Programação Dinâmica Profa. Sandra de Amo Bacharelado em Ciência da Computação – UFU Disciplina de Análise de Algoritmos

Um exemplo de motivação Problema: encontrar o caminho mais curto entre dois vértices S e A em um grafo dirigido acíclico. Algoritmo de Dijkstra resolve este problema em tempo O(|V| 2 ) ou O((|E|+|V|) log(|V|) (dependendo do tipo de implementação da fila com prioridades)

Uma outra técnica para resolver este problema - Grafos acíclicos dirigidos são linearizáveis Linearização: vértices podem ser ordenados de modo que qualquer u  v sempre vai da esquerda para a direita seguindo a ordem dos vértices Por que isto ajuda na hora de encontrar o menor caminho entre dois vértices, por exemplo S para D ?

Encontrando o menor caminho, usando a linearização do grafo A única maneira de chegar a D a partir de S, é vindo de B ou de C dist(D) = comprimento total do menor caminho entre S e D = min{ dist(B) + 1, dist(C) + 3 } Problema original Subproblema

Encontrando o menor caminho, usando a linearização do grafo dist(D) = comprimento total do menor caminho entre S e D = min{ dist(B) + 1, dist(C) + 3 } dist(B) = dist(A) + 6 dist(A) = min{ dist(C) + 4, dist(S) + 1} dist(S) = 0 dist(C) = dist(S) + 2 Temos 4 subproblemas: dist(B), dist(A), dist(C) e dist(S) a resolver A ordem dos vértices dada pela linearização do grafo, induz uma ordem nos subproblemas !!

Programação dinâmica: características principais da técnica A solução de um problema P se reduz a resolver completamente um conjunto de subproblemas P1,..., Pn Os subproblemas são ORDENADOS Subproblemas são resolvidos em ordem crescente Armazena-se as soluções obtidas na etapa k para resolver o problema da etapa k+1. Exemplo: dist(D) = comprimento total do menor caminho entre S e D = min{ dist(B) + 1, dist(C) + 3 } dist(B) = dist(A) + 6 dist(A) = min{ dist(C) + 4, dist(S) + 1} dist(S) = 0 dist(C) = dist(S) + 2  dist(C) = 2  dist(A) = min{2+4, 0+1} = 1  dist(B) = 7 = min{7+1, 2+3} = 5

dist(D) = comprimento total do menor caminho entre S e D = min{ dist(B) + 1, dist(C) + 3 } dist(B) = dist(A) + 6 dist(A) = min{ dist(C) + 4, dist(S) + 1} dist(S) = 0 dist(C) = dist(S) + 2  dist(C) = 2  dist(A) = min{2+4, 0+1} = 1  dist(B) = 7 = min{7+1, 2+3} = 5 Caminho mais curto: S – C, C - D

Algoritmo para Caminho mais curto usando PD Input: Grafo G = (V,E) acíclico, vértice inicial S Output: Um array dist com |V| posições contendo na posição do vértice A, o comprimento do caminho mais curto de S para A. Lineariza G; (O(|V| + |E|) Para todo vértice x dist(x) = inf dist(S) = 0 Para cada v  V – {S}, na ordem linear Para cada aresta e = (u,v) ∈ E K e = dist(u) + l(u,v) % dist(u) já foi calculado, pois u vem antes de v na ordem !! dist(v) = min{ K e }

Análise de Complexidade Complexidade PD: O(|V|+|E|) + O(|V|) + O(|V| + |E|) = O(|V| + |E|) Dijkstra: O(|V|2) ou O((|E| + |V|).log(|V|) PD é melhor que Dijkstra (mas só funciona para grafos acíclicos dirigidos !)

Programação Dinâmica Paradigma algoritmo bastante poderoso Um problema P é reduzido a uma sequência ordenada de subproblemas P1, P2,...,Pn = P Resolve-se completamente cada subproblema na ordem até chegar a P. A solução de um problema Pk consiste em aplicar uma função simples às soluções (já encontradas) de problemas Pi, com i<k. Técnica de planejamento introduzida por Richard Bellman nos anos 50. O termo programação dinâmica era utilizado no sentido de planejamento dinâmico !

Um outro exemplo: Subsequências crescentes mais longas Seja S uma sequência de números naturais {a1,a2,...,an} Uma subsequência é um subconjunto de S considerado em sequência: a i1, a i2,..., a ik Uma subsequência crescente é uma subsequência de S onde os números são pegos em ordem estritamente crescente a i1 < a i2 <... < a ik Exemplo : S = 5, 2, 8, 6, 3, 6, 9, 7 Subsequência crescente : 2, 3, 6, 9 Problema: Encontrar a subsequência crescente mais longa.

Como reduzir o problema a um problema de grafos Associar a S (sequência original) um grafo dirigido acíclico: Vértices = números da sequência S Aresta (u,v): se u < v e u aparece antes de v na sequência S subsequência crescente mais longa = caminho mais longo no grafo

Como usar a técnica de PD para resolver o problema ? 1. Precisamos encontrar os subproblemas 2. Ordenar os subproblemas em ordem crescente 3. Encontrar uma função que opera sobre resultados de subproblemas já resolvidos em etapas i < k, a fim de resolver o problema da etapa k L(7) = comprimento do caminho mais longo finalizando no vértice v7 = 1 + max{L(0), L(1), L(3), L(4), L(5)} v7v0

Solução usando PD 1.Constrói grafo reverso G R = (V,E R ) 2.Para todo j =1,2,...,n 3. Se Lista de adjacências (em G R ) do vértice j ≠ 4. L(j) = 1 + max{ L(i): (j,i)  E R } 5. L(j) = 0 6.Retorna max{L(j): j = 1,...,n} L(j) = comprimento do caminho mais longo finalizando em j = subsequência crescente mais longa finalizando em j.

Constrói Grafo reverso G R : O(|E| + |V|) Complexidade: O(|V| + |E|) + O(n) Varre os vértices em ordem crescente de G R e as listas de adjacências de cada vértice de G R Varre os vértices para determinar max{L(j): j = 1,...,n Pior caso: sequência original está ordenada em ordem crescente |E| = |V| 2 Complexidade = O(|V| 2 ) Análise de Complexidade

Recursão versus PD Complexidade = O(2 |V| ) Pior Caso: a sequência está ordenada em ordem crescente. ARVORE DE RECURSÃO Profundidade = n Nr. de nós = O(2 n ) Execuções Repetidas !!!