Distribuição Binomial Prof. Ivan Balducci FOSJC / Unesp
Seja n um nº inteiro não-negativo. Então: O Teorema Binomial Seja n um nº inteiro não-negativo. Então:
O Teorema Binomial
Os Coeficientes Binomiais Para n e k inteiros não-negativos com Com frequência é lido como “n escolhe k”.
Exemplos: Cálculo dos Coeficientes Observe que Lembre que o 1º e o último termo na expansão têm um coeficiente igual a 1:
A soma dos exponentes é sempre n. Observação A soma dos exponentes é sempre n.
Exemplo
Expandindo uma Binomial Uma binomial é da forma a+b. Expandindo uma binomial…
Números Fatoriais
Exemplos
Exemplos
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Exemplos
Exemplos
Exemplos
Observações Sempre um inteiro positivo. Representa o número de modos de escolher k items de um grupo de n items. Pode ser generalizado para valores de n que não são inteiros.
Fórmula de Bernoulli Se a probabilidade de sucessos em um ensaio é p e a probabilidade de fracasso é q = 1-p, então p e q são constantes de ensaio a ensaio. Bernoulli mostrou que a probabilidade de observar exatamente r sucessos em n ensaios é expressa pelo r º termo da expansão para (p+ q)r: Pr[r sucessos e n-r fracassos] = (nCr) pr qn-r
A probabilidade de r sucessos é: Coeficiente Binomial n ( ) = n!/r!(n-r)! r A probabilidade de r sucessos é: n ( ) pr qn-r , r onde q = 1 - p
Observação Os coeficientes binomiais desta fórmula são os números da nª linha do triângulo de Pascal.
Cada número é a soma dos números da esquerda superior e direita superior: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … … … … …
Triângulo de Pascal
k = 0 diagonal k = 1 diagonal k = 2 diagonal Linha 0 Linha 1 Linha 2
1 2 3 6 4 5 10 15 20 7 8 9 21 35 28 56 70 36 84 126 45 120 210 252 linha 10
Triângulo de Pascal 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
Teorema Binomial. Para cada termo, Obtemos os coeficientes do Triângulo de Pascal
As linhas são os coeficientes da expansão binomial Triângulo de Pascal As linhas são os coeficientes da expansão binomial Row # 1 2 3 4 6 5 10
Distribuição Binomial Termos que devem ser familiares Distribuição Binomial de probabilidades Provas de Bernoulli Triângulo de Pascal