17.6 – MHS e movimento circular uniforme

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1 17.6 – MHS e movimento circular uniforme
MHS pode ser visto como a projeção do MCU em um dos eixos cartesianos Galileu e as luas de Júpiter

2 MCU MHS ωt + φ Ângulo no instante t Fase φ Ângulo inicial Constante de fase xm Raio do círculo Amplitude ω Velocidade angular Freqüência angular

3 Velocidade: Aceleração:

4 17.7 – Movimento harmônico amortecido
Resultado esperado qualitativamente (em condições de baixo amortecimento): x(t) t (envelope) Constante de tempo de amortecimento (tempo necessário para a amplitude cair a 1/e do seu valor inicial) Em sistemas reais, há sempre dissipação de energia (amortecimento)

5 Solução matemática: Para baixas velocidades a força de amortecimento pode ser aproximada por: (proporcional e contrária à velocidade) 2a. Lei: Vamos propor a solução: Verificamos (quadro-negro) que esta é uma solução possível da equação diferencial nas seguintes condições: (amortecimento pequeno ou subcrítico) (tempo de amortecimento) (pequena redução da freqüência de oscilação em relação à freqüência natural)

6 Desta forma, temos: Amplitude decai exponencialmente com o tempo x(t) t Energia mecânica também decai exponencialmente: Sem amortecimento: Com amortecimento: Energia é dissipada!

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8 17.8 – Oscilações forçadas e ressonância
Oscilador com freqüência natural Força externa periódica com freqüência ω: 2a. Lei: (desprezando por enquanto os termos dissipativos)

9 Precisamos resolver a equação diferencial:
- Trata-se agora de uma equação inomogênea - Espera-se que a solução geral seja uma combinação de funções oscilatórias com freqüência ω0 e ω - Na presença de atrito, apenas a solução com freqüência ω vai sobreviver para tempos longos (regime estacionário) - A solução com freqüência ω0 vai desaparecer depois de um curto intervalo a partir do início do movimento (regime transiente) Assim, vamos tentar a seguinte solução particular: Substituindo na equação diferencial:

10 A Convenção: (oscilador em fase com a força externa)
(oscilador em oposição de fase com a força externa) sem amortecimento com amortecimento com mais amortecimento A Quando ω=ω0, a amplitude diverge: ressonância Kits LADIF: ressonância no trilho de ar e sistema massa-mola

11 A ponte de Tacoma

12 Quebrando um copo de vinho com som ressonante

13 17.9 – Oscilações de dois corpos e modos normais
Discussão qualitativa: Kit LADIF de pêndulos acoplados

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