Modelos de variáveis qualitativas dependentes

Apresentação em tema: "Modelos de variáveis qualitativas dependentes"— Transcrição da apresentação:

1 Modelos de variáveis qualitativas dependentes
Econometria Pós Julho de 2017

2 Modelo de probabilidade linear

3 LOGIT

4 Probabilidade, odds e logit
Explicar a ocorrência de um evento: y={0;1} tem dois possíveis valores (0 e 1) Precisamos explicar a probabilidade de ocorrência do evento, condicionado em X: P(Y=y | X) ∈ [0 ; 1]. MQO não é adequado pois as predições caem fora do intervalo [0 ; 1]. Temos que transformar o número real z que ∈ ]-∞;+∞[ para uma P(Y=y | X) ∈ [0 ; 1]. A transformação logística faz esta ligação – o número real z ∈ ]-∞;+∞[ para P(Y=y | X) ∈ [0 ; 1]. Ou seja, função de ligação - link function

5 Função link Logit

6 Logit A probabilidade de que um evento ocorra é:

7 Odds ratio – razão de chances
A odds ratio é definida como a razão entre a probabilidade e seu complemento. Tomando o log temos z. Consequentemente, z é a transformação logarítima da “odds ratio”. Z ∈ ]-∞;+∞[ and P(Y=1) ∈ [0 ; 1] A probabilidade não é linear em z

8 Probabilidade, odds e logit
P(Y=1) Odds p(y=1) 1-p(y=1) Ln (odds) 0.01 1/99 0,01 -4,60 0.03 3/97 0,03 -3,48 0.05 5/95 0,05 -2,94 0.20 20/80 0,25 -1,39 0.30 30/70 0,43 -0,85 0.40 40/60 0,67 -0,41 0.50 50/50 1,00 0,00 0.60 60/40 1,50 0,41 0.70 70/30 2,33 0,85 0.80 80/20 4,00 1,39 0.95 95/5 19,0 2,94 0.97 97/3 32,3 3,48 0.99 99/1 99,0 4,60

9 Transformação logística
A probabilidade varia entre 0 e 1, a odds varia entre 0 e + ∞. O log da odds varia entre– ∞ e + ∞ . Note que a distribuição do log da odds é simétrica.

10 Plot do log da Odds

11 “A probabilidade não é linear em z”

12 Como estimamos se não conhecemos o z?
Função logit No modelo: Como estimamos se não conhecemos o z?

13 EMV Usamos a EMV como alternativa ao método de MQO. Ou seja, achar os estimadores dos parâmetros que sejam consistentes com os dados da amostra. A Função de verossimilhança é definida como a probabilidade conjunta de observar uma dada amostra, dados os parâmetros. Suponha que tenha uma amostra com n observações aleatórias. f(yi ) é a função densidade de probabilidade de yi = 1 ou yi = 0. A probabilidade conjunta de observar os n valores de yi é dada pela função de verossimilhança:

14 Função de verossimilhança
Especificando f(.): . Distribuição empírica discreta de um evento que tem apenas dois resultados: sucesso (yi = 1) ou fracasso (yi = 0). Distribuição binomial

15 Função de verossimilhança
Sabendo p (se for um logit), temos a função de verossimilhança:

16 Log da função de verossimilhança (LL)
Transformação logarítima (log likelihood) :

17 EMV A função LL pode dar infinitos valores para β.
Dada a forma funcional de f(.) e as n observações, qual valor dos parâmetros β que maximizam a função de verossimilhança para a minha amostra? Em outras palavras, quais são os valores mais prováveis para o meu vetor de parâmetros desconhecidos β dada a amostra disponível?

18 EMV LL é globalmente côncava e tem um máximo. O gradiente é para computar os parâmetros de interesse, e a hessian é usada para calcular a matriz variância covariância. Não existe solução analítica para este problema não linear. Uso do algortimo de otimização Newton-Raphson. O computador irá gerar todos possíveis valores para β, e irá calcular o valor da verossimilhança para cada um, para escolher o vetor de β tal que a verossimilhança seja a mais alta.

19 Exemplo: Fatores que afetam a probabilidade de ter uma firma que faz inovação (inno = 1) 352 (81.7%) inovam e 79 (18.3%) não inovam. A odds de se ter uma inovação é 4 contra 1 (352/79=4.45). log da odds é (z = 1.494) Para a amostra de firmas a probabilidade de ser inovador é 4 vezes maior que a probabilidade de não ser inovador. 19

20 Regressão logística Modelo com a constante apenas 20

21 Interpretação dos coeficientes
Transformação do logit em probabilidade : 21

22 Interpretação dos coeficientes
Valor empírico da amostra: 81,7% 22

23 Interpretação dos coeficientes
Um coeficiente positivo indica que a probabilidade de inovação aumenta com o valor da variável explicativa. E vice-versa. Não linearidade: a probabilidade não varia na mesma magnitude conforme o nível dos regressores. Calcular a probabilidade do evento ocorrer num ponto médio da amostra. 23

24 Exemplo Modelo completo 24

25 Interpretação Usando os valores médios de rdi, lassets, spe e biotech, podemos calcular a probabilidade condicionada : 25

26 Efeitos marginais A probabilidade é uma função não linear das variáveis explicativas Uma mudança na probabilidade devido a mudança em uma variável explicativa não é independente dos valores das outras variáveis explicativas. 26

27 Medidas de ajuste Nas estimações por Máxima Verossimilhança, não há algo como um R2 O log da verossimilhança pode ser usado como medida de ajuste. Comparar os modelos usando os valores de LL.

28 Teste LR A LR consiste na diferença entre o modelo não restrito (unc) e o modelo restrito (c ). Esta diferença segue uma distribuição de probabilidade de uma c2. Se a diferença entre os valores de LL é (não é) importante, é porque o conjunto de variáveis explicativas dão (não dão) informação relevante. A hipótese nula H0 é que o modelo não fornece informação relevante. Para valores altos de LR rejeitamos H0 e aceitamos a hipótese alternativa Ha de que o conjunto de variáveis explicativas explicam de forma significativa o resultado.

29 McFadden Pseudo R2 McFadden Pseudo R2 (1973).
Interpretação análoga ao R2. Viesado para baixo e sempre baixo…

30 Modelo restrito Irrestrito 30

31 LR teste de uma variável adicionada (biotech)
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32 Qualidade da predição