PROPORCIONALIDADE 6ª série Mafalda/ Quino,1992. Repare no último quadrinho.Você seria capaz de representar o pensamento da Mafalda em linguagem matemática?

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1 PROPORCIONALIDADE 6ª série Mafalda/ Quino,1992

2 Repare no último quadrinho.Você seria capaz de representar o pensamento da Mafalda em linguagem matemática? Mafalda/ Quino,1992

3 Mafalda está comparando a quantidade de nomes Silva que consta na lista telefônica com o total de nomes da lista. E está comparando o número de chineses com o total da população mundial.

4 E finalmente ela compara estas duas razões entre si, concluindo que as duas razões são equivalentes. É isto que entendemos quando dizemos que estão na mesma proporção. =

5 A população da China é de 1,307 bilhões de pessoas e a população mundial de 6,6 bilhões de pessoas. O que você pode dizer da população da China em relação à população mundial?

6 Razão e proporção Para entender as proporções, começaremos com razões. Uma razão é uma divisão de duas grandezas, que nos mostra quantas vezes uma é maior ou menor que a outra. São intimamente ligadas aos números Racionais, do conjunto

7 São exemplos de razão:

8 Proporção Uma proporção é uma igualdade que compara razões. Ela significa que as quantidades descritas podem não ser iguais, mas estão igualmente divididas.

9 Como se tivéssemos um jarra com 2 litros (2000ml) de água com 20 gramas de açúcar. Clip-art

10 Ao retirarmos um copo, teremos 250ml de água e 2,5 gramas de açúcar. A quantidade é diferente, mas a proporção se mantém, equacionamos:

11 Estas razões indicam que sempre há 100 vezes mais água que açúcar em razão do volume por massa (ml/g). A proporção da mistura é de 100 mililitros de água por grama de açúcar. Clip-art

12 Proporcionalidade Inversa Como o nome indica, é a proporcionalidade entre um número e o inverso de outro. A principal propriedade deste tipo de proporção é que se mantida, ao contrário do que acontece no exemplo anterior, de quanto mais água mais açúcar, quanto MAIS de um elemento da proporção MENOS de outro.

13 Vejamos um exemplo: Um motorista profissional que viajava constantemente de BH para Uberlândia, fez a seguinte tabela,após calcular a velocidade média. (V=Distância/tempo) Obs: distância aproximada

14 Observe a tabela. Quando a velocidade aumenta, o que acontece com tempo gasto na viagem? Quando a velocidade dobra o que acontece com o tempo gasto na viagem?

15 Compondo Proporções Trabalhamos com proporções fixas, que simplesmente ditavam que uma fração deveria permanecer constante. Mas o que acontece se uma grandeza é proporcional a várias grandezas ao mesmo tempo?

16 Podemos trabalhar cada proporcionalidade individualmente, mas há um método para resolvê- las com uma única equação. Começaremos com o clássico problema: Sr. José precisava consertar uma cerca quebrada em sua fazenda. Pesquisa google(23/06/2008) 501 x 375 - 68k - jpgbloglog.globo.com

17 Como a boiada voltaria das pastagens novas em uma semana, precisava decidir quantos trabalhadores contratar para terminar a cerca a tempo. Na construção original da cerca, ele empregou 24 homens que ergueram os 100 metros de cerca em duas semanas. Sabendo que o buraco se extende por apenas 25 metros, quantos homens serão nescessários?

18 O número de homens é inversamente proporcional ao tempo O tamanho da cerca é diretamente proporcional ao tempo O tamanho da cerca é diretamente proporcional ao número de homens Para facilitar o trabalho, escrevemos uma tabela: HomensTempoTamanho 242 semanas100m X1 semana25m

19 Cada uma das proporções diz algo a respeito do valor total: O que acontece com a quantidade de homens depende das razões de tempo e tamanho, que deverão multiplicar o número final de homens de acordo com o tipo de proporcionalidade.

20 Acontece então que o número final de homens deve dobrar, pois o de tempo diminuiu a metade. Deve também diminuir 4 vezes pois o mesmo aconteceu com o tamanho.

21 Regra de Três A regra de três é simplesmente um método para resolver as proporções sem precisar de armá-las. A regra de três ganha seu nome do seu uso, pois é usada para determinar um quarto valor de um proporção quando são conhecidos três deles. Tabela de Valores A regra de três se vale muito de tabelas para a fácil visualização do problema.

22 Faz-se assim: Manoel decide fazer um túnel de1Km de extensão. Como o túnel em questão é estreito, somente um máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na escavação ao mesmo tempo. Pesquisa google;julho 2008

23 Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel resolveu dividi-los em 2 grupos de 15 trabalhadores, cada grupo escavando de um lado da montanha a fim de aumentar produtividade. Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Em quanto tempo terminará a escavação com o novo arranjo?

24 Primeiro colocamos o problema em uma tabela:  Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas. Agora, marcamos o sentido de crescimento, das grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por que o número de trabalhadores aumentou. Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos, são inversamente proporcionais.

25 No caso de proporção inversa, multiplicamos os valores da tabela em linha reta e igualando, obtendo: Que é a própria proporção inversa em forma de produto, previamente mostrada.

26 O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo de tempo? Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a: Observamos que a relação obtida é uma forma da proporção:

27 Regra de Três composta Podemos interpretar de outra maneira o problema anterior: Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30 trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m? Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo. No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a distância diminua.

28 Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos um processo de multiplicações sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de três simples, e neste caso será cruzada. Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais (setas na mesma direção), multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos. Obtemos então a solução: 2 meses

29 QUINO, Mafalda – São Paulo: Martins Fontes,1992