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O número de divisores naturais de um número natural é igual ao produto dos expoentes dos seus fatores primos aumentado, cada expoente, do número 1. n[D(90)] = (1+1).(2+1).(1+1)= 2.3.2= 12 D(90) = {1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90}
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Múltiplo de um número é todo o número que se obtém multiplicando o número dado por um número inteiro qualquer.
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Observações:
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Um número é composto quando possui mais de dois divisores distintos.
Número Primo Um número é primo quando possui apenas dois divisores distintos: ele mesmo e o número 1. Números Compostos Um número é composto quando possui mais de dois divisores distintos. O número 1 não é primo nem composto. O número 0 não é primo nem composto.
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Os números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,....
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Todo número natural composto pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores primos.
Decomposição em fatores primos é o mesmo que fatoração.
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EXEMPLO:
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Método prático - FATORAÇÃO
15 5 60 2 30 3 1 Então: 60 = 2x2x3x5 = 23 x 3 x 5
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Máximo divisor comum - MDC
18 e 24. MDC(18,24)=? D(18) = {1,2,3,6,9,18} D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24} Então o MDC(18,24)= 6
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Mínimo múltiplo comum - MMC
6 e 8. MMC(6,8)=? M(6) = {6,12,18,24,30,36,42,48,54,...} M(8) = {8,16,24,32,40,48,56,64,...} Então o MMC(6,8)= 24
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MMC e MDC DIVISÃO SIMULTÂNEA
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Propriedades do MDC E MMC
MDC(a,b) . MMC(a,b) = a.b Tente com os números 45 e 48.
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Dados dois ou mais números o Mínimo Múltiplo Comum, MMC é o menor número que é múltiplo dos outros dois ( ou mais números). Dado dois ou mais números, denomina-se Máximo divisor comum ( M.D.C) desses números o maior desses divisores
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Vamos encontrar o m.m.c.( 12, 36, 18)
Primeiro encontramos: Múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,... Múltiplos de 36: 0 , 36, 72, 108, 144, 180,... Múltiplos de 18: 0, 18 36, 54, 72, 90, 108,... Os múltiplos comuns são: 0, 36, 72,.... Sem contar o zero. m.m.c ( 12, 36, 18) = 36
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Vamos encontrar o MDC ( 12, 36, 18)
Divisores comuns= 1, 2, 3, 6 Maior divisor comum 12, 36 e 18 MDC(12, 36, 18) = 6
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Observe agora o que acontece com o MMC e com o MDC dos números 10 e 11
Não há primo divisor comum! Então o MDC(10, 11) = 1 10, 11 2 5, 5 1, 1 O MMC(10,11)= 2x5x11= 10x11=110 Números que tenham como MDC= 1, são chamados de números primos entre si!
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MDC Método – Divisão sucessiva
A determinação do máximo divisor comum pelo método da divisão sucessiva somente é válida entre dois números. Observe os passos que devem ser seguidos: 1º passo: dividir o maior dos números pelo menor. 2º passo: escolhemos o divisor da operação anterior, o qual será dividido pelo resto da divisão anterior. Devemos repetir essa operação até que o resto da divisão seja igual a zero. Na ocorrência do resto igual a zero, referente à última divisão, determinamos o máximo divisor comum como o número divisor dessa passagem. Observe os exemplos:
