©2000 Paulo Adeodato Avaliação de Desempenho de Sistemas Análise de Fila Única Paulo Adeodato Departamento de Informática Universidade Federal de Pernambuco

©2000 Paulo Adeodato Conteúdo * Processos de Nascimento-Morte * Análise do Comportamento no Regime Permanente * Exemplo * Propriedades de Filas Únicas * Limitações da Análise

©2000 Paulo Adeodato Características da Fila Única * O sistema mais simples * Aplicações: CPU única dispositivos isolados * Processo de nascimento-morte: processo de Markov com a transição de estados limitada aos vizinhos e.g. n(t+1)  {n(t)-1, n(t), n(t)+1} * Seqüências temporais de variáveis aleatórias n(t) número de jobs numa CPU no instante de tempo t w(t) tempo de espera na fila no instante de tempo t * Utilizados para representar o estado de sistemas com filas

©2000 Paulo Adeodato Tipos de Processos Estocásticos-1 Cadeias de Markov tempo contínuo espaço contínuo tempo discreto espaço contínuo tempo contínuo espaço discreto tempo discreto espaço discreto Processos de Markov n(t) w(t) Cadeias estocásticas

©2000 Paulo Adeodato Processos Estocásticos-2 * Classificação: Tempo: discreto ou contínuo Estado: discreto ou contínuo Memória:  com memória Y(t+1)=f [ Y(t),Y(t-1),...,Y(t-r+1) ]  sem memória Y(t+1)=f [ Y(t) ] * Processo de Markov: sem memória  distribuição exponencial válido para filas do tipo M/M/m:  n(t) cadeia de Markov  w(t) processo de Markov

©2000 Paulo Adeodato Análise do Processo de Nascimento-Morte em Regime Permanente * Objetivos: Associar a cada estado n(t) a sua probabilidade de ocorrência p n e deduzir as demais informações a partir do conhecimento desse espaço de probabilidade.

©2000 Paulo Adeodato Roteiro de Análise do Processo de Nascimento-Morte em Regime Permanente 0 0 11 1 1 22 2 2 33 j-2  j-1 j-1 jj j j  j+1 j+1  j+2 1- Criar o modelo do diagrama de transição de estados de um processo de nascimento-morte para a fila desejada

©2000 Paulo Adeodato Roteiro de Análise do Processo de Nascimento-Morte em Regime Permanente 2- A partir do diagrama de transições de estado, obter as probabilidades de transição para cada estado no instante (t+  t) 3- Rearranjar a equação da probabilidade de transição do estado j para obter a sua taxa de variação ao longo do tempo e tomar o limite  t  0

©2000 Paulo Adeodato Roteiro de Análise do Processo de Nascimento-Morte em Regime Permanente * apenas as probabilidades estabilizam; os estados variam 5- Explicitar a probabilidade do estado j+1 em função dos estados de menor ordem (filas menores) 4- Achar o ponto de equilíbrio (regime permanente, t   )

©2000 Paulo Adeodato Roteiro de Análise do Processo de Nascimento-Morte em Regime Permanente * apenas as probabilidades estabilizam; os estados variam 7- Obter a probabilidade do estado j=0 a partir do axioma de Kolmogorov 6- Eliminar a recursão

©2000 Paulo Adeodato Análise da Fila Única M/M/1 em Regime Permanente 1- Considerar os parâmetros dos processos de chegada e atendimento da fila independentes do tamanho da mesma 0  1  2   j-1  j  j+1 

©2000 Paulo Adeodato Análise da Fila Única M/M/1 em Regime Permanente 2- Simplificar a expressão da probabilidades associadas a cada estado no processo de nascimento-morte onde  é definida como a intensidade de tráfego. O somatório só converge se o sistema for estável   < 1.

©2000 Paulo Adeodato Propriedades da Fila Única M/M/1 * Utilização (U): probabilidade de haver alguém utilizando o sistema  Tamanho médio da fila ( E[n] )  Variância do tamanho da fila ( V[n] )  Coeficiente de variação do tamanho da fila ( C.V.[n] )

©2000 Paulo Adeodato Propriedades da Fila Única M/M/1  Probabilidade de haver n ou mais jobs na fila  Tempo médio de resposta ( E[r] ) Lei de Little: E[n]= E[r]  F.D.A. do tempo de resposta ( F[r] ) (fdp exponencial)

©2000 Paulo Adeodato Propriedades da Fila Única M/M/1  F.D.A. do tempo de resposta ( F[r] ) (por comparação) logo:  Variância do tempo de resposta ( V[r] )

©2000 Paulo Adeodato Propriedades da Fila Única M/M/1  Percentis de ordem q  Tempo médio de espera ( E[w] )  F.D.A. do tempo de espera ( F[w] )  Percentis de ordem q

©2000 Paulo Adeodato Análise da Fila Única M/M/m em Regime Permanente 1- Considerar os parâmetros dos processos de chegada e atendimento da fila independentes do tamanho da mesma 0  1 22 2 33 m  -1 m-1 mm m mm m+1 mm

©2000 Paulo Adeodato Análise da Fila Única M/M/m/B em Regime Permanente 1- Considerar os parâmetros dos processos de chegada e atendimento da fila independentes do tamanho da mesma 0  1 22 2 33 m  -1 B m mm m+1 mm m-1 mm mm

©2000 Paulo Adeodato Análise da Fila Única M/M/m em Regime Permanente 2- Simplificar a expressão da probabilidades associadas a cada estado no processo de nascimento-morte onde  é definida como a intensidade de tráfego. O somatório só converge se o sistema for estável   < 1.

©2000 Paulo Adeodato Propriedades da Fila Única M/M/1 * Utilização (U): probabilidade de haver alguém utilizando o sistema  Tamanho médio da fila ( E[n] )  Variância do tamanho da fila ( V[n] )  Coeficiente de variação do tamanho da fila ( C.V.[n] )

©2000 Paulo Adeodato Propriedades da Fila Única M/M/1  Probabilidade de haver n ou mais jobs na fila  Tempo médio de resposta ( E[r] ) Lei de Little: E[n]= E[r]  F.D.A. do tempo de resposta ( F[r] ) (fdp exponencial)

©2000 Paulo Adeodato Propriedades da Fila Única M/M/1  F.D.A. do tempo de resposta ( F[r] ) (por comparação) logo:  Variância do tempo de resposta ( V[r] )

©2000 Paulo Adeodato Limitações da Análise

©2000 Paulo Adeodato Referências Bibliográficas * Raj Jain (1991) The Art of Computer Systems Performance Analysis: Techniques for Experimental Design, Measurement and Modeling John Wiley & Sons Capítulo 31