Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 1 Pedro Cosme Costa Vieira

Apresentação em tema: "Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 1 Pedro Cosme Costa Vieira"— Transcrição da apresentação:

1 Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 1 Pedro Cosme Costa Vieira
Faculdade de Economia da Universidade do Porto 2016/2017 Actualizado no dia 18 de Outubro de 2016

2 Sexta Aula 2

3 Pagamento da dívida Rendas / amortizações

4 Rendas Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida.
1) Os juros são pagos periodicamente e o capital é pago no fim do prazo contrato. 2) O capital mais os juros são pagos no fim do prazo contrato.

5 Rendas Vamos explorar uma outra possibilidade
É paga uma prestação em cada período No final do prazo não há mais nada a pagar Cada prestação contêm juros e amortização do capital Denominamos este plano como uma Renda

6 Rendas Uma renda transforma uma determinada soma de dinheiro num rendimento. Um stock num fluxo

7 Rendas As prestações podem ser regulares ou irregulares no tempo
constantes ou variáveis no valor haver ou não diferimento de alguns períodos terem duração limitada ou serem perpétua

8 Rendas Emprestamos um capital que recuperamos na forma de uma renda
e.g., saiu-nos a lotaria e queremos um rendimento mensal Pedimos um capital que pagamos na forma de uma renda e.g., um crédito à habitação que amortizamos mensalmente

9 Rendas Pagamos uma renda que recebemos no final na forma de um capital
e.g., depositamos uma quantia mensal para comprar um barco a pronto no futuro Recebemos uma renda que pagamos no fim na forma de um capital e.g., termos um rendimento mensal à custa de uma herança que vamos receber no futuro

10 Rendas Receber uma renda que pagamos na forma de renda
e.g., pagamos os estudos com um financiamento mensal que amortizamos no futuro com uma prestação mensal.

11 Rendas Obtemos o valor actual da renda descontando todos os recebimentos ao instante de tempo presente. Para efeito de comparação, podemos usar outro instante de tempo qualquer mas tem que ser o mesmo para todas as prestações

12 Rendas Temos que clarificar o que é O tempo é uma linha contínua
um instante de tempo e um período de tempo O tempo é uma linha contínua

13 Rendas Cada ponto é um instante de tempo
e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010. Um intervalo de tempo é o segmento que medeia dois instantes de tempo, e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010 e as 12h00 do dia 15 de Julho de 2010. O instante final de um período é sempre o instante inicial do período seguinte. e.g. o fim de 2010 é igual ao início de 2011. 13

14 Rendas Ex No sentido de se licenciar, um estudante necessita uma renda antecipada cuja prestação mensal é de 300€/mês e a duração de 36 meses. Supondo uma taxa de juro de 5%/ano, utilize o Excel para calcular o valor actual dessa renda 14

15 Rendas B4: =B$2 C4: =B4*(1+B$1)^-((A4-1)/12) e copiava
C40: =SUM(C2:C37). Em vez de calcular a taxa de juro mensal, utilizei partes fraccionadas nos anos, (A4-1)/12. 15

16 Rendas Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e
Ex O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava 300mil€ por mês. Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e Receber, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais de 5000€ cada. Determine a taxa de juro implícita.

17 Rendas F2: =(1+F1)^(1/12)-1 C2: =B2*(1+$F$2)^-(A2-A$2) e copiava até C602; F3: =Sum(C2:C602). Definir F3 para atingir o valor 0 por alteração da célula F1.

18 Rendas Ex Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil€ à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar? 720.29€ / mês

19 Rendas

20 Rendas Na coluna A estão os meses, na B as quantias recebidas, na C as quantias descontadas ao presente B3: =E$3; C3: =B3/(1+$E$1)^A3 e depois copiamos ambas em coluna. C603: =Sum(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1. Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo C603 para 0 por alteração de E3.

21 Rendas Fazer em casa os dois exercícios anteriores com uma conta corrente

22 Conta corrente Ex Uns comerciantes de frutas e legumes numas alturas podem poupar e noutras não. Como, em média, conseguem poupar 325€/mês, quando o filho fez 15 anos, pensando que precisará de 750€/mês quando for para a universidade, decidiram constituir uma conta poupança. Numa folha de Excel lancei a data e os movimentos (colunas A e B). A taxa de juro quando o saldo é negativo (taxa de juro activa) é de 5%/ano e quando os saldo é positivo (taxa de juro passiva) é de 2%/ano.

23 Conta corrente C2: =B2 D2: =(A3-A2)/ E2: =C2*((1+SE(C2>0;J$3;J$2))^D2-1) F2: =C2+E C3: =B3+F2 e copiava em coluna B84=-F83 23

24 Sétima Aula 8 Out 24

25 Expressão analítica de uma renda

26 Renda perpétua Numa renda perpétua, recebe-se uma prestação para sempre. Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim de cada período (i.e., postecipada), é uma situação idêntica a um depósito em que no fim de cada período, são pagos apenas os juros 26

27 Renda perpétua postecipada

28 Renda perpétua Como os juros de cada período valeriam J = Vi
Com P e i podemos determinar o valor da renda (ou da taxa de juro implícita com P e V) P = prestação, i = tx.juro, V = valor actual da renda

29 Renda perpétua Ex Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno?

30 Renda perpétua Primeiro, calculo a taxa de juro mensal
i.mensal = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407% Depois, aplico a expressão V = 50 / 0.407% = €

31 Renda perpétua Ex Um eucaliptal produz, a cada 10 anos, 12kg/m2 de madeira. Supondo um preço de 0.03€/kg de madeira e uma taxa de juro de 3%/ano, qual será o valor actual do eucaliptal? 31

32 Renda perpétua R. Calculo a taxa de juro por 10 anos, (1+3%)^10–1= %, e aplico essa taxa na expressão da renda perpétua postecipada: V = (120.03)/34.392% = 1.05€/m2. 32

33 Renda perpétua Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos que somar uma prestação inicial

34 Renda perpétua Se houver deferimento de 2 períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada ao presente:

35 Renda perpétua Se houver diferimento de n períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada n períodos ao presente: Só se começa a receber daqui a n+1 períodos (a expressão p/i é a renda postecipada)

36 Renda perpétua Se a renda for antecipada, aplica-se a correcção:
Começa-se a receber daqui a n períodos A renda antecipada diferida 5 anos é uma renda postecipada diferida 4 anos

37 Renda de duração limitada

38 Renda de duração limitada
Com o conhecimento da expressão da renda perpétua Também se chama perpetuidade Podemos calcular o valor de uma renda de duração limitada Compondo duas rendas perpétuas: uma a somar e outra a subtrair

39 Renda de duração limitada
Recebemos a prestação R entre o presente e o período N (postecipada). É equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e pagar uma renda perpétua a começar no período N, Descontado tudo ao presente.

40 Renda de duração limitada
Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada)? Teremos que somar uma parcela. Descontar menos um período

41 Renda de duração limitada

42 Renda de duração limitada
Ex Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?

43 Renda de duração limitada
Já não preciso do Excel r = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407% V = 50/0.407% x (1 – –300) = € x = € Mas podemos usá-lo para verificar

44 Renda de duração limitada
Verificar em casa o resultado com o uso do Excel

45 Renda de duração limitada
C2: =B2*(1+$D$2)^-A2 C302=sum(C2:C301)

46 Renda de duração limitada
Ex Uma obrigação com o valor nominal de 100€ paga trimestralmente 1€ de cupão e o par (i.e., os 100€) mais o cupão do trimestre final ao fim de 10 anos. Determine a taxa de juro desta obrigação. 46

47 Renda de duração limitada
R. No trimestre final recebemos não só o cupão mas também o par, logo Simplificando a expressão 47

48 Renda de duração limitada
R. Resulta i.t = 1%/trim i.a = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano 48

49 Oitava Aula 13 Out 49

50 Renda de duração limitada
Ex o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações). Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações). Para uma taxa de juro anual de 3%, quanto vai receber por mês?

51 Renda de duração limitada
Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer) Vamos somar Duas rendas de duração limitada Ou quadro rendas perpétuas Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e meses para a renda

52 Renda de duração limitada

53 Obrigações de taxa fixa

54 Obrigações a taxa fixa Já foi referido que uma obrigação consiste num activo que condensa uma entrega inicial e recebimentos futuro. Recebe-se o “cupão” ao longo do tempo e uma soma no final (o valor de remissão) O valor da obrigação é o valor actual dos recebimentos futuros Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr de mercado

55 Obrigações a taxa fixa Como valor da obrigação é o valor actual dos recebimentos futuros, O seu valor altera-se com o decorrer do tempo Porque se aproxima a data de remissão Porque a taxa de juro de mercado altera-se

56 Obrigações a taxa fixa

57 Obrigações a taxa fixa Ex Uma obrigação a 10 anos de valor nominal de 100€ reembolsável ao par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10 anos) cupão zero, vai ser vendida em leilão. 1) Para uma remunerado a uma taxa média de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o investidor está disponível a pagar?

58 Obrigações a taxa fixa 1) Vamos descontar os 100€ ao presente:

59 Obrigações a taxa fixa 2) Passados 5 anos, qual será o valor da obrigação? 3) Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação?

60 Obrigações a taxa fixa 2) Já só faltam 5 anos para receber os 100€
3) O aumento da taxa de juro desvaloriza a obrigação em 4.5%

61 Obrigações a taxa fixa 4) Se o investidor adquiriu a obrigação a 45€, qual a taxa de juro que pensava receber? 5) E qual será se vender a obrigação depois da desvalorização?

62 Obrigações a taxa fixa 4) A taxa de juro prevista era
5) E passou a ser

63 Obrigações a taxa fixa Ex Uma obrigação soberana (i.e., emitida por um Estado) a 50 anos emitida em 2010 cujo par é 1000€ paga um cupão anual de 25€ postecipado e o par mais o cupão no fim do prazo. Qual a taxa de juro da obrigação se for adquirida ao par? 63

64 Obrigações a taxa fixa Podemos simplificar a expressão obtendo uma renda perpétua: 64

65 Obrigações a taxa fixa Decorridos 6 meses, no mercado secundário a obrigação está a ser transaccionada a 900€ Para que taxa de juro aumentou a remuneração desta obrigação? > De 2,500%/ano para 2,933%/ano 65

66 Obrigações a taxa fixa Usava a ferramenta Goal Seek do Excel
B1. =(25/A1*(1-(1+A1)^-50)+1000*(1+A1)^-50)*(1+A1)^0,5 Fazer B1 = 0 pela alteração de A1 66

67 Obrigações a taxa fixa Usava a ferramenta Goal Seek do Excel
E2: =D2*(1+A$1)^-C2 e copiava em coluna E12: = Sum(E2:E52) 67

68 Nona Aula 21 Out 68

69 TAEG Taxa Anual Efectiva Global

70 TAEG implícita no contrato
TAEG – Taxa anual efectiva global Actualmente, é obrigatório nos anúncios (de venda a crédito) que seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita efectiva calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente (global) Também é referido o total de encargos do cliente

71 TAEG implícita no contrato
A TAEG é a taxa de juro anual que faz a soma do valor actual de todos os pagamentos igual ao preço de pronto pagamento.

72 TAEG implícita no contrato
Ex Um televisor (ppp de 1190€), a crédito “paga na entrega 119€ mais 12 prestações trimestrais de 100€. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50€”. Determine a TAEG deste contrato de crédito.

73 TAEG implícita no contrato
Podemos indicar algebricamente o resultado Mas o mais fácil é determina-lo no Excel

74 TAEG implícita no contrato

75 TAEG implícita no contrato
B2: = ; B3: 100; B6: -150 C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copiar em coluna. C15: =Sum(C2:C14) Definimos a célula C15 para o valor 0 alterando E2. Se a EURIBOR for 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?

76 TAEG implícita no contrato

77 TAEG implícita no contrato
Ex Um anúncio dizia “Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€ mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%)”. Confirme a TAEG.

78 TAEG implícita no contrato
Tem que se determinar no Excel

79 TAEG implícita no contrato

80 Exercícios a dar caso haja tempo

81 Mistura de rendas No dia 1/1/2000, uma pessoa abriu uma conta com 1000€ e, depois, no meio de cada mês dos trimestres 1º, 2.º e 4.º depositou 100€ e do 3º trimestre levantou 250€. Sabendo que isto aconteceu durante 10 anos, determine para uma TAE de 2,5% por ano qual o saldo da conta.

82 Mistura de rendas Tenho 1000€
Somo o VA de uma mensalidade de 100€ durante 10 anos rm =(1+2,5%)^(1/12)-1=0,205984% =100/0,205984% *(1-(1+0,205984%)^-120)*(1+0,205984%)^0,5 10.633,22 €

83 Mistura de rendas Como somei todos os meses vou retirar 3 prestações anuais de 350€ =350/2,5% *(1-(1+2,5%)^-10)*(1+2,5%)^0,5 3098,09 € Julho ,28 € *(1+2,5%)^(5,5/12) 3139,80 € Agosto ,28 € *(1+2,5%)^(4,5/12) 3091,72 €

84 Mistura de rendas Como somei todos os meses vou retirar 3 prestações anuais de 350€ Setembro -3101,28 € *(1+2,5%)^(3,5/12) 3085,36 €

85 Mistura de rendas Somando tudo 1000€ 10.633,22 € - 3098,09 €
- 3091,72 € - 3085,36 € Resulta ,11 que vou capitalizar =2.347,11 *(1+2,5%)^10 =3004,50€

86 Obrigações perpétuas No caso da obrigação perpétua, existe cupão, valor e remissão mas não existe prazo para a remissão. Contam como capital próprio => Têm mais garantias que o capital social mas menos que as obrigações “normais” Este instrumento é usado para Reforçar o capital próprio sem diluir os direitos de voto Construir plano de pagamento flexíveis

87 Obrigações perpétuas O direitos de voto permitem aos accionistas decidir a governação da empresa Constroem-se planos de pagamento flexíveis sorteando o pagamentos

88 Obrigações perpétuas Uma empresa com capital de 10000€ precisa reforçar o capital próprio para 25000€ para o qual o sócios não têm disponibilidade. Emitiram 1500 obrigações perpétuas (numeradas de 1 a ) com 10€ de par e um cupão anual de 15%. Vão ser remidas 10% das obrigações por ano por sorteio do número.

89 Cálculo da perpetuidade
Se fosse uma perpetuidade, se a taxa de juro de mercado para uma empresa deste tipo fosse de 10%, teríamos VA = 1,5/10% = 15€. Mas a obrigação não vai durar tempo infinito. No máximo, dura 10 anos. Temos que calcular o 10 casos e fazer a média

90 Cálculo da perpetuidade

91 Cálculo da perpetuidade
No caso, o valor médio é 11,93€ O “prémio” de subscrição é de 1,93€ B5: =$B$2*$B$3 C5: =B5*(1+$B$1)^-A5 D5: =$B$2*(1+$B$1)^-A5 E5: =SUM(C5:$C$5)+D5 E copiava até à linha 14 E15: =AVERAGE(E5:E14)

92 Troca de obrigações Uma empresa emitiu em 1/1/2010 obrigações a 10 anos com par e 100€, cupão semestral postecipado de 4€, data em que a taxa de juro de mercado para empresas semelhantes era de 10%/ano. i) Determine por quanto devem ter sido vendidas as obrigações

93 Troca de obrigações B1 = (1+10%)^0,5-1 = 4,880885%
B2 =4/B1*(1-(1+B1)^-20)+100*(1+B1)^-20 = 88,91 € São 20 semestres

94 Troca de obrigações No dia 1/7/2015 a empresa realizou uma operação de troca em que deu uma obrigação a 10 anos com cupão semestral de 6€ em troca da obrigação que se vence em 31/12/2020. ii) Supondo que nesse dia a taxa de juro para empresas semelhantes era de 8%/ano, qual deve ter sido o valor de remissão da nova obrigação

95 Troca de obrigações Tenho que igualar o valor das duas obrigações.
Obrigação antiga B1: = (1+8%)^0,5-1 = 4,880885% Agora temos 11 semestres B2: = 4/rt*(1-(1+rt)^-11)+ 100*(1+B1)^-11 = 100,68 € Valorizou

96 Troca de obrigações Obrigação nova Agora temos 20 semestres
6/rt*(1-(1+rt)^-20) + X*(1+B1)^-20 = 100,68 € X= (100,68 € - 6/rt*(1-(1+rt)^-20) )/ *(1+B1)^-20 = 40,11 €