Fator - refere-se a um tipo de tratamento. Fatores será designado com letras maiúsculas. Nível - refere-se a vários tratamentos em qualquer fator. Níveis.

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1 Fator - refere-se a um tipo de tratamento. Fatores será designado com letras maiúsculas. Nível - refere-se a vários tratamentos em qualquer fator. Níveis serão designados com letras minúsculas. Uma combinação de letras minúsculas e números de índice pode ser usado para designar tratamentos individuais (A0, A1, bo, b1, a0b0, a0b1, etc…)

2 Experiências e exemplos discutidos até agora nesta classe têm considerado apenas um fator. Para um fator de experimentos, os resultados obtidos são aplicáveis apenas ao nível dos particulares em que O outro fator (s) foi mantido. Exemplo: Cinco densidades de semeadura e uma cultivar.

3 Um fatorial não é um desenho, mas um arranjo. Um fatorial é um estudo com dois ou mais fatores em combinação. Cada nível de um fator deve aparecer em combinação com todos os níveis dos outros fatores. Arranjos fatoriais nos permitem estudar a interação entre dois ou mais fatores.

4 Interação - 1) a falta de resposta dos tratamentos de um fator a ser a mesma para cada nível de outro fator. 2) Quando o simples efeitos de um fator diferem por mais do que pode ser atribuído ao acaso, a resposta diferencial é chamada de uma interação. Exemplos de Interações Sem interaçãoCom interação

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6 Efeitos simples, efeitos principais e interações serão explicadas com base nos dados a seguir definido: Efeito do fertilizante N na produção de grãos (Mg / ha) de duas cultivares de cevada. Cultivar (A) Doses de Nitrogênio (B) 0 Kg N ha -1 (b0)60 Kg N ha -1 (b1) BRS 195 (a0)1.0 (a0b0)3.0 (a0b1) BRS 167 (a1)2.0 (a1b0)4.0 (a1b1) O Efeito simples de um fator é a diferença entre os dois níveis em um determinado nível do outro fator.

7 Efeito simples de A no nível b0=a1b0-a0b0 2-1=1 Efeito simples de A no nível b1=a1b1-a0b1 4-3=1 Efeito simples de B no nível a0=a0b1-a0b0 3-1=1 Efeito simples de B no nível a1=a1b1-a1b0 4-2=2

8 O efeito principal de um fator é a média simples dos efeitos desse fator sobre todos os níveis do outro fator. Efeito Principal de A = (Efeito simples de A no nível bo + Efeito simples de A no nível b1)/2 (1+1)/2 1 Efeito Principal de B = (Efeito simples de B no nível ao + Efeito simples de B no nível a1)/2 (2+2)/2 2 A interação é uma função da diferença entre os efeitos simples de um a dois níveis de B dividido por dois, ou vice-versa. (Isto só funciona em fatorial 2 x 2) A x B = 1/2(Efeito simples de A no b1 - Efeito simples de A no b0) = 1/2(1 - 1) = 0

9 Importante sobre as interações Uma interação entre dois fatores podem se medida apenas se os dois fatores são testados juntos no mesmo experimento. Quando uma interação está ausente, o efeito simples de um fator é o mesmo para todos os níveis dos outros fatores e é igual ao efeito principal. Quando as interações estão presentes, o efeito simples de um fator muda de acordo com o nível dos outros fatores. Portanto, o efeito principal é diferente dos efeitos simples.

10 Exemplo de Anova: Arranjo experimental com blocos completamente casualizados em esquema fatorial de 2X2 com quatro repetições. 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 I II III IV

11 Gera caderno de campo: library(agricolae) fact.nk(2, 2, 4, seed = 0, kinds = "Super-Duper") plots blocks A B 1 1 1 1 1 2 2 1 0 1 3 3 1 1 0 4 4 1 0 0 5 5 2 0 1 6 6 2 1 1 7 7 2 0 0 8 8 2 1 0 9 9 3 0 1 10 10 3 1 0 11 11 3 1 1 12 12 3 0 0 13 13 4 1 1 14 14 4 0 1 15 15 4 0 0 16 16 4 1 0

12 Conduzido o experimento…gerou-se os resultados: experimento01 cultivar N bloco y 1 a 0 1 12 2 a 1 1 19 3 b 0 1 29 4 b 1 1 32 5 a 0 2 15 6 a 1 2 22 7 b 0 2 27 8 b 1 2 35 9 a 0 3 14 10 a 1 3 23 11 b 0 3 33 12 b 1 3 38 13 a 0 4 13 14 a 1 4 21 15 b 0 4 30 16 b 1 4 37

13 Análise de Variância - Comandos do R library(agricolae) # Habilitando o comando abaixo é gerado o livro de campo #fact.nk(2, 2, 4, seed = 0, kinds = "Super-Duper") experimento01<-read.table("/Users/josemauriciofernandes/Documents/dadosR/fatorial2x2.txt",header=T) attach(experimento01) head(experimento01) > head(experimento01) cultivar N bloco y 1 a 0 1 12 2 a 1 1 19 3 b 0 1 29 4 b 1 1 32 5 a 0 2 15 6 a 1 2 22 # Identifica os fatores cultivar<-factor(cultivar) N<-factor(N) bloco<-factor(bloco) # Análise exploratória dos dados par(mfrow=c(2,1)) boxplot(y~cultivar*N)

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15 Continua…..Análise de Variância - Comandos do R # Ver grafico das interacoes par(mfrow=c(1,1)) interaction.plot(cultivar,N,y)

16 Continua…..Análise de Variância - Comandos do R # Analise de variancia experimento01_av<-aov(y~cultivar+N+bloco) summary(experimento01_av) :> # Analise de variancia experimento01_av<-aov(y~cultivar+N+bloco) summary(experimento01_av) Df SumSq MeanSq F value Pr(>F) cultivar 1 930.25 930.25 372.1000 3.055e-09 *** N 1 182.25 182.25 72.9000 6.628e-06 *** bloco 3 32.50 10.83 4.3333 0.03355 * Residuals 10 25.00 2.50 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

17 Continua…..Análise de Variância - Comandos do R :> # Tabelas com as grandes medias experimento01_tb<-model.tables(experimento01_av, type="means") experimento01_tb Tables of means Grand mean 25 cultivar a b 17.38 32.62 N 0 1 21.625 28.375 bloco 1 2 3 4 23.00 24.75 27.00 25.25

18 Continua…..Análise de Variância - Comandos do R # Examina o presuposto da normalidade dos dados par(mfrow=c(2,2)) plot(experimento01_av)

19 Continua…..Análise de Variância - Comandos do R # Examina o resultado na forma de gráfico par(mfrow=c(1,1)) #Efeito do Nitrgênio nas duas cultivares df<-df.residual(experimento01_av) MSerror<-deviance(experimento01_av)/df compara <- HSD.test(y,N:cultivar,df,MSerror, group=TRUE,main="Efeito do N") compara Study: Efeito do N HSD Test for y...... Alpha 0.050000 Error Degrees of Freedom 10.000000 Error Mean Square 2.500000 Critical Value of Studentized Range 4.326582 Treatment Means N.cultivar y std.err replication 1 0:a 13.50 0.6454972 4 2 0:b 29.75 1.2500000 4 3 1:a 21.25 0.8539126 4 4 1:b 35.50 1.3228757 4

20 Continua…..Análise de Variância - Comandos do R Honestly Significant Difference 3.420463 Means with the same letter are not significantly different. Groups, Treatments and means a 1:b 35.5 b 0:b 29.75 c 1:a 21.25 d 0:a 13.5 trt means M N std.err 1 1:b 35.50 a 4 1.3228757 2 0:b 29.75 b 4 1.2500000 3 1:a 21.25 c 4 0.8539126 4 0:a 13.50 d 4 0.6454972 :> bar.err(compara,std=FALSE,ylim=c(0,max(y)),density=10,col="blue", main="Efeito do N em duas cultivares") detach(experimento01)

21 Inferência: Com base nos resultados pode se concluir que a variedade B teve um rendimento, medido em Kg ha -1, significativamente superior (F<0,05) ao medido na variedade A. A adição de Nitrogênio resultou um aumento de rendimento proporcional para as duas cultivares.

22 Um outro exemplo: Duas variedades de batata cultivadas com dois espaçamentos.

23 # Experimento Fatorial Batatinha plots blocks A B 1 1 1 1 1 2 2 1 0 1 3 3 1 0 0 4 4 1 1 0 5 5 2 1 1 6 6 2 1 0 7 7 2 0 0 8 8 2 0 1 9 9 3 1 0 10 10 3 0 1 11 11 3 1 1 12 12 3 0 0 13 13 4 0 0 14 14 4 1 0 15 15 4 0 1 16 16 4 1 1

24 batatinha <-read.table("/Users/josemauriciofernandes/Documents/dadosR/batatinha.txt",header=T) head(batatinha) cult espac bloco y 1 baronesa 1 1 750 2 baronesa 2 1 469 3 hansa 1 1 424 4 hansa 2 1 235 5 baronesa 1 2 766 6 baronesa 2 2 484 attach(batatinha) par(mfrow=c(2,1)) boxplot(y~cult*espac) interaction.plot(espac,cult,y)

25 batatinha.aov <-aov(y~factor(cult)*factor(espac)+factor(bloco)) summary(batatinha.aov) Df SumSq MeanSq F value Pr(>F) factor(cult) 1 508959 508959 114.6682 2.016e-08 *** factor(espac) 1 211500 211500 47.6509 5.036e-06 *** factor(bloco) 5 49257 9851 2.2195 0.106305 factor(cult):factor(espac) 1 67734 67734 15.2605 0.001403 ** Residuals 15 66578 4439 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 par(mfrow=c(2,2)) plot(batatinha.aov)

26 TukeyHSD(batatinha.aov) detach(batatinha) Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = y ~ factor(cult) * factor(espac) + factor(bloco)) $`factor(cult)` diff lwr upr p adj hansa-baronesa -291.25 -349.2222 -233.2778 0 $`factor(espac)` diff lwr upr p adj 2-1 -187.75 -245.7222 -129.7778 5e-06 $`factor(bloco)` diff lwr upr p adj 2-1 22.50 -130.55609 175.55609 0.9962879 3-1 113.00 -40.05609 266.05609 0.2173907 4-1 124.25 -28.80609 277.30609 0.1476992 5-1 88.25 -64.80609 241.30609 0.4531415 6-1 63.25 -89.80609 216.30609 0.7581367 3-2 90.50 -62.55609 243.55609 0.4273062 4-2 101.75 -51.30609 254.80609 0.3105169 5-2 65.75 -87.30609 218.80609 0.7290376 6-2 40.75 -112.30609 193.80609 0.9492702 4-3 11.25 -141.80609 164.30609 0.9998687 5-3 -24.75 -177.80609 128.30609 0.9942213 6-3 -49.75 -202.80609 103.30609 0.8910174 5-4 -36.00 -189.05609 117.05609 0.9695640 6-4 -61.00 -214.05609 92.05609 0.7833769 6-5 -25.00 -178.05609 128.05609 0.9939475

27 $`factor(cult):factor(espac)` diff lwr upr p adj hansa:1-baronesa:1 -397.5 -508.360262 -286.63974 0.0000002 baronesa:2-baronesa:1 -294.0 -404.860262 -183.13974 0.0000081 hansa:2-baronesa:1 -479.0 -589.860262 -368.13974 0.0000000 baronesa:2-hansa:1 103.5 -7.360262 214.36026 0.0713005 hansa:2-hansa:1 -81.5 -192.360262 29.36026 0.1918219 hansa:2-baronesa:2 -185.0 -295.860262 -74.13974 0.0011734 Inferência: Com base nos resultados da análise de variância podemos concluir ao nível de 5% de probabilidade que: 1) A variedade baronesa teve um rendimento superior quando cultivada no espaçamento 1 em relação ao espaçamento 2. 2) A variedade hansa teve rendimentos semelhantes em ambos os espaçamentos. 3)A variedade baronesa foi superior a hansa apenas quando cultivada no espaçamento 1.