CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS A célula unitária é a base, com o sistema de coordenadas com três eixos. Em todos os sistemas cristalinos, à exceção do sistema hexagonal, os planos cristalográficos são especificados por três índices de Miller como (hkl). Quaisquer dois planos paralelos entre si são equivalentes e possuem índices idênticos.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Procedimento para determinação dos valores dos índices h, k e l: Se o plano passa pela origem selecionada, um outro plano paralelo deve ser construído no interior da célula unitária mediante uma translação apropriada ou uma nova origem deve ser estabelecida no vértice de uma outra célula unitária.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Feito isso, o plano cristalográfico ou interceptará cada um dos três eixos ou será paralelo a algum dos eixos; o comprimento da interseção do plano com cada eixo é determinado em termos dos parâmetros da rede cristalina a, b e c. Os valores inversos desses números são calculados. Um plano que é paralelo a um eixo pode ser considerado como tendo uma interseção no infinito e, portanto, um índice igual a zero.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Se necessário, esses três números são modificados para o conjunto de menores números inteiros pela multiplicação ou divisão por um fator comum. Finalmente, os índices inteiros, não separados por vírgulas, são colocados entre parênteses, obtendo-se (hkl)

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Uma interseção no lado negativo da origem é indicada por uma barra ou por um sinal de menos posicionado sobre o índice apropriado.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS Representações de uma série de planos cristalográficos equivalentes Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS Representações de uma série de planos cristalográficos equivalentes Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Uma característica interessante e exclusiva dos cristais cúbicos é o fato de que os planos e as direções que possuem os mesmos índices são perpendiculares entre si; para os demais sistemas cristalinos não existem relações geométricas simples entre planos e direções com os mesmos índices.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Determine os índices de Miller para o plano mostrado na figura a seguir: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Determine os índices de Miller para o plano mostrado na figura a seguir: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Determine os índices de Miller para o plano mostrado na figura a seguir: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 2) Construa o plano (0 1 1) no interior de uma célula unitária cúbica. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 2) Construa o plano (0 1 1) no interior de uma célula unitária cúbica. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Arranjos atômicos O arranjo atômico depende da estrutura cristalina. Os plano atômicos (110) para as estruturas cristalinas CFC e CCC estão representados abaixo, pelo modelo de esferas reduzidas. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Arranjos atômicos O arranjo atômico depende da estrutura cristalina. Os plano atômicos (110) para as estruturas cristalinas CFC e CCC estão representados abaixo, pelo modelo de esferas reduzidas. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Nas figuras vê-se que o empacotamento atômico é diferente para cada caso. Os círculos representam os átomos localizados nos planos cristalográficos, da forma como eles seriam obtidos de um corte feito através dos centros das esferas rígidas se tocando.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Uma família de planos contém todos aqueles planos que são cristalograficamente equivalentes, ou seja, que possuem o mesmo empacotamento atômico; e uma família é designada por índices que são colocados entre chaves, tal como {100}. Por exemplo, nos cristais cúbicos, os plano (111), ( 111 ), ( 1 11), (1 11 ), (11 1 ), ( 11 1), ( 1 1 1 ) e (1 1 1) pertencem todos à família {111}.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Por outro lado, para estruturas cristalinas tetragonais, a família {100} conteria apenas os planos (100), ( 1 00), (010) e (0 1 0), uma vez que os planos (001) e (00 1 ) não são cristalograficamente equivalentes. Apenas no sistema cúbico, os planos que possuem os mesmos índices, independentemente de sua ordem e do seu sinal, são equivalentes. Por exemplo, tanto (1 2 3) como (3 1 2) pertencem à família {123}.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Quais são os índices para os dois planos representados na figura que se segue? Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Esboce no interior de uma célula unitária cúbica os seguintes planos: a) (10 1 ) b) (2 1 1) c) (012) d) (3 1 3) e) ( 1 1 1 ) f) ( 2 12) g) (3 1 2) h) (301)

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Determine os índices de Miller para os planos que estão mostrados na seguinte célula unitária: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Determine os índices de Miller para os planos que estão mostrados na seguinte célula unitária: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Determine os índices de Miller para os planos que estão mostrados na seguinte célula unitária: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 6) Esboce o empacotamento atômico para: O plano (100) da estrutura cristalina CFC; O plano (111) da estrutura cristalina CCC

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR A equivalência direcional está relacionada à densidade linear no sentido de que, para um material específico, direções equivalentes possuem densidades lineares idênticas. O parâmetro correspondente para planos cristalográficos é a densidade planar e planos com mesmos valores para a densidade planar também são equivalentes.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR A densidade linear (DL) é definida como o número de átomos por unidade de comprimento cujos centros estão sobre o vetor direção para uma direção cristalográfica específica. DL= número de átomos centrados no vetor direção comprimento do vetor direção A unidade no SI para densidade linear é m-1.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR Por exemplo, vamos determinar a densidade linear da direção [110] para a estrutura cristalina CFC. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR Por exemplo, vamos determinar a densidade linear da direção [110] para a estrutura cristalina CFC. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR Estão representados na figura anterior os cinco átomos da face inferior da célula unitária; o vetor direção [110] passa do centro do átomo X, através do átomo Y, até finalmente o centro do átomo Z. Em relação ao número de átomos, é necessário levar em consideração o compartilhamento de átomos com células unitárias adjacentes.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR Cada um dos átomos de vértice X e Z também é compartilhado com uma outra célula unitária adjacente ao longo dessa direção [110]. Dessa forma, existe uma equivalência de dois átomos ao longo do vetor direção [110] na célula unitária. O comprimento do vetor direção é igual a 4R. DL 110 = 2 átomos 4R = 1 2R

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR A densidade planar é definida como o número de átomos por unidade de área que estão contidos em um plano cristalográfico específico, ou seja: DP= número de átomos no plano área do plano A unidade da densidade planar no SI é m-2.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR Por exemplo seja a seção de um plano (110) no interior de uma célula unitária CFC. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR Embora seis átomos tenham centros localizados nesse plano, apenas um quarto de cada um dos átomos A, C, D e F e metade dos átomos B e E, para uma equivalência total de apenas 2 átomos, estão sobre aquele plano. A área dessa seção retangular é igual ao produto do seu comprimento pela largura, isto é, 4R e 2R 2 , respectivamente.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR Dessa forma : 𝐷𝑃 110 = 2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 4𝑅.2𝑅 2 = 1 4 R 2 2 As densidades linear e planar são considerações importantes relacionadas ao processo de escorregamento, ou seja, ao mecanismo pelo qual os metais se deformam plasticamente. O escorregamento ocorre nos planos cristalográficos mais compactos e, nesses planos, ao longo das direções que possuem maior empacotamento atômico.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR Faça o que se pede: Desenvolva expressões para a densidade linear para as direções [100] e [111] em estruturas cristalinas CFC em termos do raio atômico R. Calcule e compare os valores da densidade linear para essas mesmas duas direções no cobre. Dado Rcu = 0,1278 nm

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR Faça o que se pede: Desenvolva expressões para a densidade linear para as direções [110] e [111] em estruturas cristalinas CCC em termos do raio atômico R. Calcule e compare os valores da densidade linear para essas mesmas duas direções no ferro. Dado: Rfe = 0,1241 nm

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR Faça o que se pede: Desenvolva expressões para a densidade planar para os planos (100) e (111) em estruturas cristalinas CFC em termos do raio atômico R. Calcule e compare os valores da densidade planar para essas mesmos dois planos no alumínio. Dado Ral = 0,1431 nm

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DENSIDADE LINEAR E PLANAR Faça o que se pede: Desenvolva expressões para a densidade planar para os planos (100) e (110) em estruturas cristalinas CCC em termos do raio atômico R. Calcule e compare os valores da densidade planar para essas mesmas dois planos no molibdênio. Dado Rmo 0,1363 nm