Física Experimental 1 Prof. Wellington Akira Iwamoto Grupo de Propriedades Magnéticas e Estruturais dos Sólidos (GPMES) Instituto de Física - Universidade Federal de Uberlândia. Uberlândia, MG, CEP 38.408-100, Brazil. Bloco 1X, sala 24

Objetivos da aula Algarismos significativos?; Erros e propagação de erro, porque?; Média, regressão linear (mínimos quadrados); Apresentação de dados: Figuras e tabelas; Organização dos resultados; Escrita de um relatório apresentável;

Realizando medidas de forma científica O que é medir? Medir significa quantificar uma grandeza com relação a algum padrão tomado como unidade; Uma medida não é absoluta O que acontece se eu repetir várias vezes a mesma medida? E se outra pessoa fizer a mesma medida? Se eu usar outro instrumento?  Qual o instrumento mais adequado para realizar uma medida? Exemplos a seguir mostram esta idéia

Exemplo de aspectos relacionados à medida 2 3 O valor medido depende da região do objeto que é medida. O que acontece se eu realizo medidas em regiões diferentes? Como expressar o resultado?

Exemplo de aspectos relacionados à medida 3 2 3 2 Como a precisão do instrumento influencia a medida realizada? Qual das duas réguas acima apresenta a maior precisão? Por quê?

Uma medida não é absoluta Irregularidades do objeto podem influenciar a medida final. As características do instrumento influem na medida. Mas, o que isso significa? Medidas experimentais não são absolutas. Sempre existe uma “incerteza” no resultado obtido. Como expressar essa “faixa de confiabilidade”? Supondo que exista um valor verdadeiro, que nunca saberemos qual é, como avaliar a qualidade da medida efetuada?

Para isso lançamos mão da média aritmética Qual valor utilizar? Medida do comprimento de um objeto Medida 1: 19,3cm  Medida 2: 19,1cm  Medida 2: 19,6cm  Precisamos de um único valor. EP Como determinar a melhor estimativa do comprimento do objeto? Para isso lançamos mão da média aritmética Melhor estimativa: (Medida 1 + Medida 2 + Medida 3)/3

Por que efetuar um número grande de medidas? Quanto maior o número de medidas mais nos aproximamos do valor médio (melhor estimativa para o valor verdadeiro).

Como saber o quão boa é nossa média? 1º Grupo de Medidas: Medida 1: 19,0 cm Medida 2: 19,8 cm Medida 3: 19,4 cm Média aritmética: 19,4 cm 2º Grupo de Medidas: Medida 1: 20,9 cm Medida 2: 18,2 cm Medida 3: 19,1 cm Média aritmética: 19,4 cm Calcular o desvio Os dois grupos de medidas são equivalentes? Quanto menor for a dispersão das nossas medidas consideramos que nossa média é mais precisa.

Extraindo informação dos dados experimentais Dado o conjunto {xi}. Os elementos deste conjunto são referentes à diversas medidas de uma mesma grandeza física. Todas estas medidas são realizadas a fim de se determinar, da melhor maneira possível, o valor verdadeiro x0, da grandeza física que se está realizando a medida. As medidas realizadas tem as seguintes características:  Estatisticamente Independentes  Obedecem a uma distribuição normal (Gaussiana) centrada em x0, com um desvio padrão σ

simétrico ∆ → 0 número de medidas → ∞ Gaussiana

Média A melhor estimativa para o valor verdadeiro x0 é dada através do valor médio: Esta é uma estimativa numérica para o valor verdadeiro (x0), mas apenas esta informação é muito pouco.

Quão boa é esta estimativa? Média Além da estimativa da grandeza medida x0, é fundamental que sejamos capazes de responder a seguinte questão: Quão boa é esta estimativa? Em geral, não podemos dizer que o valor que temos é exatamente o valor da grandeza medida.

Medida e sua confiabilidade Quantificar a qualidade da medida. Precisamos indicar uma estimativa de quão longe o nosso resultado pode estar do valor verdadeiro da grandeza medida.

Medida e sua confiabilidade Além disso, para que a informação fique completa, temos que responder a mais uma pergunta: “É absolutamente seguro que o valor verdadeiro da grandeza esteja nesse intervalo”

Medida e sua confiabilidade Para que a informação fique completa:  temos que determinar qual a probabilidade de que o valor verdadeiro esteja no intervalo de confiança. Feito isto, o resultado estará completo e terá alguma utilidade.

Medida e sua confiabilidade x0 σ -σ -2σ 2σ

Medida e sua confiabilidade Vamos interpretar o que significa que uma medida está centrada em x0 e com desvio padrão σ. A probabilidade de que uma medida (xi) estar entre:      (x0-σ) e (x0+σ) (vermelho) é de 0,68 (68%).     (x0-2σ) e (x0+2σ) (verde + vermelho) é de 0,95 (95%) A probabilidade de que uma medida (xi) estar entre:     (x0-3σ) e (x0+3σ) é de 0,99 (99%)

Desvio padrão da média A média dos N dados é a melhor estimativa para x0. A distribuição em torno de x0, desta média, é dada pelo erro estatístico (desvio padrão da média):

Como estimar σ A estimativa de σ é feita a partir dos próprios dados experimentais:

Precisão e Acurácia

RESUMINDO média: desvio padrão: erro estatístico:

Se toda medida tem uma incerteza, como representá-la? 2 3 Incerteza! Em geral, metade da menor divisão (2,75 + 0,05) cm Estou em dúvida Tenho certeza

e o erro do instrumento? Note que erro do instrumento não é a mesma coisa que erro sistemático!

Apresentando o resultado de uma medida com incerteza Se toda medida tem uma incerteza, como representá-la? Forma mais comum (Valor + incerteza) unidade Ex: (24,50 + 0,05) cm Forma compacta Valor(incerteza) unidade Ex: 24,50(5) cm

Apresentando o resultado de uma medida com incerteza Por que a incerteza é 0,05 e não 0,050 ou 0,053? Em geral, a incerteza é expressa somente com 1 algarismo significativo  Note que a representação da medida deve levar em consideração a incerteza (2,74 + 0,05) cm

O que são algarismos significativos? São algarismos que contribuem para a precisão de um número. Como saber quais algarismos são significativos? Regras: Todos os algarismos diferentes de zero são significativos Algarismos nulos (zeros) entre dois algarismos não-nulos são significativos Zeros à direita de outro algarismo significativo são significativos Zeros à esquerda da vírgula não são significativos

O que são algarismos significativos? Exemplos: número quantidade de algarismos significativos 0,5 1 0,05 0,050 2 1,08 3 120,00 5 1,3708x10-3

O que são algarismos significativos? Exemplos: número quantidade de algarismos significativos 0,5 1 0,05 0,050 2 1,08 3 120,00 5 1,3708x10-3

Alguns exemplos Forma correta Forma incorreta (2,74 + 0,05) cm (123,4 + 1,2) kg ou (123 + 1) kg Forma incorreta (2,7455 + 0,0532) cm (incerteza com muitos algarismos) (2,7 + 0,05) cm (a representação da medida não é compatível com a incerteza)

Como expressar o resultado de uma medida Adotaremos no relatório: 1. A incerteza deve ser escrita com apenas um algarismo significativo 2. O valor médio deve ter a mesma quantidade de casas decimais que a incerteza

Alguns exemplos ERRADO CERTO 5,30 + 0,0572 5,30 + 0,06 124,5 + 2 124,5 + 2 125 + 2 133 + 47 (1,3 + 0,5) x 102 (45 + 2,6) x 10 (4,5 + 0,3) x 102

Exemplo: 100 medidas do tempo associado a um fenômeno Entretanto: [0-4] mantém o número [5-9] arredonda p/cima 1.235464s 0.03s = Þ D t x total

Tabelas e gráficos Gráficos e tabelas são usados para apresentar resultados de um experimento. Traduzem de forma clara e objetiva os resultados obtidos. Tabelas: organização dos dados coletados em linhas e colunas Gráficos: ilustração dos dados; facilita a visualização da relação/dependência entre os números

Tabelas Tabela 1: Distenção da mola em função da massa Elementos de uma tabela: Valores – resultados do experimento / análise Título – breve descrição Cabeçalho – o que mostra cada coluna (com unidades) Tabela 1: Distenção da mola em função da massa título (numerar tabela) cabeçalho Quando a ordem for importante, indicá-la algarismos significativos e erros Explicar símbolos usados no cabeçalho

Gráficos Elementos de um gráfico: Título Legenda para cada eixo Escala para cada eixo Pontos com barras de erro Escala: Intervalos regulares Valores fáceis de serem lidos Origens/escalas podem ser diferentes para os dois eixos Legenda (com unidades) Figura 1 – Exemplo de um gráfico simples título (numerar gráfico)

Gráficos Atenção: NUNCA colocar valores dos pontos da tabela no gráfico! Evitar ligar os pontos. O título deve descrever claramente o que está sendo mostrado. Evitar: “y vs. t”, mas sim “altura da esfera em função do seu tempo de queda”. Usar barras de erro.

Gráficos Barras de erro: Posição central é a média da medida Barra de erro da abscissa começa em e termina em . O mesmo vale para a ordenada. ordenada abscissa

Gráficos – mau exemplo 1 Problemas com o gráfico: Escalas irregulares Linhas tracejadas marcando posicionamento dos pontos Não há barras de erro Linha conectando os pontos Título pouco descritivo

Gráficos – mau exemplo 2 Problemas com o gráfico Escalas irregulares e orientações diferentes dos números Linhas sólidas marcando posicionamento dos pontos Unidades não estão indicadas Ausência de barras de erro Gráfico não foi numerado/não há título

Gráficos – bom exemplo Escalas regulares com valores fáceis de ler Pontos com barras de erro Legenda com unidades Gráfico numerado Título descritivo

Lei de potência Frequentemente observamos em ciência que: Difícil de distinguir em gráfico linear entre diferentes leis de potência: y = a x2 y = a x4 y = a x1

Leis de potência Como obter constante a e expoente b? Resposta: linearizar a equação Tirando o logaritmo de ambos os lados: comparar com Eq. da reta coeficiente linear angular

Lei de potência O gráfico de log(y) em função de log(x) é uma linha reta: coeficiente angular é b (expoente da lei de escala) reta interseciona eixo log(y) em log(a) log(x) log(y) log(a)

Gráfico linear: log(y) vs. log(x) Dados experimentais Coeficiente angular: log log(y) Coeficiente linear: A log(x) Lei de potência:

Propagação de erros e mínimos quadrados

RESUMINDO média: desvio padrão: erro estatístico:

Propagação de erros Valor médio : Erro da medida: Apostila e roteiros;

Exemplos

Mínimos quadrados Probabilidade Pi de ocorrer a medida (xi, yi, i) Probabilidade P de ocorrer para N medidas

Mínimos quadrados Valor médio, onde a1, a2, a3,...,an são parâmetros do modelo Para que P seja máximo, ou seja, para que a função f seja a mais adquada para nossas medidas, 2 deve ser mínimo:

Mínimos quadrados Para que P seja máximo, ou seja, para que a função f seja a mais adquada para nossas medidas, 2 deve ser mínimo:

Mínimos quadrados

Mínimos quadrados

Mínimos quadrados

Mínimos quadrados

CONSULTAR!!!!! wiwamoto@infis.ufu.br; Sala: bloco 1X24; Roteiros experimentais; Apostila de apoio (como apresentar tabelas, figuras) Roteiro de relatório; Notas de relatórios e provas;

FIM