Variáveis multinomiais ordenadas. Variável dependente ordenada: aplicações Avaliação de pesquisas de satisfação de clientes – Kreke et al. (1995): avaliação.

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1 Variáveis multinomiais ordenadas

2 Variável dependente ordenada: aplicações Avaliação de pesquisas de satisfação de clientes – Kreke et al. (1995): avaliação dos determinantes de satisfação de consumidores de softwares Avaliação de perfil de risco de clientes de bancos e seguradoras

3 Variáveis dependentes ordenadas: arcabouço analítico Modelo com uma variável explicativa Variável (latente) não observada: y i * Hipótese: y i * = β 0 + β 1 x i + ε i onde x i : variável explicativa ε i : termo de erro

4 Modelos multinomiais ordenados X modelos binomiais Modelo binomial Y i = 1 se y i * > 0 Y i = 0 se y i * ≤ 0 Modelo multinomial ordenado Y i = 1 se α 0 < y i * ≤ α 1 Y i = j se α j-1 < y i * ≤ α j para j = 2, …, J-1 Y J = j se α J-1 < y i * ≤ α J onde α 0, …, α J são limites não observados. Hipótese: α 1 < α 2 < … < α J-1 < α J hipótese: α 1 = - ∞ e α J = + ∞ (não precisam ser estimados)

5 Regressão ordenada Indivíduo i é classificado na categoria j se α j-1 < y i * ≤ α j para j = 1, …, J Logo Prob[Y i = j|X i ] = Prob[α j-1 < y i * ≤ α j ] = Prob[α j-1 – (β 0 + β 1 x i ) < ε i < α j - (β 0 + β 1 x i )] = F(α j - (β 0 + β 1 x i )) – F(α j-1 – (β 0 + β 1 x i )) para j = 2, 3, …, J-1 onde

6 Regressão ordenada Prob[Y i = 1|X i ] = F(α 1 – (β 0 + β 1 x i )) Prob[Y i = J|X i ] = 1 – F(α J-1 – (β 0 + β 1 x i )) Observação: parâmetros α 1 < α 2 < … < α J-1 e β 0 não podem ser conjuntamente identificados.  adota-se β 0 = 0 Logo Prob[Y i = j| x i ] = F(α j – β 1 x i ) – F(α j-1 – β 1 x i )

7 Modelos Probit e Logit ordenados Expressão geral para modelos ordenados (k variáveis explicativas) onde é uma matriz com k colunas e é um vetor-coluna K X 1 (regressão sem constante) Número de parâmetros a serem estimados: K + J - 1 K coeficientes de var. explicativas + (J-1) limites dos intervalos de classificação

8 Probit ordenado e logit ordenado Diferentes opções para a função de distribuição acumulada do erro F(.) Caso F(.) função de distr. acum. normal => Probit ordenado onde Φ(.) é a função de distr. acum. normal

9 Probit ordenado e logit ordenado Caso função de distr. acum. logística => Logit ordenado onde Λ (.) é a função de distr. acum. logística

10 Interpretação do modelo Efeitos marginais Efeitos dependem não apenas do coeficiente β k, mas também da função de densidade f(.)

11 Seleção de modelo Teste para a significância conjunta de um número g coeficientes H N : β i = β j =... = β k = 0 onde H N : hipótese nula (g variáveis não significativas) Podemos fazer um teste de log-verossimilhança, comparando o valor da log-verossimilhança dos modelo irrestrito e restrito:

12 Seleção do modelo Sob a hipótese nula de que temos g variáveis explicativas redundantes, a estatística do teste possui distribuição assintótica chi-quadrada com g graus de liberdade LR ~ Ҳ 2 (g) Critério de decisão: Ҳ 2 (g) > valor crítico: rejeitar H N => variáveis não devem ser excluídas da regressão Ҳ 2 (g) variáveis devem ser excluídas da regressão (modelo restrito)

13 Previsão Probabilidades estimadas: Tabela de acertos e erros: similar aos modelos Probit e Logit não ordenados. Mas pode-se dar pesos quando modelo classifica em categorias muito “distantes” Ex: classificar cliente de alto risco como baixo risco é mais grave que classificá-los como de médio risco

14 Estudo de caso: classificação de risco de clientes bancários Classificação de clientes segundo três perfis de risco: – Categoria 1: baixo risco (por exemplo, aplicadores apenas em caderneta de poupança) – Categoria 2: médio risco – Categoria 3: alto risco (por exemplo, investidores em mercados de derivativos)

15 Estudo de caso: classificação de risco de clientes bancários Empresa quer estimar grau de risco dos clientes segundo algumas características obervadas Variáveis explicativas: – Riqueza – Nº de transações bancárias do tipo 1 – Nº de transações bancárias do tipo 2 – Nº de transações bancárias do tipo 3

16 Estudo de caso: classificação de risco de clientes bancários Base de dados: 2000 clientes Classificação observada: Nº clientes baixo risco: 531 (Y i =1) Nº clientes médio risco: 1140 (Y i =2) Nº clientes alto risco: 329 (Y i =3)

17 Resultados: modelos Probit e Logit ordenados VariávelLogit ordenadoProbit ordenado ParâmetroErro-padrãoParâmetroErro-padrão Oper. tipo 10,191***0,0130,105***0,008 Oper. tipo 2-0,0090,016-0,0070,010 Oper. tipo 30,052***0,0160,008***0,002 Riqueza0,2840,2050,1730,110 -0,645***0,060-0,420***0,035 2,267***0,0841,305***0,044 Log-likelihhood-1818,49-1826,69

18 Estudo de caso: classificação de risco de clientes bancários Principais resultados: – Riqueza não parece influenciar o risco dos clientes – Indivíduos que fazem operações do tipo 1 e 2 têm maior probabilidade de terem mais preferência por risco Observação: se os intervalos de confiança dos limites de cada intervalo de classificação se sobrepõem, número de classes deve ser reduzida

19 Previsões: modelo Logit Y predito Y observado AltoMédioBaixo% observado Alto0,0000,2660,0010,266 Médio0,0000,5560,0150,570 Baixo0,0000,1400,0250,165 % predito0,0000,9610,0401