7 Ajuste de Curvas UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.1)

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1 7 Ajuste de Curvas UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.1)

2 Método dos mínimos quadrados
Aplicação típica: Prever o comportamento de uma variável dependente (Y) a partir do valor de uma variável independente (x) Logo: Y é uma VA cuja distribuição depende de x Y X f(Y) Y = a + b x x1 x2 x3 UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.2)

3 Método dos mínimos quadrados
Caso linear: Y = a + b x + e onde e é uma variável aleatória uma estimativa de Y pode ser obtida a partir de: onde a e b são constantes UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.3)

4 mmq - caso linear Para cada ponto experimental (xi, yi) o erro será:
e o erro quadrático: que, quando minimizado em relação a “a” e “b”, leva às equações normais: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.4)

5 inferências baseadas nos estimadores do mmq
definindo: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.5)

6 inferências baseadas nos estimadores do mmq
a solução das equações normais é: a variância é estimada a partir das somas dos erros quadráticos residuais por: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.6)

7 intervalos de confiança para os coeficientes
Intervalos de confiança para a e b: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.7)

8 intervalos de confiança para os coeficientes
intervalos de confiança para a + b x0 x y intervalos de predição UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.8)

9 regressão curvilinear
Linearizar onde for possível: a) y = a bx log y = log a + x log b b) y = 1/(a + b x) 1/y = a + b x z = a + b x, sendo z = 1/y UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.9)

10 ajustes de polinômios y = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bp xp
Equações normais: y = n b0 + b1 x + b2 x bp xp xy = n b0 x + b1 x2 + b2 x bp xp+1 : xpy = n b0 xp + b1 xp+1 + b2 xp bp x2p UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.10)

11 regressão múltipla y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + ... + br xr
Equações normais: (ex. r = 2) y = n b0 + b1 x1 + b2 x2 x1y = b0 x1 + b1 x12 + b2 x1x2 x2y = b0 x2 + b1 x1x2 + b2 x22 UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.11)

12 verificação da adequabilidade do modelo
Para verificar se o modelo de regressão escolhido é adequado, deve-se: Plotar os resíduos Verificar a normalidade dos resíduos UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.12)

13 UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.13)

14 notação matricial O sistema de equações:
Pode ser escrito na notação matricial como: [x]{b} = {y} Cuja solução é: {b} = [x]-1{y} UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.14)

15 notação matricial O sistema de equações redundantes (mais equações que incógnitas): Também pode ser escrito na notação matricial como: [x]{b} = {y} Porém, sua solução não pode ser obtida da mesma forma que o caso anterior porque matrizes não quadradas não possuem inversa. UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.15)

16 notação matricial Para resolver sistemas de equações redundantes, faz-se: [x]T[x]{b} = [x]T{y} Cuja solução é: {b} = ([x]T[x])-1[x]T{y} Que equivale à solução pelo método dos mínimos quadrados UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.16)

17 exemplo 1: ajuste de uma reta pelo mmq
Reta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4) y = -0, ,044 x UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.17)

18 ajuste de um polinômio Ajustar um polinômio do tipo:
y = b0 + b1 x + b2 x bk xk Notação matricial: [x]{b} = {y} {b} = ([x]T[x])-1[x]T{y} UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.18)

19 ajuste de uma função Ajustar uma função do tipo:
y = b0 + b1 ln(x) + b2 cos(x2) bk x Notação matricial: [x]{b} = {y} {b} = ([x]T[x])-1[x]T{y} UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.19)

20 cálculo dos resíduos No caso geral em que:
A variância do resíduo pode ser estimada por: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.20)

21 cálculo da matriz de covariância
que pode ser estimada por: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.21)

22 intervalos de confiança para coeficientes
Para cada parâmetro (coeficiente) calculado: que leva à seguinte estimativa de intervalo de confiança para valores interpolados pela equação: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.22)

23 intervalos de confiança para predição:
Para predição de valores a partir da equação ajustada, são estimados os seguintes intervalos de confiança: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.23)

24 exemplo 2: cálculo de resíduos e variância
Reta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4) y = -0, ,044 x resíduos: variância: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.24)

25 exemplo 2: covariâncias e intervalos
matriz de covariâncias: Intervalos de confiança para os parâmetros ajustados: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.25)