Elaine Teixeira de Oliveira Princípio da Indução Matemática e Recursividade Indução Matemática é um processo de prova ou demonstração de propriedades definidas sobre o conjunto dos números inteiros que, baseada numa quantidade finita de observações, estende e generaliza a propriedade para todo o conjunto de números inteiros. O processo de prova baseia-se nos seguintes argumentos: Prove que a propriedade vale para n=1, supondo que a propriedade vale para n, prove que ela também vale para n+1. Elaine Teixeira de Oliveira

Princípio de Indução Matemática Para provar n  N P(n): Lembrete: Para provar que alguma coisa é verdadeira para todo inteiro n  que algum valor, pense em indução. Provar: P(0) (caso base) (k)[P(k)  P(k+1)] (passo indutivo) Demonstrações por Indução Matemática Árvore genealógica da família Silva Geração Descendentes 1 2 = 21 2 4 = 22 3 8 = 23 . . . Parece que a geração n contém 2n descendentes. Mais formalmente, P(n) = 2n.

Princípio de Indução Matemática Exemplo 6.4: 20 = 1 = 21 – 1 20 + 21 = 1 + 2 = 3 = 22 – 1 20 + 21 + 22 = 1 + 2 + 4 = 7 = 23 – 1 20 + 21 + 22 + 23 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 24 – 1 No exemplo acima o padrão mais geral parece com: 20 + 21 + 22 +…+ 2n = 2n-1 – 1 Mas, não podemos afirmar que este padrão será sempre verdadeiro para todos os valores de n a menos que provemos. Prove que para todo número natural n, 20 + 21 + 22 +…+ 2n = 2n-1 – 1.

Princípio de Indução Matemática Prove que n  N, 3|(n3 – n), ou seja, que n3 – n é divisível por 3. Prove que n  5, 2n > n2. Prove que para todo inteiro positivo n, n2> n Prove que n2 > 3n para n  4. Prove que o número 22n – 1, n  N é divisível por 3. 12 + 22 + … + n2 = k(k+1)(2k+1)/6 1+3+5 +...+ (2n-1) = n2.

Relações de Recorrência Definições recorrentes Uma definição onde o item sendo definido aparece como parte da definição é chamada de definição recorrente ou definição por recorrência ou ainda definição por indução. Como?? Uma base, ou condição básica, onde alguns casos simples (pelo menos um) do item que está sendo definido são dados explicitamente. Um passo de indução ou recorrência, onde novos casos do item que está sendo definido são dados em função dos casos anteriores.

Seqüências Definidas por Recorrência Define-se o primeiro valor (ou alguns poucos ) na seqüência e depois os valores subseqüentes na seqüência em termos de valores anteriores Exemplo: A seqüência S é definida por recorrência por S(1) = 2 S(n) = 2S(n -1) para n  2 Relação de Recorrência

Algoritmos Definidos por Recorrência S(inteiro n) //função que calcula iterativamente o valor S(n) para a seqüência S do exemplo //anterior Variáveis locais: inteiro i //índice do laço Valor corrente // valor corrente da função S se n = 1 então retorne 2 senão i = 2 ValorCorrente = 2 enquanto i <= n faça ValorCorrente = 2 * ValorCorrente i = i + 1 fim do enquanto //agora o ValorCorrente tem o valor S(n) retorne ValorCorrente fim do se fim da função S Algoritmo Iterativo

Algoritmos Definidos por Recorrência S(inteiro n) //função que calcula o valor S(n) de forma recorrente para a //seqüência S do exemplo anterior se n = 1 então retorne 2 senão retorne 2 * S(n - 1) fim do se fim da função S Algoritmo Recorrente Mais curto Mais complicado Pode acontecer overflow

Resolvendo relações de recorrência Lembrando, do exemplo anterior: S(1) = 2 (1) S(n) = 2S(n - 1) para n  2 (2) Como S(1) = 2 = 21 S(2) = 4 = 22 S(3) = 8 = 23 S(4) = 16 = 24 e assim por diante, vemos que S(n) = 2n (3) É possível calcular diretamente S(n) sem ter que calcular explicitamente ou por recorrência. Solução em forma fechada para a relação de recorrência (2) sujeita à condição básica (1)

Problemas Recorrentes Problemas onde soluções utilizam a idéia de recorrência, onde a solução de cada problema depende de soluções de casos mais simples do mesmo problema. A Torre de Hanói Matemático francês Édouard Lucas em 1883 (8 discos). Lenda romântica sobre a Torre de Brama, com 64 discos de ouro empilhados em três agulhas de diamantes.

Problemas Recorrentes – Torre de Hanói Considerando uma torre com n discos n – 1 discos menores para pino intermediário (Tn-1 movimentos) maior disco (um movimento) n – 1 discos menores em cima do maior (Tn-1 movimentos) Tn  2Tn + 1, para n > 0 Corremos o risco de mover o maior disco mais de uma vez Tn  2Tn + 1, para n > 0 Essas duas inequações junto com a trivial para n = 0, fornecem T0 = 0 Tn = 2Tn-1 + 1, para n > 0 Como resolver essa relação de recorrência?

Problemas Recorrentes – Torre de Hanói Uma possibilidade é adivinhar a solução e depois provar que adivinhamos corretamente. (Casos mais simples) T1 = 2 * 0 + 1 = 1 T2 = 2 * 1 + 1 = 3 T3 = 2 * 3 + 1 = 7 T4 = 2 * 7 + 1 = 15 T5 = 2 * 15 + 1 = 31 T6 = 2 * 31 + 1 = 63 Está parecendo que Tn = 2n – 1 Vamos provar!

Problemas Recorrentes – Torre de Hanói Dicas para encontrar uma forma fechada, ou seja, encontrar uma solução da relação de recorrência: Considere casos simples. Isso nos faz compreender melhor o problema e nos ajuda nas etapas 2 e 3. Ache uma expressão matemática e prove sua validade. Ache uma forma fechada para a expressão matemática e demonstre sua validade. Curiosidade: Para a Torre de Brama (n=64), serão necessários 264 –1 movimentos (aproximadamente 18 quintilhões). Com a velocidade de um movimento por microssegundo, isso levaria 5000 séculos!

Exercícios Prove que 1 + 2 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1, para todo n  1. Para qualquer inteiro positivo n, 2n > n. Para todo inteiro positivo n, o número 22n – 1 é divisível por 3. Prove 13 + 23 + … + n3 = 1/4(n+1)2 n2 Encontre uma solução em forma fechada para a relação de recorrência S(n) = 2S(n-1) + 3 para n  2 sujeita à condição básica S(1) = 4