 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Algoritmo de Edmonds-Karp — Análise Definições: f(s,v): distância mais curta de s para v na rede residual Gf f’(s,v): distância mais curta de s para v na rede residual Gf’ Sequência de acontecimentos considerada: f  Gf  BFS  p  f’  Gf’  BFS  p’ Resultados: f(s,v) cresce monotonicamente com cada aumento de fluxo Número de aumentos de fluxo é O(V E) Tempo de execução é O(V E2) O(E) devido a BFS & aumento de fluxo a cada passo 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Algoritmo de Edmonds-Karp — Análise f(s,v) cresce monotonicamente com cada aumento de fluxo Prova por contradição Após aumento de fluxo (de f para f’) existe v  V tal que distância do caminho mais curto diminui f’(s,v) < f(s,v) Sem perda de generalidade, admitir f’(s,v) < f’(s,u) para qualquer vértice u tal que f’(s,u) < f(s,u) i.e. escolher vértice v com a menor distância entre todos os vértices que não verificam a propriedade de f(s,v) crescer monotonicamente equivalente a: f’(s,u) < f’(s,v) implica que f(s,u)  f’(s,u) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Algoritmo de Edmonds-Karp — Análise Seja p’ um caminho mais curto em Gf’, de s para v e com arco de u para v f’(s,u) = f’(s,v) - 1 (p’ é caminho mais curto em Gf’) E, por hipótese, f(s,u)  f’(s,u) Analisar fluxo f de u para v antes de aumento de fluxo Se f[u,v] < c[u,v]: f(s,v)  f(s,u) + 1  f’(s,u) + 1 = f’(s,v) o que contradiz hipótese inicial ! Caso contrário f[u,v] = c(u,v): (u,v)  Ef caminho p em Gf (escolhido para obter Gf’) contém arco (v,u) f(s,u) = f(s,v) + 1 f(s,v) = f(s,u) - 1  f’(s,u) - 1 = f’(s,v) - 2 < f’(s,v) o que também contradiz hipótese inicial ! 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Algoritmo de Edmonds-Karp — Análise Número de aumentos de fluxo é O(V E) arco (u,v) na rede residual Gf é crítico se capacidade residual de p é igual à capacidade residual do arco arco crítico desaparece após aumento de fluxo Quantas vezes pode arco (u,v) ser arco crítico? Como caminhos de aumento são caminhos mais curtos, f(s,v) = f(s,u) + 1 (u,v) só volta à rede residual após arco (v,u) aparecer em caminho de aumento (com fluxo f ’) Como, f’(s,u) = f’(s,v) + 1 Dado que, f(s,v)  f’(s,v) (resultado anterior) Obtem-se, f’(s,u) = f’(s,v) + 1  f(s,v) + 1 = f(s,u) + 2 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Algoritmo de Edmonds-Karp — Análise Distância de s a u aumenta pelo menos de duas unidades entre cada par de vezes que (u,v) é crítico No limite, distância de s a u é não superior a |V| - 2 Pelo que arco (u,v) pode ser crítico O(V) vezes Existem O(E) pares de vértices Na execução do algoritmo de Edmonds-Karp o número total de vezes que arcos podem ser críticos é O(V E) Como cada caminho de aumento tem um arco crítico Existem O(V E) caminhos de aumento Complexidade de Edmonds-Karp é O(V E2) Complexidade de BFS é O(V+E) = O(E) Aumento de fluxo em O(V+E) = O(E) (dado V = O(E)) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Recapitular Fluxos Máximos em Grafos Método de Ford-Fulkerson Análise do algoritmo genérico Complexidade (valores inteiros): O(E |f*|) Com valores irracionais pode não terminar Algoritmo de Edmonds-Karp Análise da complexidade O(V E2) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos A Seguir Fluxos Máximos em Grafos Emparelhamento Bipartido Máximo 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Emparelhamento Bipartido Máximo G = (V, E) não dirigido Emparelhamento: M  E, tal que para qualquer vértice v em V não mais do que um arco em M é incidente em v Emparelhamento Máximo: Emparelhamento cardinalidade máxima (na dimensão de M) Grafo Bipartido: Grafo pode ser dividido em V = L  R, em que L e R são disjuntos e em que todos os arcos de E estão entre L e R Emparelhamento Bipartido Máximo: Emparelhamento máximo em que G é bipartido 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Emparelhamento Bipartido Máximo Construir G’: V’ = V  {s, t} Atribuir capacidade unitária a cada arco de E’ Emparelhamento bipartido máximo em G equivale a encontrar fluxo máximo em G’ Exemplo 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Emparelhamento Bipartido Máximo Dados G e G’: 1. Se M é um emparelhamento em G, existe um fluxo f de valor inteiro em G’, com |f| = |M| 2. Se |f| é um fluxo de valor inteiro em G’, existe um emparelhamento M em G, com |f| = |M| Seja M um emparelhamento, e (u,v)  M. Definir f utilizando arcos de M, f(s,u) = f(u,v) = f(v,t) = 1. Para restantes arcos (u,v)  E’, f(u,v) = 0 Os caminhos s  u  v  t para todo o (u,v)  M são disjuntos em termos dos vértices, com excepção de s e t Como existem |M| caminhos, cada um com uma contribuição de uma unidade de fluxo para o fluxo total f, |f| = |M| 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Emparelhamento Bipartido Máximo Se todas as capacidades têm valor inteiro, então para fluxo máximo f, |f| é inteiro Indução no número de iterações do algoritmo genérico de Ford-Fulkerson Emparelhamento bipartido máximo |M| em G corresponde a |f|, em que f é o fluxo máximo de G’ Se |M| é emparelhamento máximo em G, e |f| não é máximo em G’, então existe f’ que é máximo f’é inteiro, |f’| > |f| e f’ corresponde a emparelhamento |M’|, com |M’| > |M|; contradição … 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Emparelhamento Bipartido Máximo A aplicação do algoritmo genérico de Ford-Fulkerson tem complexidade O(E |f*|) Emparelhamento bipartido máximo é não superior a min(L,R) = O(V) e tem valor inteiro i.e., no caso do emparelhamento máximo, |f*| = O(V) Complexidade de identificação do emparelhamento bipartido máximo é O(V E) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Recapitular Fluxos Máximos em Grafos Definições e Propriedades Método de Ford-Fulkerson Algoritmo de Edmonds-Karp Emparelhamento Bipartido Máximo 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos A Seguir Fluxos Máximos em Grafos Algoritmos de Pré-Fluxo (push-relabel) Correcção do algoritmo genérico Análise do algoritmo genérico Algoritmo Relabel-To-Front Análise do algoritmo Relabel-To-Front 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Fluxo Máximo Utilizando Pré-Fluxos Motivação & Intuição Operações Básicas Algoritmo Genérico Correcção do Método Análise do Método 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Pré-Fluxos — Intuição Operação mais localizada do que Ford-Fulkerson Não identificar caminhos de aumento Propriedade da conservação de fluxo não é mantida durante execução do algoritmo Cada vértice u contém reservatório de fluxo Representa excesso de fluxo e(u) Começar por enviar todo o fluxo possível de s para vértices adjacentes Noção de altura de cada vértice, que evolui com aplicação do algoritmo Envio de fluxo só de vértices mais altos para vértices mais baixos Fazer subir altura de vértices em caso de necessidade de envio de fluxo 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Definições Pré-Fluxo: f : V  V  R Verifica restrições de capacidade, simetria e f(V, u)  0 para vértices u  V - { s } Não verifica necessariamente conservação de fluxo Excesso de fluxo: e(u) = f(V, u) u  V - { s, t } transborda se e(u) > 0 Uma função h : V  N é uma função de alturas se h(s) = |V|, h(t) = 0, e h(u)  h(v) + 1 para todo o arco residual (u,v)  Ef Função de alturas permite estabelecer condições para ser possível enviar fluxo de u para v 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Operações Básicas Enviar fluxo de u para v: Push(u,v) df(u,v) = min(e[u], cf[u,v]) f[u,v] = f[u,v] + df(u,v) f[v,u] = - f[u,v] e[u] = e[u] - df(u,v) e[v] = e[v] + df(u,v) Aplica-se quando u transborda, cf[u,v] > 0, e h[u] = h[v] + 1 Subir altura de u: Aplica-se quando u transborda, e (u,v)  Ef implica h[u]  h[v] Relabel(u) h[u] = 1 + min{h[v] : (u,v)  Ef} 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Operações Básicas Operação de envio de fluxo de u para v, Push(u, v): Saturating push: arco (u, v) fica saturado após aplicação da operação Push (i.e. f(u,v) = c(u,v)) Caso contrário: Nonsaturating push OBS: Após um Push(u, v) nonsaturating, u deixa de transbordar 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Operações Básicas Initialize-Prefow(G, s) foreach v  V[G] h[u] = 0 e[u] = 0 foreach (u,v)  E[G] f[u,v] = 0 f[v,u] = 0 h[s] =|V[G]| foreach u  Adj[s] f[s,u] = c(s,u) f[u,s] = -c(s,u) e[u] = c(s,u) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Algoritmo Genérico Exemplo Generic-Push-Relabel(G) Initialize-Preflow(G, s) while existe operação de Push ou Relabel aplicável seleccionar e executar operação de Push ou Relabel return f 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Correcção do Método G = (V, E), rede de fluxo com fonte s e destino t, f um pré-fluxo, e h uma função de alturas para f. Se vértice u transborda, então u pode ser sujeito a uma operação de Relabel ou de Push h é função de alturas, pelo que h(u)  h(v) + 1 Se operação de Push não aplicável a u, então para qualquer arco residual (u, v), h(u) < h(v) + 1, pelo que h(u)  h(v) Assim, operação de Relabel pode ser aplicada a u 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Correcção do Método h[u] nunca decresce; se operação de Relabel é aplicada, h[u] aumenta de pelo menos 1 unidade Valor de h[u] apenas alterado em Relabel Aplicar Relabel se, para todo o (u, v)  Ef, h[u]  h[v] h[u] < 1 + min { h[v] : (u,v)  Ef } Pelo que valor de h[u] aumenta (de pelo menos 1 unidade) após Relabel 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Correcção do Método Durante a execução do algoritmo genérico o valor de h é mantido como função de alturas Inicialmente h é uma função de alturas Relabel(u) mantém h como função de alturas Arco (u, v) em Ef h[u]  h[v] + 1 após Relabel, pela definição de Relabel Arco (w, u) em Ef h[w]  h[u] + 1 antes de Relabel implica h[w] < h[u] + 1 após Relabel de u Push(u,v) mantém h como função de alturas (v, u) incluído em Ef h[v] = h[u] - 1 (novo arco não afecta função de alturas) (u, v) removido de Ef deixa de existir restrição em h devido a (u, v) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Correcção do Método Recapitular G = (V, E), rede de fluxo com fonte s e destino t, f um pré-fluxo, e h uma função de alturas para f. Se vértice u transborda, então u pode ser sujeito a uma operação de Relabel ou de Push h[u] nunca decresce; se operação de Relabel é aplicada, h[u] aumenta de pelo menos 1 unidade Durante a execução do algoritmo genérico valor de h é mantido como função de alturas 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Correcção do Método Em Gf não existe caminho de s para t Prova por contradição Admitir caminho p = v0, v1, , vk de s para t em Gf, com v0=s e vk=t Podemos admitir p caminho simples, k < |V| i = 0, 1, …, k-1 (vi, vi+1)  Ef, e h[vi]  h[vi+1] + 1 (função de alturas) Pelo que, h[s]  h[t] + k Como h[t] = 0, então h[s]  k < |V| Mas h[s] = |V|; uma contradição ! 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Correcção do Método Se algoritmo genérico termina, o pré-fluxo calculado é o fluxo máximo para G Inicialmente temos um pré-fluxo Devido a Initialize-Preflow Algoritmo mantém a existência de pré-fluxo invariante Push e Relabel não alteram invariante Se algoritmo termina, e[u] = 0 para qualquer vértice u Caso contrário poderia aplicar-se Push ou Relabel ! Nesta situação, pré-fluxo é um fluxo Porque não existem vértices a transbordar ! E não existe caminho de s para t na rede residual Porque h é função de alturas ! Pelo teorema do fluxo máximo corte mínimo, f é o fluxo máximo !! 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Análise do Método Para cada vértice u que transborda existe um caminho simples de u para s em Gf OBS: Fluxo enviado tem de poder ser cancelado h[u]  2|V|-1 para u  V h[s] e h[t] são constantes Relabel a u apenas aplicado quando vértice u transborda Existe caminho simples p de u para s p = v0, v1, , vk, v0 = u, vk = s, k  |V|-1 h[vi]  h[vi+1] + 1, i = 0, 1, …, k h[u] = h[v0]  h[vk] + k  h[s] + (|V|-1) = 2|V| - 1 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Análise do Método O número de operações de Relabel é não superior a 2|V|-1 para cada vértice e a (2|V| - 1)(|V| - 2) < 2|V|2 no total Relabel apenas pode ser aplicado a vértices em V - {s, t}, i.e. |V|-2 vértices Relabel faz subir valor de h[u] em pelo menos 1 unidade Para u  V - {s, t}, valores possíveis para h[u] entre 0 e 2|V|-1 Relabel aplicado a u não mais do que 2|V| - 1 vezes Número total de operações de Relabel não superior a: (2|V| - 1)(|V| - 2) < 2|V|2 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Análise do Método O número de saturating pushes é < 2|V||E| Analisar saturating pushes de u para v e de v para u Após Push(u,v), Push(v,u) requer aumento em h[v] de pelo menos 2 unidades Análise da soma de valores de h[u] com h[v], h[u]+h[v] Valor inicial é pelo menos 1 Para último Push h[u]+h[v]  (2|V|-1) + (2|V|-2) = 4|V|-3 Número de valores possíveis é não superior a 4|V| - 3 Número de pushes é não superior a ((4|V|-3) -1)/2 + 1 = 2|V|-1 para o par de vértices u, v Para todos os pares de vértices obtemos (2|V| - 1)|E| < 2|V||E| 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Análise do Método O número de nonsaturating pushes é 4|V|2(|V|+|E|) Seja X  V o conjunto de vértices que transborda Seja Operação de Relabel(u) aumenta  em menos de 2|V| Limitação da máxima altura possível para um vértice Saturating push aumenta  em menos de 2|V| Apenas um novo vértice pode ficar a transbordar e alturas não variam Nonsaturating push (u,v) decrementa  em pelo menos 1 u deixa de transbordar; v pode passar a transbordar e h[v] - h[u] = -1 O total de aumento de  é < 2|V|(2|V|2) + 2|V|(2|V||E|) = 4|V|2(|V|+|E|) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Pré-Fluxos — Análise do Método Como   0, número de nonsaturating pushes é menor do que 4|V|2(|V|+|E|) Número de operações elementares é O(V2E) Utilizar resultados anteriores Número de operações limitado pelo número de nonsaturating pushes Complexidade do algoritmo genérico é O(V2E) O(V) para operação Relabel (calcular novo valor de h) O(1) para operação Push (actualizar valores) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Algoritmo Relabel-To-Front Complexidade: O(V3) Descarga de um vértice u: Enviar todo o fluxo em excesso para os vértices vizinhos de u Lista de vizinhos de u: N[u] v em lista N[u] se: (u,v)  E ou (v,u)  E i.e. vértices para os quais um arco residual (u, v) pode existir Primeiro vizinho: head[N[u]] Próximo vizinho de u (a seguir a v): next-neighbor[v] 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Algoritmo Relabel-To-Front Operação de descarga de um vértice: Discharge (u) while e[u] > 0 v = current[u] if v = NIL Relabel(u) current[u] = head[N[u]] else if cf(u,v) > 0 and h[u] = h[v] + 1 Push(u,v) else current[u] = next-neighbor[v] 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Algoritmo Relabel-To-Front Relabel-To-Front(G, s, t) Initialize-Preflow(G, s) L = V - {s, t} por qualquer ordem foreach u  V - {s, t} current[u] = head[N[u]] u = head[L] while u  NIL oldh = h[u] Discharge(u) if h[u] > oldh colocar u na frente da lista L u = next[u] return f 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise de Relabel-To-Front Complexidade do ciclo principal: O(V3) Não contabilizando o tempo de Discharge Fase: tempo entre operações de relabel Número de fases = número de operações de Relabel = O(V2) O(V2) para qualquer algoritmo de Pré-Fluxo Cada fase consiste de O(V) execuções de Discharge Total de execuções de Discharge é O(V3) Complexidade (sem contabilizar Discharge) é O(V3) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise de Relabel-To-Front Complexidade acumulada das operações de Discharge: Operações Relabel: Complexidade: O(V E) para O(V2) operações de Relabel Actualizações de current[u]: Executadas O(degree(u)) vezes após Relabel de u Executadas O(V degree(u)) no total para cada vértice u (cada vértice pode ser sujeito a O(V) operações de relabel) Total: O(V E) Operações Push: Saturating pushes: O(V E) Nonsaturating pushes: Limitado pelo número de operações Discharge, porque retorna após nonsaturating push, i.e. O(V3) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise de Relabel-To-Front Complexidade do algoritmo: Complexidade (total) das operações de Discharge O(V3) Complexidade do algoritmo sem operações de Discharge O(V3) Complexidade do algoritmo Relabel-To-Front: O(V3) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Fluxos de Custo Mínimo G = (V,E), com custos cij e capacidades uij para cada arco (i,j)  E, e valor b(i) associado com cada i  V Calcular fluxo xij para cada arco (i,j) OBS: Fluxos xij são não negativos Propriedade de simetria não considerada nesta formulação 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Fluxos de Custo Mínimo Problema genérico de optimização em grafos. É possível reduzir outros problemas em grafos ao problema de fluxos de custo mínimo Exemplos: Caminhos Mais Curtos Fluxo Máximo 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Caminhos Mais Curtos com Fonte s uij =  xij: fluxo entre vértices i e j Enviar uma unidade de fluxo de s para cada um dos restantes vértices Fluxo que sai de s é |V|-1 Cada vértice recebe uma unidade de fluxo cij: peso do arco i,j Admitir todos os vértices atingíveis a partir de s 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Fluxos Máximos csi = -1 cji = 0, j  s xij: fluxo entre i e j conservação de fluxo simétrico do fluxo enviado de s para V - {s, t} 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Revisão Fluxos Máximos em Grafos Definições & Propriedades Método de Ford-Fulkerson Teorema do Fluxo Máximo Corte Mínimo Análise do algoritmo genérico Algoritmo de Edmonds-Karp Análise do algoritmo de Edmonds-Karp Emparelhamento Bipartido Máximo Algoritmos baseados em Pré-Fluxos Fluxos de Custo Mínimo A seguir: Emparelhamento de caracteres (CLR, Cap. 32) 2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos