Administração - UFMT Modalidade – Educação a Distância Matemática Administração - UFMT Modalidade – Educação a Distância

Capitulo 1 - Conjuntos Introdução Subconjuntos Operações Envolvendo Conjuntos Conjunto das Partes de um Conjunto Produto Cartesiano

Objetivo do Capítulo Reconhecer o que é um Conjunto e um subconjunto Conhecer alguns conjuntos específicos Saber realizar operações com conjuntos

Introdução Conceito: Nomenclatura Conjunto é uma coleção de objetos de qualquer tipo. Exemplo Pessoas residentes no Mato Grosso do Sul Números inteiros entre 1 e 100. Numeros reais entre 0 e 1. Nomenclatura Designamos conjuntos por letras maiúsculas: A, B, C... Os elementos do conjunto são representados por letras minúsculas: a, b, c... Conjuntos são apresentados entre chaves. Exemplo: A = {a,b,c}

Introdução Relação de Pertinência Formas de designar um conjunto Elemento e conjunto a A, x  A. Formas de designar um conjunto Listar explicitamente os elementos A = { 2, 4, 6 } Designar uma propriedade que permita identificar quem é e, quem não é elemento A = { x | x é impar }

Introdução Um conjunto que não possui elementos será denominado Conjunto Vazio e representado por .

Subconjuntos Subconjuntos Sejam A e B dois conjuntos tal que todo elemento de A pertence a B. Quando isto ocorre dizemos que A é subconjunto de B, isto é, A  B  x A x  B leia-se: o conjunto A esta contido no conjunto B (é subconjunto de B), é equivalente a afirmar que todo elemento pertencente ao conjunto A pertence ao conjunto B

Subconjuntos Subconjuntos Exemplos: {0,1}  {0, 1, 2, 3} {0, 1}  {0, 1} {0, 2}  {0, 1, 3, 5} Obs1: Se A  B também dizemos que B  A Se o conjunto A esta contido no B, então o conjunto B contém o conjunto A. Obs 2: O conjunto vazio esta contido em qualquer conjunto

Assim dizemos que 1 {0, 1, 2, 3} e que Subconjuntos IMPORTANTISSIMO O símbolo  relaciona elemento e conjunto. O símbolo  relaciona dois conjuntos. Assim dizemos que 1 {0, 1, 2, 3} e que {1}  {0, 1, 2, 3}

Subconjuntos Admitiremos a existência de um conjunto que contém todos os elementos com os quais estamos trabalhando. Denominaremos este conjunto de Conjunto Universo e representaremos pela letra E.

Subconjuntos Dizemos que o conjunto A e o conjunto B são iguais se, e somente se, todo elemento de A estiver em B, e todo elemento de B estiver em A. A = B  A  B e B  A

Diagrama de Venn (A  B)

Operações Envolvendo Conjuntos Intersecção de conjuntos Sejam P e Q conjuntos de um universo E. A intersecção de P e Q é o conjunto de elementos de E que pertencem simultaneamente a P e Q. P  Q = { xE / x  P e x  Q} Exemplo: P ={1,2,3,4} e Q={3,4,5,6} P  Q = {3,4} Em geral, se A  B  A  B= A A=, AE=A e AA=A, para todo conjunto A ( A) Quando AB=, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos

Operações Envolvendo Conjuntos União de conjuntos Sejam P e Q conjuntos de E. A união entre P e Q é o conjunto de elementos de E que pertencem a P ou a Q (isto é, a pelo menos um dos conjuntos) e é denotado por: P  Q = {xE / x  P ou x  Q} Exemplo: P ={1,2,3,4} e Q={3,4,5,6} P  Q = {1,2,3,4,5,6} Em geral, se A  B  A  B = B   A=A, A  E=E e AA=A, para todo conjunto A ( A)

Operações Envolvendo Conjuntos Complementar de um Conjunto Seja um conjunto P contido num universo E. Chama-se complementar de um conjunto P o conjunto de elementos de E que não pertencem a P, denotado por: PC = {x / x E e x  P} A  AC = E, A  AC =  (A e AC são disjuntos) e (AC)C=A (isto é, o complementar do complementar é o próprio conjunto), para todo conjunto A. EC =  e  C =E Exemplo: A= {1,2,3} e E={1,2,3,4,5}  Ac={4,5}

Operações Envolvendo Conjuntos Diferença de Conjuntos Sejam dois conjuntos P e Q contidos num universo E. A diferença entre P e Q é o conjunto dos elementos que pertencem a P e não pertencem a Q, denotado por: P – Q = { x  E / x  P e x  Q}  Ou ainda que P – Q = P  Qc Exemplo: P={1,2,3,4} , Q={3,4,5} então P-Q={1,2}

Conjunto das Partes de um Conjunto Definição Trata-se do conjunto de subconjuntos de um conjunto A, denotado por P(A). “ Se um conjunto tem n elementos, então seu conjunto de partes tem 2n elementos ” Exemplo Seja A={1,2}. Daí P(A)={{1},{2},{1,2},}. Vemos que A tem dois elementos e P(A) = 22 = 4. Seja B={1,2,3}.Daí P(B)={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, }. B tem 3 elementos e P(B) tem 23 = 8 elementos.

Produto Cartesiano Par Ordenado Seja o ponto P(4,3) no plano, isto é, a abscissa de P é 4 e a ordenada de P é 3, diferente do ponto (3,4), neste caso, a ordem dos elementos faz diferença. “ Assim o par (a,b) é denominado para ordenado ”

Produto Cartesiano Definição Sejam dois conjuntos A e B. O produto cartesiano de A por B é o conjunto dos pares ordenados tal que os primeiros elementos pertencem a A e os segundos elementos a B, e é denotado por: Representação A x B = {(x, y) / x  A e y  B} Exemplo A={1,2} e B={4,5} então A x B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)}, Importantíssimo: A x B  B x A

Capitulo 2 – Conjuntos Numéricos Números Naturais Números Inteiros Números Racionais Números Reais Equações do Primeiro Grau Inequações do Primeiro Grau Equações do Segundo Grau Intervalos Módulo ou Valor Absoluto

Objetivos do Capitulo Reconhecer os principais conjuntos numéricos que existem; Saber resolver equações e inequações de primeiro e segundo grau; Operar com intervalos da reta Entender o conceito de valor absoluto ou módulo de um número

Números Naturais Conjunto dos Números Naturais Ao somarmos ou multiplicarmos dois números naturais o resultado é um número natural, por isso dizemos que o conjunto dos números naturais é fechado para as operações de soma e multiplicação. Isto não ocorre para a operação de subtração, por exemplo: 1 N, 3  N , porém 1 – 3 = -2 N.

Números Inteiros Conjunto dos Números Inteiros Z={. . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .} Veja que ao somarmos, multiplicarmos, ou subtrairmos, dois números inteiros, o resultado continua sendo um numero inteiro, por isso o conjunto dos números inteiros é fechado para estas operações. Isto não ocorre para a operação de divisão, por exemplo: -3  Z, -4  Z , porém –3/-4  Z

N* é a designação do Conjunto dos números naturais sem o zero. Números Racionais Conjunto dos Números Racionais Todo número racional pode ser representado sob a forma decimal e sua representação é infinita e periódica. N* N  Z Q N* é a designação do Conjunto dos números naturais sem o zero.

Números Reais O conjunto dos números reais (R) R = Q I onde I é o conjunto dos números irracionais Todo número irracional pode ser representado sob a forma decimal infinita porém a sua representação não pode ser periódica. Exemplo: Toda raiz quadrada de numero inteiro cujo resultado não é um inteiro, é um número irracional.

Equação do 1o Grau Definição É toda equação que pode ser reduzida à forma a . x = b em que a e b são números reais com a  0. A solução da equação é obtida dividindo-se ambos os lados da equação por a. E então o valor é a solução, ou raiz, do problema.

Equação do 1o Grau Exemplo: O custo mensal de produção de x camisas de uma fábrica é C=5000+15x. Qual a quantidade mensal produzida sabendo-se que o custo mensal é $8000? Solução:

em que a e b são números reais com a  0. Inequação do 1o Grau São desigualdades que podem ser reduzidas a uma das seguintes formas a . x > b ou a . x  b ou a . x < b ou a . x  b em que a e b são números reais com a  0. A resolução da desigualdade é similar ao das equações de 1o grau, porém quando a inequação é dividia ou multiplicada por um valor negativo, o sentido da desigualdade muda.

Inequação do 1o Grau Exemplo 1:Resolva a inequação 3 (x - 4) > x + 2 O conjunto solução é S = {x R | x > 7 }

Inequação do 1o Grau Exemplo 2:Resolva a inequação 2(x - 1) > 5x + 3 O conjunto solução é S = {x R | x > -5/3 }

em que a, b e c são números reais com a  0. Equação do 2o Grau Definição É toda equação que pode ser reduzida à forma em que a, b e c são números reais com a  0. Onde a solução é dada por:

Equação do 2o Grau Assim, o número de soluções da equação do 2o Grau depende do valor de . Se  < 0 , a equação não admite solução real Se  = 0, a equação admite uma solução real Se  > 0, a equação admite duas soluções reais.

Equação do 2o Grau Exemplo

Intervalos Sejam os números reais a e b tais que a < b. Os seguintes intervalos são definidos: Intervalo aberto: ] a, b [ = {x  R | a < x < b} Intervalo fechado: [ a, b ] = {x / a x b}   Intervalo semi-aberto à esquerda: ] a, b ] = {x / a < x b} Intervalo semi-aberto à direita: [ a, b [ = {x / a x < b}

Intervalos Sejam os números reais a e b tais que a < b. Os seguintes intervalos são definidos: Intervalo aberto: ] a, b [ = {x / a < x < b}   Intervalo fechado: [ a, b ] = {x / a x b} Intervalo semi-aberto à esquerda: ] a, b ] = {x / a < x b} Intervalo semi-aberto à direita: [ a, b [ = {x / a x < b} Intervalo aberto de a até infinito: ] a, [ = {x / x > a} Intervalo fechado de a até infinito: [ a, [ = {x / x a} Intervalo aberto de menos infinito até b: ] -, b [ = {x / x < b} Intervalo fechado de menos infinito até b: ] -, b ] = {x / x b}