CONCEITOS BÁSICOS DE GRAFOS

Apresentação em tema: "CONCEITOS BÁSICOS DE GRAFOS"— Transcrição da apresentação:

1 CONCEITOS BÁSICOS DE GRAFOS
Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Março

2 Vértices e Arestas Em um grafo não orientado G=(V,E), o conjunto de arestas E consiste em pares de vértices não ordenados. V={1,2,3,4,5,6} E={(1,2),(1,5),(2,5),(3,6)} 1 2 3 4 5 6

3 Vértices e Arestas Em um grafo orientado (ou dígrafo) G=(V,E), os arcos consistem em pares de vértices ordenados (u,v). V= {1,2,3,4,5,6} E={(1,2),(4,1),(2,4),...} 1 2 3 4 5 6

4 Vértices e Arestas Loop (laço): uma aresta que liga um vértice a ele mesmo Multi-aresta: é uma coleção de arestas que tem os mesmos pontos finais.

5 Classificação de Grafos
Simples: um grafo simples não tem loops nem multi-arestas Multigrafo: pode ter multi-arestas mas não pode ter laços Pseudografo: pode ter multi-arestas e laços Trivial: consiste de um vértice sem arestas Nulo: não tem vértices, nem arestas

6 Vizinho e Vizinhança Os vértices unidos por uma aresta são chamados de vizinhos. A vizinhança (aberta) de um vértice v em um grafo G, denotado por N(v), é o conjunto de todos os vizinhos de v. A vizinhança fechada de um vértice é N(v) U {v}.

7 Adjacência Vértices Adjacentes: se (u,v) é uma aresta em um grafo G=(V,E), dizemos que o vértice v é adjacente ao vértice u. Quando o grafo não é orientado a relação de adjacência é simétrica u v v é adjacente a u u é adjacente a v

8 u não é adjacente a v pois não existe a aresta (v,u)
Adjacência Quando o grafo é orientado a relação de adjacência não é simétrica u v v é adjacente a u u não é adjacente a v pois não existe a aresta (v,u)

9 Adjacência Nos dois exemplos o vértice 2 é adjacente ao vértice 1. Mas no segundo o vértice 1 não é adjacente ao vértice 2 pois não existe a aresta (2,1). 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Exemplo 1 Exemplo 2

10 Incidência Arestas Incidentes: se o vértice v é um dos pontos finais da aresta e, dizemos que e é incidente em v. Quando o grafo não é orientado a relação de incidência é simétrica. e u v

11 Incidência Nos exemplos abaixo a aresta (2,5) é incidente ao vértice 5. Mas no segundo a aresta (2,5) não incide no vértice 2. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Exemplo 1 Exemplo 2

12 Grau de um Vértice O grau de um vértice em um grafo não orientado é o número de arestas incidentes nele. Loops contam duas vezes Exemplo: o grau do vértice 2 do grafo abaixo é 4. 1 2 3 4 5 6

13 Grau de um Vértice Em um grafo orientado, temos a noção de grau de entrada e grau de saída. O grau de um vértice orientado é seu grau de entrada mais seu grau de saída. O grau de entrada do vértice 2 é 1 e o grau de saída é 3. 1 2 3 4 5 6

14 Soma dos Graus Leonhard Euler estabeleceu uma relação fundamental entre vértices e arestas em um grafo Teorema: a soma dos graus dos vértices de um grafo é duas vezes o número de arestas. Porque? Prova: Cada aresta contribui duas vezes para a soma dos graus.

15 Exercícios Dado o grafo abaixo, ache: O conjunto de vértices
O conjunto de arestas O grau de todos os vértices Os vértices adjacentes ao vértice 2 Construa uma tabela com os vizinhos de cada vértice 1 2 3 4 5

16 Exercícios Defina os conjuntos (V,E), ache os graus e os vizinhos de cada vértice do Grafo G das questões a, b e c.

17 Grafos valorados (Redes ≡ Networks)
Uma Rede é um grafo não-direcionado (ou um digrafo) no qual um número real é associado os vértices e/ou ligações. Este número é freqüentemente referido como o peso da ligação. Essa classificação é dada de acordo com a necessidade, ou não, da indicação do fluxo entre os vértices.

18 Grafos valorados (Redes ≡ Networks)
Na prática este número pode representar: - custos, distâncias, capacidades, e/ou suprimentos e demandas; - tempo (trânsito, permanência, etc); - confiabilidade de transmissão; - probabilidade de ocorrer falhas; - capacidade de carga; - outros.

19 Representação Matemática
Um Rede é representado matematicamente também por: G=(V,E,w) Onde: V é o conjunto de vértices; E é o conjunto de ligações; e w é o peso associado aos vértices e/ou ligações.

20 Grafos valorados (Redes ≡ Networks)

21 Exemplos de Grafos valorados (Redes ≡ Networks)
• Redes ferroviárias • Redes de telecomunicações • Redes de estradas • Redes Elétricas • Redes de esgotos • Redes de transportes • Redes de atividades → “scheduling” de atividades em grandes projetos

22 Redes de atividades

23 Famílias de Grafos Grafo Completo: é um grafo simples tal que cada par de vértices é interconectado por uma aresta. K4 K2 K3 K1

24 Famílias de Grafos Grafo Bipartido: é um grafo cujo conjunto de vértices pode ser dividido em dois subconjuntos U e W, tal que cada aresta do grafo conecta um vértice de U com um vértice de W.

25 Famílias de Grafos Um grafo bipartido não pode ter loops
Um grafo bipartido completo tem cada vértice de uma partição conectado a todos os vértices da outra partição K2,3

26 Famílias de Grafos Grafo Regular: é um grafo em que todos os vértices tem o mesmo grau Um grafo k-regular é regular e todos os vértices tem grau k Tetraedro Molécula de O2 Grafo de Petersen

27 Famílias de Grafos Bouquet: é um grafo que contém apenas um vértice com n loops Bipolar (Dipole): é um grafo que contém dois vértices ligados por n arestas B2 B4 D3

28 Famílias de Grafos Um grafo caminho P é um grafo simples com |VP| = |EP| + 1, tal que todos os vértices e arestas possam ser desenhados em uma linha reta P2 P4 P3

29 Famílias de Grafos Um grafo ciclo é um único vértice com um loop ou um grafo simples C, com |VC| = |EC|, tal que todos os vértices e arestas possam ser desenhados em um círculo C4 C1 C2

30 Famílias de Grafos Outros tipos de grafos: Hipercubo Escada Interseção
Intervalo Linha Etc.

31 Exercícios Desenhe o menor grafo não-bipartido possível
Desenhe um grafo bipartido 3-regular que não é K3,3 Respostas Triangulo Existem vários (tentar desenhar) a) n <= 2 b) todos os n pares c) todos os n Kn= C(n,2) = n!/2!(n-2)! = n2-n/2 ou Kn = (n deg(v))/2 = somatório de todos os graus dividido por 2 (baseado no teorema de Euler) Km,n=mn 31

32 Exercícios 3- Dê uma partição de vértices ou justifique porque o grafo não é bipartido x y u v w z x z u v U={x,v} V={u,z} U={x,z,u} V={w,y,v} 32

33 Gabarito 1 - loop 2 - 3 – U = {x, v} e W = {u,z}
U = {x, z, u} e W = {y, v, w} x z u v

34 Observação Como dito anteriormente, quando o conjunto de vértices de um grafo é particionado em dois subconjuntos U e W, tal que cada aresta do grafo conecta um vértice de U com um vértice de W, esse grafo é chamado bipartido. Também pode ser chamado 2-partido. Consequentemente, no caso de ser particionado em 3 subconjuntos teremos um 3-partido e assim sucessivamente até um k-partido (quando temos k subconjuntos).

35 Subgrafo ou sub-grafo Dizemos que um grafo H = (W,F) é um subgrafo, ou sub-estrutura, de um grafo G = (V,E), quando W V e F E. Observe que H é um grafo, o que implica na coerência das definições de W e de F, que não podem ser especificados de forma independente (ou seja, em H só podem existir ligações entre vértices de W).

36 Subgrafo ou sub-grafo

37 Subgrafo ou sub-grafo Diz que H é um subgrafo induzido quando F contiver exatamente as ligações de G envolvendo vértices de W Grafo G=(V,E) subgrafo induzido H=(W,F)

38 Subgrafo ou sub-grafo Um subgrafo abrangente (ou parcial) é quando W = V

39 Subgrafo ou sub-grafo K-fator
Um K-fator é um subgrafo abrangente regular de grau K. Enfim se H for um subgrafo de G, G será um supergrafo de H