Método dos Mínimos Quadrados

Motivação A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros

Há necessidade de ajustar à função tabelada, uma função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados Esta boa aproximação deve permitir extrapolação com uma certa margem de segurança

Método dos mínimos Quadrados

Método dos mínimos Quadrados

Método dos mínimos Quadrados

Método dos mínimos Quadrados h(x) f(x) – h(x)

Método dos mínimos Quadrados

Método dos mínimos Quadrados h(x)

Método dos mínimos Quadrados h(x)

Caso discreto Sejam dados os pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), ..., (xm,f(xm)) os pontos conhecidos Sejam g1(x), g2(x), ..., gn(x) funções escolhidas de alguma forma Sendo m >= n

O objetivo é determinar coeficientes α1, α2,..., αn tal que h(x)= α1g1(x)+ α2g2(x)+...+ αngn(x) E h(x) se aproxime ao máximo de f(x)

Seja dk = f(xk) – h(xk) o desvio em xk O objetivo é encontrar α tal que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima

Minimizando os desvios Do cálculo diferencial: para obter um ponto de mínimo de F(α1,α2,...,αn) devemos encontrar os pontos críticos Devemos encontrar os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero

Regra da Cadeia

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Propriedades aij = aji – a matriz A é simétrica Se as funções gi(x) forem tais que os vetores gi resultantes forem linearmente independentes, o sistema admite uma única solução Se o sistema tem uma única solução, esta solução é o ponto mínimo da função F(α1,α2,...,αn)

Exemplo Seja o conjunto de pontos: Ajuste uma parábola do tipo x2aos pontos usando MQ x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,2 0,4 0,5 0,7 1 f(x) 2,05 1,153 0,45 0,6 0,512 1,2

x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,2 0,4 0,5 0,7 1 somas x2.x2 0,3164 0,1296 0,0625 0,0081 0,0016 0,0256 0,2401 2,8464 f(x).x2 2,05 0,6485 0,162 0,1 0,045 0,008 0,096 0,128 0,588 5,8756 2,8464α = 5,8756 α = 2,0642

Assim, h(x)=2,0642 x2 é a parábola que melhor se aproxima no sentido dos mínimos quadrados, da função tabelada

Para o caso contínuo Vimos o método dos mínimos quadrados para o caso discreto Como fazer para o caso contínuo?

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... Onde [a,b] é o intervalo onde f(x) e todas as gi(x) são contínuas

Casos não Lineares Em alguns casos a família de funções pode ser não linear nos parâmetros Nestes casos, deve-se linearizar o problema através de uma transformação conveniente O método dos mínimos quadrados pode ser aplicado no problema linearizado Os parâmetros obtidos não são ótimos porque o ajuste é feito no problema linearizado e não no problema original