Métodos de apoio à decisão

Apresentação em tema: "Métodos de apoio à decisão"— Transcrição da apresentação:

1 Métodos de apoio à decisão
Teoria Matemática das Eleições

2 Eleição Processo através do qual as sociedades ou grupos democráticos tentam resolver as muitas divergências de opinião entre os seus membros através de uma escolha resultante das opções expressas no voto e da aplicação de um sistema eleitoral.

3 Tipos de eleições Dentro da esfera política
Eleições presidenciais, para eleger o Presidente da República; Eleições legislativas, para eleger os deputados para a Assembleia da República, assim como o Governo; Eleições autárquicas, para eleger os órgãos do Poder Local; Eleições legislativas regionais, para eleger os deputados das assembleias legislativas das regiões autónomas; Eleições para o Parlamento Europeu.

4 . Fora da esfera política Eleições para os órgãos directivos
das escolas; das associações de estudantes; das associações profissionais; das associações sindicais; dos clubes desportivos; .

5 Para se realizar uma eleição, é necessário:
Haver pessoas para votar; Haver alternativas para escolher. Em geral, é através de um boletim de voto que os votantes exprimem a sua preferência sobre as alternativas existentes. É ainda necessário um processo que permita encontrar o vencedor.

6 Na televisão e em revistas e jornais encontramos resultados de eleições sob a forma de tabelas e percentagens. A Teoria Matemática das Eleições ocupa-se deste tratamento matemático.

7 Sistemas de votação maioritário;
por ordem de preferência, ou preferencial; de aprovação.

8 Sistema maioritário Método da Maioria simples ou relativa
É eleita, numa única votação, a opção que reúne maior número de votos, independentemente dos resultados obtidos pelas outras opções. (sistema utilizado nas eleições para presidente da Junta de Freguesia ou da Câmara Municipal)

9 Método da Maioria absoluta
É eleita a opção que recolhe pelo menos metade de todos os votos mais um. No caso deste resultado não ser atingido por nenhuma das opções, pode proceder-se a uma segunda votação à qual podem ser submetidas: apenas as duas opções mais votadas. (sistema utilizado para a eleição do Presidente da República) novamente todas as opções, sendo eleita a que obtiver maioria relativa. (sistema utilizado por exemplo nas eleições para algumas comissões directivas da ONU)

10 Exemplo Em 1986 candidataram-se à Presidência da República:
Lurdes Pintassilgo Mário Soares Freitas do Amaral Salgado Zenha Primeira volta: Candidato Total de votos Percentagem Freitas do Amaral 46,31% Mário Soares 25,43% Salgado Zenha 20,88% Lurdes Pintassilgo 7,38%

11 O candidato Freitas do Amaral obteve maioria relativa.
Nenhum dos candidatos obteve maioria absoluta. Procedeu-se à segunda volta. Segunda volta: Candidato Total de votos Percentagem Mário Soares 51,18% Freitas do Amaral 48,82% Mário Soares conseguiu maioria absoluta, pelo que foi eleito Presidente da República. Os resultados de uma votação podem ser diferentes se os sistemas de votação utilizados não forem os mesmos.

12 Eleição com três candidatos: X, Y e Z
Sistema por ordem de preferência ou preferencial É um sistema em que o votante não escolhe apenas um de entre todos os candidatos (alternativas) que se apresentam a votação, mas expressa a sua ordem de preferência relativamente a todos (ou alguns) os candidatos (alternativas). Eleição com três candidatos: X, Y e Z Esquema preferencial 1ª X 2ª Y 3ª Z X O eleitor prefere X a Y e prefere Y a Z. Y Z

13 Aplicação do sistema preferencial a alguns métodos eleitorais
Método da pluralidade Método de eliminação run-off Eliminação run-off simples Eliminação run-off sequencial Método de Borda Método de Condorcet

14 Método da pluralidade Vence o candidato com maior número de primeiros lugares (maioria simples). Exemplo: Resultados de uma eleição com três candidatos (X, Y e Z): X Z Y X Y Y X Z Z X Y Z 18 votos 14 votos 12 votos 6 votos

15 Número de primeiros lugares para cada um dos candidatos:
X: 24 primeiros lugares (18+6) Y: 12 primeiros lugares Z: 14 primeiros lugares O vencedor é o candidato X, uma vez que foi este candidato que obteve um maior número de primeiros lugares. Percentagem de votos do candidato X: O candidato X é o vencedor mas não obteve maioria absoluta.

16 Método de eliminação run-off
Eliminação run-off simples São eliminados todos os candidatos à excepção dos dois que reúnem maior número de primeiras preferências.

17 Exemplo: Resultados de uma eleição com quatro candidatos (A, B, C e D): Ordem de preferência Votos 9 10 5 13 3 16 1ª A B C D 2ª 3ª 4ª Número de primeiras preferências de cada candidato: A: 14 C: 13 B: 10 D: 19 Os candidatos B e C são eliminados.

18 Ordem de preferência Votos 9 10 5 13 3 16 1ª A B C D 2ª 3ª 4ª Ordem de preferência Votos 9 10 5 13 3 16 1ª A D 2ª Número de primeiras preferências de cada candidato: A: 27 Vence o candidato D. D: 29

19 Método de eliminação run-off
Eliminação run-off sequencial A eliminação é realizada candidato a candidato e, sempre a partir do que tem menor número de primeiras preferências. Faz-se a contagem dos primeiros lugares de cada candidato e elimina-se aquele que tiver o menor número; Reorganiza-se o esquema de preferências excluindo o candidato eliminado; Efectua-se novamente a contagem dos primeiros lugares de cada candidato e elimina-se o que tiver menor número; Repete-se o processo até se obter o candidato vencedor.

20 Exemplo: Resultados de uma eleição com quatro candidatos (A, B, C e D): Ordem de preferência Votos 9 10 5 13 3 16 1ª A B C D 2ª 3ª 4ª Número de primeiras preferências de cada candidato: A: 14 C: 13 B: 10 D: 19 O candidato B é eliminado.

21 Ordem de preferência Votos 9 10 5 13 3 16 1ª A B C D 2ª 3ª 4ª Número de primeiras preferências de cada candidato: Ordem de preferência Votos 9 10 5 13 3 16 1ª A C D 2ª 3ª A: 14 C: 23 D: 19 O candidato A é eliminado.

22 Ordem de preferência Votos 9 10 5 13 3 16 1ª A C D 2ª 3ª Número de primeiras preferências de cada candidato: Ordem de preferência Votos 9 10 5 13 3 16 1ª C D 2ª C: 37 D: 19 O candidato C é o vencedor.

23 Método de Borda Neste método eleitoral são atribuídos pontos aos candidatos conforme a ordem de preferência. No caso de uma eleição com N candidatos, atribui-se um ponto à última preferência, dois pontos à penúltima preferência, …, N-1 pontos à segunda preferência e N pontos à primeira preferência. O candidato vencedor é o que contabilizar o maior número de pontos.

24 Exemplo: Ordem de preferência Votos 9 10 5 13 3 16 1ª A B C D 2ª 3ª 4ª
Candidatos Contagem Total A 9×4+10×1+5×4+13×3+3×1+16×3 156 B 9×3+10×4+5×1+13×1+3×3+16×2 126 C 9×2+10×3+5×3+13×4+3×2+16×1 137 D 9×1+10×2+5×2+13×2+3×4+16×4 141 O candidato A é o vencedor.

25 Método de Condorcet Neste método é feita uma eleição entre cada par de candidatos: se um candidato vence todos os outros em confronto directo, então deverá ser o vencedor. Nota: Da aplicação deste método nem sempre resulta um vencedor, podendo acontecer uma situação paradoxal, à qual se atribui o nome de paradoxo de Condorcet.

26 Exemplo: Resultados de uma eleição com três candidatos (X, Y e Z): X Z Y X Y Y X Z Z X Y Z 18 votos 14 votos 12 votos 6 votos Vence Y Confronto entre X e Y: X: 24 (18+6); Y: 26 (14+12) Confronto entre X e Z: X: 36 ( ); Z: 14 Vence X Confronto entre Y e Z: Y: 30 (18+12); Z: 20 (14+6) Vence Y O candidato Y é o vencedor.

27 Da aplicação do método de Condorcet nem sempre resulta um vencedor.
Exemplo: Preferência 1 voto 1ª A B C 2ª 3ª Confronto entre A e B: A: 2; B: 1 Vence A Confronto entre A e C: A: 1; C: 2 Vence C Confronto entre B e C: B: 2; C: 1 Vence B Se A “é melhor” do que B e B “é melhor” do que C, então A deveria “ser melhor” do que C!!! C vence A Situação paradoxal

28 paradoxo do voto paradoxo de Condorcet
O exemplo anterior ilustra o que se designa por paradoxo do voto Situação contrária ao senso comum e à lógica A este paradoxo do voto também se chama paradoxo de Condorcet

29 (sistema utilizado nas eleições para o Secretário-Geral da ONU)
Sistema de aprovação Neste sistema os votantes podem votar em tantos candidatos quantos quiserem, sem ordem de preferência. Cada candidato aprovado recebe um voto e o candidato com mais votos ganha. (sistema utilizado nas eleições para o Secretário-Geral da ONU)

30 O sistema de votação por aprovação tem algumas vantagens relativamente aos outros:
Maior flexibilidade; Favorece a eleição do candidato mais forte; Reduz as campanhas negativas; Possibilita a expressão da verdadeira grandeza das minorias; É muito prático.

31 Exemplo: Um grupo de amigos vai escolher uma actividade para organizar um fim-de-semana. As hipóteses são: Paint-Ball, Descida de Rio, BTT e Escalada. 10 alunos votaram no Paint-Ball e na Descida de Rio; 4 alunos votaram na Descida de Rio, no BTT e na Escalada; 8 alunos votaram no BTT e na Descida de Rio; 11 alunos votaram na Escalada e na Descida de Rio. Paint-Ball: 10 Descida de Rio: =33 BTT: 4+8=12 Venceu a modadidade Descida de Rio Escalada: 4+11=15

32 Numa eleição utilizando o sistema de aprovação, a adição ou remoção de candidatos ou alternativas não altera o total de pontos ou votos dos outros candidatos ou alternativas. Se um candidato resolve desistir, basta riscá-lo da lista. Se um candidato é acrescentado, os candidatos originais mantêm-se e os votantes apenas terão que dar a sua aprovação ou desaprovação em relação ao candidato acrescentado.

33 Haverá um método eleitoral perfeito?
A abordagem matemática da Teoria das Eleições cedo sentiu a necessidade de estabelecer um conjunto de condições que determinassem se um método eleitoral é justo ou não. Kenneth Arrow ( …) Matemático norte-americano

34 Critério da Independência das Alternativas Irrelevantes
Arrow enunciou condições que deveriam ser satisfeitas por qualquer método eleitoral considerado justo: Critério da Monotonia Se uma alternativa é a vencedora e é feita uma nova eleição na qual as únicas mudanças de voto são a favor do candidato vencedor, então o(a) vencedor(a) da eleição original deve manter-se; Critério da Independência das Alternativas Irrelevantes O vencedor de uma eleição deve-se manter em qualquer recontagem de votos provocada pela eliminação de uma ou mais alternativas perdedoras;

35 Condição de Pareto Critério de Condorcet
Se todos os votantes preferem X a Y, então o método de votação deve garantir que X ganhe a Y; Critério de Condorcet Qualquer candidato ou alternativa que derrote os outros candidatos ou alternativas em qualquer confronto directo, deve ser declarado o vencedor dessa eleição.

36 Teorema de Arrow Kenneth Arrow provou que NENHUM método eleitoral poderia satisfazer todos os critérios de justiça sempre que estivessem presentes mais de dois candidatos ou alternativas.