COMPARAÇÃO MÉTODOS DIRETOS E ITERATIVOS

MEDIDA DO TEMPO DE EXECUÇÃO DE UM PROGRAMA O projeto de algoritmos é fortemente influenciado pelo estudo de seus comportamentos. Depois que um problema é analisado e decisões de projeto são finalizadas, é necessário estudar as várias opções de algoritmos a serem utilizados, considerando os aspectos de tempo de execução e espaço ocupado. Muitos desses algoritmos são encontrados em áreas como pesquisa operacional, otimização, teoria dos grafos, estatística, probabilidades, entre outras.

Custo de um Algoritmo Determinando o menor custo possível para resolver problemas de uma dada classe, temos a medida da dificuldade inerente para resolver o problema. Quando o custo de um algoritmo é igual ao menor custo possível, o algoritmo é ótimo para a medida de custo considerada. Podem existir vários algoritmos para resolver o mesmo problema. Se a mesma medida de custo é aplicada a diferentes algoritmos, então é possível compará- los e escolher o mais adequado.

FUNÇÃO DE COMPLEXIDADE A complexidade computacional de um algoritmo se refere à estimativa do esforço computacional despendido para resolver o problema e é medido pelo número necessário de operações aritméticas e lógicas. (Ex.: número de Adições e Multiplicações para resolver um sistema linear). Para medir o custo de execução de um algoritmo é comum definir uma função de custo ou função de complexidade f. f(n) é a medida do tempo necessário para executar um algoritmo para um problema de tamanho n. A complexidade de tempo na realidade não representa tempo diretamente, mas o número de vezes que determinada operação considerada relevante é executada.

Exemplo - Maior Elemento Considere o algoritmo para encontrar o maior elemento de um vetor de inteiros A[1::n]; n 1. function Max (var A: Vetor ) : integer ; var i , Temp: integer ; begin Temp := A[1] ; for i := 2 to n do i f Temp < A[ i ] then Temp := A[ i ] ; Max := Temp; end; Seja f uma função de complexidade tal que f(n) é o número de comparações entre os elementos de A, se A contiver n elementos. Logo f(n) = n - 1; para n > 0. Qualquer algoritmo para encontrar o maior elemento de um conjunto com n elementos, n ≥ 1, faz pelo menos n - 1 comparações.

Tamanho da Entrada de Dados A medida do custo de execução de um algoritmo depende principalmente do tamanho da entrada dos dados. É comum considerar o tempo de execução de um programa como uma função do tamanho da entrada.

ELIMINAÇÃO DE GAUSS Algoritmo: function [x] = gauss(n, A, b) c = [A b]; for ( j = 1:(n - 1) ) r = 1 / c(j,j); for ( i = (j + 1):n ) Mult = c(i,j) * r; c(i,j) = c(i,j) - Mult * c(j,j); for ( k = (j + 1):(n + 1) ) c(i,k) = c(i,k) - Mult * c(j,k); endfor x = zeros(n,1); x(n) = c(n,(n+1)) / c(n,n); for ( i = (n - 1):-1:1 ) Soma = 0; for ( j = (i + 1):n ) Soma = Soma + c(i,j) * x(j); x(i) = ( c(i,(n+1)) - Soma ) / c(i,i); endfunction

ELIMINAÇÃO DE GAUSS Principal parte: Complexidade O(n3) for ( j = 1:(n - 1) ) ... for ( i = (j + 1):n ) for ( k = (j + 1):(n + 1) ) endfor Complexidade O(n3) Métodos Diretos = O(n3)

Jacobi Algoritmo: function [x] = jacobi(n, A, b, Toler, IterMax) for ( i = 1:n ) r = 1 / A(i,i); for ( j = 1:n ) if ( i ~= j ) A(i,j) = A(i,j) * r; endif endfor b(i) = b(i) * r; x(i) = b(i); Iter = 0; while (1) Iter = Iter + 1; Soma = 0; if ( i ~= j ) Soma = Soma + A(i,j) * x(j); endif v(i) = b(i) - Soma; NormaNum = 0; NormaDen = 0; t = abs( v(i) - x(i) ); if ( t > NormaNum ) NormaNum = t; endif if ( abs(v(i)) > NormaDen ) NormaDen = abs(v(i)); endif x(i) = v(i); NormaRel = NormaNum / NormaDen; if ( (NormaRel <= Toler) | (Iter >= IterMax) ) break; endif endwhile if ( NormaRel <= Toler ) CondErro = 0; else CondErro = 1; endif endfunction

Jacobi Principal parte: Complexidade 2kn2 + n2 + n + 2k = O(n2) while (1) ... for ( i = 1:n ) for ( j = 1:n ) endfor if ( (NormaRel <= Toler) | (Iter >= IterMax) ) break; endif endwhile Complexidade 2kn2 + n2 + n + 2k = O(n2) Métodos Iterativos = O(n2)

EXECUÇÃO A = 10x10, 20x20, 30x30, ..., 200x200 n = 10, 20, 30, ..., 100. Método Direto - Eliminação de Gauss Método Iterativo - Jacobi Toler = 10-7 IterMax = 50

COMPARAÇÃO ENTRE ELIMINAÇÃO DE GAUSS E JACOBI

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