Aula: Modelos Multivariados de Séries Temporais

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1 Aula: Modelos Multivariados de Séries Temporais
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto Universidade de São Paulo Programa de Pós-Graduação em Controladoria e Contabilidade Disciplina: Métodos Quantitativos Avançados Aula: Modelos Multivariados de Séries Temporais Discente: Eduardo de Brito Docente: Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes

2 Sumário Equações simultâneas. Identificação. Exogneidades. Métodos para aplicação de Equações Simultâneas. Aplicação de Equações Simultâneas em finanças. Vector autoregressive models (VAR)

3 Motivações (Brooks) Todos os modelos estruturais que foram considerados até agora têm sido Modelos de equações da forma: Uma das hipóteses do modelo de regressão linear clássica é que as variáveis explicativas não são estocásticas, ou fixadas em amostras repetidas. Pode-se também afirmar que todas as variáveis contidas na matriz X são consideradas exógenas - isto é, seus valores são determinados fora dessa equação. Esta é uma definição de trabalho bastante simplista de exogeneidade, embora várias alternativas sejam possíveis. A causalidade neste modelo vai de X a y. Por outro lado, y é uma variável endógena - ou seja, seu valor é determinado por (7.1).

4 Se a suposição anterior for violada?
Para ilustrar uma situação em que tal fenômeno pode surgir, considere as duas equações a seguir que descrevem um possível modelo para o fornecimento total agregado (em todo o país) de novas casas (ou qualquer outro ativo físico). Onde: Qd t = quantidade de casas novas demandadas no tempo t Qs t = quantidade de casas novas fornecidas (construídas) no tempo t Pt = preço (médio) das casas novas que prevalece no tempo t St = preço de um substituto (por exemplo, casas mais antigas) Tt = alguma variável incorporando o estado da tecnologia de construção de casas, µt e × vt são os termos de erro.

5 Equações Simultâneas Partindo do pressuposto de que o mercado está sempre em equilíbrio, e diminuindo os índices de tempo para a simplicidade, (7.2) - (7.4) podem ser escritas: As equações (7.5) e (7.6) compreendem uma forma estrutural simultânea do modelo, ou um conjunto de equações estruturais. São as equações que incorporam as variáveis que a teoria econômica sugere que devem estar relacionadas entre si em uma relação desta forma. O preço e a quantidade são determinados simultaneamente (o preço afeta a quantidade e a quantidade afeta o preço). Para vender mais casas, tudo mais igual, o construtor terá que abaixar o preço. Para obter um preço mais elevado, deve construir e esperar vender menos casas. P e Q são variáveis endógenas, enquanto que S e T são exógenas.

6 Equações Simultaneas Um conjunto de equações de forma reduzida correspondente a (7.5) e (7.6) pode ser obtida por resolução (7.5) e (7.6) para P e para Q (separadamente). Haverá uma equação de forma reduzida para cada variável endógena no sistema.

7 (7.11) e (7.15) são as equações de forma reduzida para P e Q.
São as equações que resultam da resolução das equações estruturais simultâneas dadas por (7.5) e (7.6). Observe que essas equações de forma reduzida têm apenas variáveis exógenas no lado direito (RHS).

8 Viés de Equações Simultâneas
Não seria possível estimar (7,5) e (7,6) validamente usando MQO, uma vez que eles estão claramente relacionados uns com os outros, uma vez que ambos contêm P e Q, e MQO exigiria que fossem estimados separadamente. Se estimar as equações separadamente usando o MQO: Ambas as equações dependem de P. Uma das hipóteses do modelo de regressão linear clássica foi que X e u são independentes (onde X é uma matriz contendo todas as variáveis no lado direito da equação), e também dado que E (u) = 0, então E (X u) = 0, ou seja, os erros não estão correlacionados com as variáveis explicativas. Mas é claro a partir de (7.11) que P está relacionado com os erros em (7.5) e (7.6) - ou seja, é estocástico. Então essa suposição foi violada.

9 Viés de Equações Simultâneas
Consequências para o estimador MQO, β se a simultaneidade fosse ignorada: Substituindo y in (7.16) com o lado direito de (7.17) De modo a Levando as expectativas:

10 Viés de Equações Simultâneas
Se os Xs não forem estocásticos, E [(XX) -1X u] = (XX) -1X E [u] = 0, o que seria o caso em um único sistema de equações , De modo que E (β) = β em (7.22). A implicação é que o estimador MQO, β, seria imparcial. Mas, se a equação for parte de um sistema, então E [(XX) -1X u] ≠ 0, em geral, de modo que o último termo em (7.22) não cair fora, e assim pode-se concluir que a aplicação de MQO para equações estruturais que fazem parte de um sistema simultâneo levará a estimativas de coeficientes tendenciosas. Isso é conhecido como viés de simultaneidade ou parcial de equações simultâneas.

11 Como as equações simultâneas podem ser validamente estimadas?
Tomando (7.11) e (7.15), isto é, as equações de forma reduzida, elas podem ser reescritas como Onde os coeficientes π na forma reduzida são simplesmente combinações dos coeficientes originais, de modo que

12 Como as equações simultâneas podem ser validamente estimadas?
As equações (7.23) e (7.24) podem ser estimadas usando MQO, uma vez que todas as variáveis do lado direito são exógenas, de modo que os requisitos habituais de consistência e imparcialidade do estimador MQO serão mantidos (desde que não existam outras especificações erradas). As estimativas dos coeficientes πi j seriam assim obtidas. Mas, os valores dos π coeficientes provavelmente não são de grande interesse; O que foi desejado foram os parâmetros originais nas equações estruturais - α, β, γ, λ, μ, κ. Os últimos são os parâmetros cujos valores determinam como as variáveis estão relacionadas entre si de acordo com a teoria financeira ou econômica.

13 Os coeficientes originais podem ser recuperados dos πs?
A resposta curta a esta pergunta é "às vezes", dependendo se as equações são identificadas. A identificação é a questão de saber se há informações suficientes nas equações de forma reduzida para permitir que os coeficientes da forma estrutural sejam calculados. Considere as seguintes equações de demanda e oferta

14 Os coeficientes originais podem ser recuperados dos πs?
É impossível dizer qual é a equação, se simplesmente observasse algumas quantidades de venda e o preço ao qual elas fossem vendidas, não seria possível obter as estimativas de α, β, λ e μ. Isso ocorre porque não há informações suficientes das equações para estimar os quatro parâmetros. Apenas dois parâmetros podem ser estimados aqui, embora cada um seja uma combinação de parâmetros de demanda e fornecimento, e assim nenhum deles seria de qualquer utilidade. Ambas as equações não são identificada. Observe que este problema não teria surgido com (7.5) e (7.6), pois eles têm diferentes variáveis exógenas.

15 O problema da identificação
Identificação: possibilidade de obter os parâmetros de uma equação estrutural por meio dos coeficientes estimados de forma reduzida. Equação não identificada (ou subidentificada): os coeficientes estruturais não podem ser obtidos a partir das estimativas da forma reduzida por qualquer meio. Como (7.25) ou (7.26) Equação é exatamente identificada (apenas identificada): as estimativas de coeficiente de forma estrutural única podem ser obtidas por substituição das equações de forma reduzida. como (7.5) ou (7.6). Equação superidentificada: mais de um conjunto de coeficientes estruturais pode ser obtido a partir da forma reduzida.

16 Condição de ordem de identificação
Condição de ordem é uma condição de identificação. Seja G o número de equações simultâneas: Uma equação é apenas identificada se o número de variáveis excluídas de uma equação for G-1, onde "excluído" significa o número de todas as variáveis endógenas e exógenas que não estão presentes nesta equação particular. Se houver mais de G-1 ausente, é identificado demais. Se menos do que G-1 estiverem ausentes, ele não está identificado

17 Condição de ordem de identificação
Exemplo: No sistema de equações a seguir, os Y são endógenos, enquanto os Xs são exógenos. Determine se cada equação está sobre identificada, sub identificada ou apenas identificada. Neste caso, existem equações G = 3 e 3 variáveis endógenas. Assim, se o número de variáveis excluídas for exatamente 2, a equação é apenas identificada. Se o número de variáveis excluídas for superior a 2, a equação é super identificada. Se o número de variáveis excluídas for inferior a 2, a equação não é identificada.

18 Condição de ordem de identificação
Exemplo: As variáveis que aparecem em uma ou mais das três equações são Y1, Y2, Y3, X1, X2. Aplicando a condição de ordem para (7.27) - (7.29): Equação (7.27): contém todas as variáveis, sem nenhuma excluída, para que não seja identificada Equação (7.28): as variáveis Y1 e X2 são excluídas, e por isso é apenas identificada Equação (7.29): as variáveis Y1, X1, X2 são excluídas e, por isso, estão sobre identificadas.

19 Exgeneidade As variáveis econômicas são classificadas com frequência em duas categorias amplas, endógena e exógena. Em termos gerais, as variáveis endógenas são o equivalente às variáveis X, ou regressores, em tal modelo, contanto que as variáveis X não sejam correlacionadas com o termo de erro naquela equação (GUJARATI, 2011) Leamer (1985), citado por Brooks (2014), define uma variável x, como exógena se a distribuição condicional de y dada x não mudar com as modificações do processo, gerando x. Embora existam várias definições ligeiramente diferentes, é possível classificar duas formas de exogeneidade - predeterminada e estrita: Uma variável predeterminada é aquela que é independente dos erros contemporâneos e futuros naquela equação. Uma variável estritamente exógena é independente de todos os erros contemporâneos, futuros e passados nessa equação.

20 Exgeneidade Gujarati (2011)
Suponha-se que em um teste de causalidade de Granger, verifique-se que uma variável X cause (pelo método de Granger) uma variável Y sem ser causada por esta (isto é, não há causalidade bilateral). Pode-se então tratar a variável X como exógena? Em outras palavras, podemos usar a causalidade de Granger (ou a não causalidade) para estabelecer a exogeneidade? Para respondermos a essa questão, é preciso distinguir três tipos de exogeneidade: Fraca; Forte; e Super.

21 Exogeneidade Considerando apenas duas variáveis, Yt e Xt, e suponha ainda que seja efetuada a regressão de Yt contra Xt. Pode-se dizer Xt é: Fracamente exógeno: se Yt também não explicar Xt. Nesse caso, a estimação e o teste do modelo de regressão podem ser feitos, condicionais aos valores de Xt. Fortemente exógeno: se os valores atual e defasado de Y não o explicarem (isto é, não existe relação de feedback). E Superexógeno: se parâmetros regressão de Y contra X não mudarem mesmo que os valores de X mudem; isto é, os valores do parâmetro não variam a mudanças no(s) valor(es) de X.

22 Exogeneidade A razão para distinguir entre os três tipos de exogeneidade é que, em geral: a fraca exogeneidade é tudo o que se preciosa para estimar e testar; a exogeneidade forte é necessária para prever; e a superexogeneidade para análise de políticas. .

23 Testes de Exogeneidade
Gujarati (2011) E responsabilidade do pesquisador especificar quais variáveis são endógenas e quais são exógenas. Isso dependerá do problema que está à mão e da informação a priori que o pesquisador tem. Mas é possível desenvolver um teste estatístico de exogeneidade, à maneira do teste de causalidade de Granger? O teste de Hausman pode ser utilizado para responder a essa questão.

24 Testes de Exogeneidade
Teste de Hausman Suponha um modelo de três equações nas três variáveis endógenas, Y1, Y2 e Y3, e que haja três variáveis endógenas, X1, X2 e X3. Suponha que a primeira equação do modelo seja: Se Y2 e Y3 são realmente endógenas, a Equação acima não pode ser estimada por MQO (por quê?). Mas como descobrir isso? Pode-se proceder do seguinte modo. Obter as equações da forma reduzida para Y2 e Y3 (Observe: as equações de forma reduzida terão apenas variáveis predeterminadas no lado direito.)

25 Testes de Exogeneidade
Com as equações da forma reduzida, obtém-se YO2i e YO3i, os valores previstos de Y2i e Y3i, respectivamente. Então, no espírito do teste de Hausman, é possível estimar a seguinte equação por MQO: Utilizando o teste F, testou-se a hipótese que λ2 = λ3 =0. Se a hipótese for rejeitada, Y2 e Y3 poderão ser consideradas endógenas, do contrário, poderão ser tratadas como exógenas

26 Sistemas triangulares
Considere o seguinte sistema de equações, com subscritos de tempo omitidos por simplicidade Suponha que os termos de erro de cada uma das três equações não estejam correlacionados entre si. As equações podem ser estimadas individualmente usando OLS? À primeira vista, uma resposta apropriada a esta pergunta pode parecer ser: "Não, porque este é um sistema de equações simultâneas".

27 Sistemas triangulares
Mas considere o seguinte: Equação (7.47): não contém variáveis endógenas, portanto X1 e X2 não estão correlacionadas com u1. Então MQO pode ser usado em (7.47). Equação (7.48): contém Y1 endógeno junto com X1 e X2 exógenos. MQO pode ser usado em (7.48) se todas as variáveis do lado direito em (7.48) não estiverem correlacionadas com o termo de erro dessa equação. De fato, Y1 não está correlacionado com u2 porque não há termo Y2 em (7.47). Então MQO pode ser usado em (7.48). Equação (7.49): contém Y1 e Y2; Estes são obrigados a não estarem correlacionados com o u3. Por argumentos semelhantes aos acima, (7.47) e (7.48) não contêm Y3. Então MQO pode ser usado em (7.49). Isso é conhecido como um sistema recursivo ou triangular, que é realmente um caso especial - um conjunto de equações que se parece com um sistema de equações simultâneas, mas não é. Na verdade, não há um problema de simultaneidade aqui, uma vez que a dependência não é bidirecional, para cada equação tudo vai de um jeito.

28 Métodos de Equações Simultâneas
Mínimos Quadrados Indiretos (MQI) Mínimos Quadrados em dois estátios (MQ2E) Variáveis instrumentais

29 Mínimos Quadrados Ordinários (MQI)
Para uma equação estrutural apenas identificada ou exatamente identificada o método para se obter as estimativas dos coeficientes estruturais com base nas estimativas de MQO dos coeficientes de forma reduzida é conhecido como método de mínimos quadrados indiretos (MQI), e as estimativas então obtidas são conhecidas como estimativas de mínimos quadrados indiretos.

30 Mínimos Quadrados Ordinários (MQI)
Os MQI envolvem os três passos seguintes: Passo 1. Obter as equações na forma reduzida (essas equações são obtidas por meio de equações estruturais de forma que a variável dependente em cada equação seja a única variável endógena e uma função apenas das variáveis predeterminadas (exógenas ou endógenas defasadas) Passo 2. Aplicar individualmente os MQO nas equações de forma reduzida. Essa operação é possível na medida em que as variáveis explanatórias nessas equações forem predeterminadas e, portanto, não correlacionadas com os distúrbios estocásticos. Passo 3. Obter as estimativas dos coeficientes estruturais originais com base nos coeficientes da forma reduzida estimados obtidos no Passo 2. Se uma equação é exatamente identificada, há uma correspondência de um para um entre os coeficientes de forma reduzida e os estruturais; isto é, pode-se derivar estimativas únicas do primeiro por meio do último.

31 Método dos mínimos quadrados em dois estágios (MQ2E)
Esta técnica é aplicável para a estimativa de sistemas super- identificados, onde MQI não pode ser usado. O MQ2E é realizado em duas etapas: Fase 1: Obter e estime as equações de forma reduzida usando MQO. Salvar os valores ajustados para as variáveis dependentes. Etapa 2: Estimar as equações estruturais usando MQO, mas substituir todas as variáveis endógenas do lado direito com seus valores ajustados no estágio 1.

32 Variáveis instrumentais
O método das variáveis instrumentais é outra técnica para estimação de parâmetros que pode ser validamente utilizada no contexto de um sistema de equações simultâneas. O motivo pelo qual o MQO não pode ser usado diretamente nas equações estruturais é que as variáveis endógenas estão correlacionadas com os erros. Uma solução para isso não seria usar Y2 ou Y3, mas sim usar outras variáveis. Essas outras variáveis devem estar (altamente) correlacionadas com Y2 e Y3, mas não correlacionadas com os erros - tais variáveis seriam conhecidas como instrumentos. Os instrumentos não são usados diretamente nas equações estruturais, mas sim as regressões da seguinte forma são executadas

33 Equações Simultâneas em Finanças
Exemplos de aplicação da técnica em finanças, envolve questões como: formação de preços nos mercados financeiros; como a estrutura do mercado pode afetar a maneira como ele opera; determinantes do spread de oferta e demanda.] Brooks (2014) apresenta o estudo de George e Longstaff (1993), para ilustrar o uso de equações simultâneas.

34 Equações Simultâneas em Finanças
George e Longstaff (1993) abordam as seguintes questões: A atividade de negociação está relacionada ao tamanho do spread de oferta e demanda? Como os spreads variam em opções, e como isso está relacionado ao volume de contratos negociados? O "Across options" neste caso significa para diferentes vencimentos e preços de exercício de uma opção em um determinado ativo.

35 Equações Simultâneas em Finanças
A seguir será apresentado o estudo de estudo de George e Longstaff (1993), da seguinte forma: Dados; Como o preço de oferta / volume de negociação e o spread de oferta e solicitação podem ser relacionados?; Modelos e resultados; Conclusões.

36 Dados Preços de opções no índice S & P100, observados em todos os dias de negociação em 1989. A seleção dos índices resultou em um total de observações. Uma regressão "combinada" é conduzida uma vez que os dados possuem séries temporais e dimensões transversais. Ou seja, os dados são medidos a cada dia de negociação e em opções com greves e maturidades diferentes, e os são empilhados em uma única coluna para análise.

37 Como o preço de oferta / volume de negociação e o spread de oferta e solicitação podem ser relacionados?   George e Longstaff argumentam que o spread bid-ask (compra/venda) será determinado pela interação das forças do mercado. Uma vez que existem muitos praticade mercado que negociam o contrato S & P100, o spread bid-ask será definido para cobrir os custos marginais. Existem três componentes dos custos associados à criação de mercado: custos administrativos, custos de exploração de estoque e "custos de risco".

38 Como o preço de oferta / volume de negociação e o spread de oferta e solicitação podem ser relacionados?   George e Longstaff consideram três possibilidades de como o spread bid-ask pode ser determinado: Os participantes do mercado compensam os spreads entre as opções. (custo de processamento de pedidos: administrativos). O spread pode ser uma proporção constante do valor da opção. (custo para manutenção das opções). Os participantes do mercado podem equalizar os custos marginais das opções, independentemente do volume de negócios. Isso ocorreria se o risco de uma posição indesejada fosse o custo mais importante para os participantes de mercado. Os participante do mercado gostariam de poder descarregar rapidamente quaisquer posições indesejadas (longas ou curtas). Mas como mercado não é continuo, opções mais longas são mais arriscadas, Assim, as opções com baixos volumes de negociação gerariam spreads mais elevados.

39 A influência da Regra tick-size nos spreads
O CBOE limita o tick size (a granularidade mínima das cotações de preços), o que, obviamente, colocará um limite inferior no tamanho do spread. Os tamanhos de tique-taques são: ● $ 1/8 para opções no valor de US $ 3 ou mais ● $ 1/16 para opções no valor de menos de US $ 3.

40 Modelos e resultados A intuição de que o spread e o volume de negócios bid-ask podem ser relacionados simultaneamente ocorre porque um spread mais amplo implica que o comércio é relativamente mais caro para que os investidores marginais se retirem do mercado Por outro lado, os fabricantes de mercado enfrentam riscos adicionais se o nível da atividade comercial cair, e, portanto, eles podem ser esperados para responder, aumentando a taxa (o spread). Os modelos desenvolvidos procuram determinar simultaneamente o tamanho do spread bid-ask e o tempo entre os negócios.

41 Modelos e resultados Para as opções calls, o modelo é
E simetricamente para as opções put: As equações (7.55) e (7.56) e, em seguida, separadamente (7.57) e (7.58), são estimadas usando MQ2E. Os resultados são apresentados aqui nas tabelas 7.1 e 7.2.

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44 Conclusões do Exemplo O valor do spread bid-ask nas opções do índice S & P100 e o tempo entre trades (uma medida de liquidez do mercado) podem ser modelados de forma útil em um sistema simultâneo com variáveis exógenas, como deltas de opções, tempo de vencimento, dinheiro, etc. Este estudo representa um bom exemplo do uso de um sistema de equações simultâneas. As críticas ao exemplo são: Primeiro, não há testes de diagnóstico realizados. Em segundo lugar, claramente as equações estão todas super identificadas, mas não é óbvio como as restrições de identificação excessiva foram geradas. Eles surgiram da consideração da teoria financeira? Por exemplo, por que As equações CL e PL não contêm as variáveis CR e PR? Por que as equações CBA e PBA não contêm variáveis de dinheiro ou maturidade quadrada? Os autores também poderiam ter testado a endogeneidade de CBA e CL. Finalmente, o sinal errado nos deltas quadrados altamente estatisticamente significativos é intrigante.

45 Modelos auto regressivos de vetor (VAR)
Os modelos autoregressivos de vetor (VARs) foram popularizados em econometria por Sims (1980) como uma generalização natural de modelos autorregressivos univariados. Um VAR é um modelo de regressão de sistemas (ou seja, há mais de uma variável dependente) que pode ser considerado um Tipo de híbrido entre os modelos de séries temporais univariadas e os modelos de equações simultâneas. Os VARs frequentemente foram defendidos como uma alternativa aos modelos estruturais de equações simultâneas em larga escala.

46 Modelos auto regressivos de vetor (VAR)
Uma característica importante do modelo VAR é a sua flexibilidade e a facilidade de generalização. Por exemplo, o modelo poderia ser estendido para englobar erros de média móvel, que seria uma versão multivariada de um modelo ARMA, conhecido como VARMA. Em vez de ter apenas duas variáveis, y1t e y2t, o sistema também poderia ser expandido para incluir g variáveis, y1t, y2t, y3t,. . . , Yg t, cada um dos quais tem uma equação.  Outra faceta útil dos modelos VAR é a compacidade com que a notação pode ser expressa. Por exemplo, considere o caso a partir de onde k = 1, de modo que cada variável depende apenas dos valores imediatamente anteriores de y1t e y2t, além de um termo de erro.

47 Vantagens da modelagem VAR
Os modelos VAR têm várias vantagens em comparação com modelos de séries temporais univariadas ​​ou modelos estruturais de equações simultâneas: O pesquisador não precisa especificar quais variáveis são endógenas ou exógenas - todas são endógenas; Permitem que o valor de uma variável dependa de mais do que apenas dos seus próprios valores defasados ou combinações de termos de ruído branco, de modo que os VARs são mais flexíveis do que os modelos AR univariados; Desde que não existam termos contemporâneos no lado direito das equações, é possível usar simplesmente MQO separadamente em cada equação. Isso decorre do fato de que todas as variáveis no lado direito são pré-determinadas - ou seja, no tempo t, o que é conhecido. As previsões geradas pelos VARs são muitas vezes melhores do que os modelos "tradicionais estruturais".

48 Problemas com VARs Os VARs são a-teóricos (como são os modelos ARMA), pois usam poucas informações teóricas sobre as relações entre as variáveis para orientar a especificação do modelo. Como determinar os comprimentos de atraso apropriados para o VAR? Quantidade de parâmetros. Se houver equações g, uma para cada uma das variáveis ​​g e com k atrasos de cada uma das variáveis ​​em cada equação, (g + kg 2) parâmetros terão que ser estimados Todos os componentes do VAR devem ser estacionários? Obviamente, se alguém deseja usar testes de hipóteses, isoladamente ou em conjunto, para examinar a significância estatística dos coeficientes, então é essencial que todos os componentes do VAR sejam estacionários. No entanto, muitos proponentes da abordagem VAR recomendam que a diferenciação para induzir estacionária não deve ser feita.

49 Bibliografia BROOKS, Chris. Introductory econometrics for finance. Cambridge University Press. 3.ed  GUJARATI, Damodar N.; PORTER, Dawn C. Econometria Básica – Quinta Edição